Выполнил студент группы 1 ис 11-3 Лутфуллин Руслан

«… нет ни одной области в математике, которая когда - либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …» Н. И. Лобачевский Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, И я научусь. Конфуций

Необходимое условие возрастания и убывания функции Необходимое условие возрастания и убывания функции Достаточное условие возрастания и убывания функции Достаточное условие возрастания и убывания функции Необходимое условие экстремума. ( теорема Ферма ) Необходимое условие экстремума. ( теорема Ферма ) Признак максимума функции. Признак максимума функции. Признак минимума функции. Признак минимума функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции

Т е о р е м а. Если дифференцируемая функция f(x), х ( а ; b ), возрастает ( убывает ) на ( а ; b ), то f `(x) 0 ( f `(x) 0 ) для любого х из интервала ( а ; b ).

Теорема Лагранжа. Если функция f(x), х [а ; b], непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема на интервале ( а ; b ), то найдётся точка с ( а ; b ) такая, что имеет место формула f(a) – f(b) = f `(c)(b – a)

Теорема. Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала ( а ; b ), то функция f возрастает на интервале ( а ; b ).

Теорема. Если функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала ( а ; b ), то функция f убывает на интервале ( а ; b ).

х у 0 х у 0 Функция возрастает < 90 0 tg > 0 f `(x) > 0 Функция убывает > 90 0 tg < 0 f `(x) < 0

1) Вычисляем производную f `(x) данной функции f(x), а затем находим точки, в которых f `(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x)

2) Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f `(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3) Определим знак f `(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f `(x) 0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f `(x) 0, то на таком интервале f(x) убывает.

Необходимое условие экстремума. ( теорема Ферма ) Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю : f `(x) = 0.

Теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума. Например, производная функции f(x) = x 3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет. X Y

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f `(x) > 0 на интервале ( а ; х 0 ), и f `(x) < 0 на интервале ( х 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. X Y

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, f `(x) < 0 на интервале ( а ; х 0 ) и f `(x) > 0 на интервале ( х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f X Y

Т е о р е м а. Пусть функция f(x), х ( а ; b ), имеет первую и вторую производные. Тогда, если f ``(x) 0 для всех х ( а ; b ), то график функции f(x) выпуклый вниз на ( а ; b ).

х у 0 х у График выпуклый - убывает tg - убывает f `(x) – убывает f ``(x) < 0 График вогнутый - возрастает tg - возрастает f `(x) – возрастает f ``(x) > A1A1 A2A2 A1A1 A2A2

1) Найти критические точки функции по второй производной. 2) Исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критический точки. Если f `` ( х ) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х 0, то ( х 0 ; f ( х 0 )) - точка перегиба графика данной функции

у = x 3 – 3x 2 + x + 5 у = (x 2 – 1) 2