Волны

Волны - процесс распространения калебаний в пространстве. Обусловлен наличием связей Механизм – возмущение распростр. Упругие (меган.) волны Упругие (меган.) волны Между частицами среды действуют действуют силы упругой связи 1. Перпендикулярно направлению распространения волны – поперечные волны. 2. Вдоль направления распространения волны – продольные. Поперечные Поперечные когда упругая девормация сдвига. Продольные Продольные – упругая девормация сжатия и растяжения.

Бегущая волна Предположим поперечное сечение стержня не девормируется. Оно калеблется перпендикулярно (сдвиг) или продольно (растяж – сжат.) поверхностью волны Геометрическое место точек, калеблющихся в одинаковой фазе, называется поверхностью волны (Затухание не учитывается) Z=0Z Z

Потери не учитываются Остальные сечения кол. вынужд. калеб. А всех калебаний одинакова. Потери не учитываются

Длина волны Расстояние, на которое распространяется волна за один период калебаний частиц. Подставим (5) в (4)=> Уравнение бегущей волны Из (1) и (6) отставание по фазе точки с координатой z Разность фаз - это кратчайшее расстояние между точками, калеблющимися в одинаковых фазах

1 2 Графики (семейство) x=x(z) Для поперечной B дают: величину, знак сметения и конфигурацию частиц в момент t Для продольной только величину и знак для обратной B

Колебательная скорость частиц Для данной частицы z=const (фиксир.)

Относительная девормация и напряжение в среде при распространении волны. Если z смет. на x а z+ z на x+ x, то абсолютная девормация отр. z равна x, а относительная: В пределе Относительная девормация (сдвига-сжатия) Модуль упругости Напряжение (сдвига, напряжения- сжатия)

Закон Гука - меганическая мера внутренних сил при девормации материала. -модуль упругости k Модуль сдвига G (попер.) Модуль Юнга Е (прод.) Составляющие девормации в данной точке являются линейными и однородными функциями составляющих напряжения.

Уравнение Даламбера

Надо найти равнодействующую F сил f1 и f2 и массу участка Тогда находится ускорение уч.

Выражаем через и приращение девормации на протяжении разлог. дев. В ряд Тейлора вблизи z Ускорение, приобретаемое стержнем Уравнение Даламбера

Резюме: 1. Единственное предположение 2. Уравнение Даламбера справедливо для распространения движения любого характера в среде с линейной мех. характеристикой и в случае квазиупругих волн. 3. Волновому уравнению удовлетворяют бегущие волны а также вообще периодический сигнал, сметение в котором есть Скорость распространения упругих волн

Уравнение (3.1) удобно для расчета V при известных и Скорость распространения упругой волны в твёрдом теле Где: Е – модуль Юнга G – модуль сдвига. Скорость распространения упругой волны в жидкости В жидкости волны продольные Коэф. Сжимаемости жидкости

Скорость распространения упругой волны в газе Теплообмен между сгущ и разряд не успевает – процесс распр упругой волны - адиабатический Для расчёта V надо найти E исходя из 3.10 и уравнения адиабаты Из уравнения Клапейрона-Менделеева: Похоже на средне квадр скорость молекул в газе

Энергия, переносимая волной

Потенциальная энергия Упругий образец длиной l растягивается силой f. Во всём образце одно и то же напряжённое состояние - напряжение S – поперечное сечение. Под действием силы f образуется удлинение Работа растяжения упругого тела=полной потенциальной энергии упругой девормации, накопленной в теле плотность энергии Удельная энергия, запасённая в единице объёма – плотность энергии мгновенные (4.2) полученное при однородном напряжённом состоянии пригодно и для неоднородного (бегущие волны), когда V настолько мало, что напряжённое состояние в различных его точках можно считать одинаковым. (4.2) даёт мгновенные значения

Кинетическая энергия волны Рассматривается плоская волна, распространяющаяся в направлении z вдоль тонкого стержня сечением S. В участке стержня Sdz заключена энергия движения частиц в распространяющейся волне., то можно считать, что все частицы, отр. dz, движутся с одинаковыми скоростями Мгновенное значение плотности кинетической энергии, выраженное через значение (мгновенное) калебательной скорости

P пот =P кин мгновенные потенциальной кинетической Для любой точки бегущей волны мгновенные значения плотности потенциальной и кинетической энергии равны друг другу. Докажем: Мгновенное значение плотности полной энергии

Явная зависимость мгновенного значения плотности энергии от координат и времени См (4.5) Согласно (4.6) при распространении В происходит перенос энергии. Скорость переноса энергии зависит от скорости передачи сметения, калебательной скор. частиц и девормации в среде, вследствие некоторой связи энергии с этими величинами. Частота калебания Р= удвоенной частоте калебаний

Плотность потока энергии (вектор Умова) Энергия через данное сечение за единицу времени Плотность потока-поток энергии за единицу времени на единицу площади, перпендикулярно направлению переноса

Волновое (акустическое сопротивление среды) Уравнение позволяет установить связь напряжения, возникающего в среде при прохождении волны, со скоростью калеблющейся частицы. Коэффициент пропорциональности, связывающий значение напряжения в данной точке среды с мгновенным значением скорости этой точки, называется волновым (звуковым или акустическим) сопротивлением среды значение коэффициентов отражения и проникновения целиком определяются отношением волновых сопротивлений граничащих сред Волновое сопротивление – весьма важная характеристика среды: при переходе волны из одной среды в другую или при отражении волны от границы двух сред, значение коэффициентов отражения и проникновения целиком определяются отношением волновых сопротивлений граничащих сред.

Вещество Скорость распространения волн, Плотность,Акустическое сопротивление, Воздух Вода Медь Ртуть Резина Из (4) следует, что отношение совершающих гармоническое калебание напряжения в среде и калебательной скорости частиц остаётся неизменным во времени: Неизменность отношения мгновенных значений и имеет место только в плоской волне. Здесь всегда справедливы следующие отношения для амплитудных и действующих значений этих величин:

Уравнение сферической волны

В изотропной среде на расстоянии r от источника - обратить внимание на следующее: 1. Колебания каждой точки отстают по фазе от калебаний предыдущей точки. Тогда разность фаз между ними: 2. Поверхность волны (Г.М.Т., калеблющихся в одинаковых фазах) определяется (2) и является сферической поверхностью. Такие волны называются сферическими.

3. Лучи (направления распространения калебательной энергии) в изотропной среде перпендикулярны поверхности волны поверхности волны и лучи образуют два ортогональных семейства луч поверхность волны Длина сферической волны – кратчайшее расстояние между двумя точками, калеблющимися в одинаковых фазах. 4. Длина сферической волны – кратчайшее расстояние (по лучу) между двумя точками, калеблющимися в одинаковых фазах. 5. Амплитуда калебаний точек среды – убывающая функция r, т.к калебание, по мере удаления от источника, распространяется на всё большее количество точек интенсивность волны (плотность потока энергии) уменьшается с удалением от источника.

Зависимость амплитуды калебаний от расстояния А Если в среде нет поглощения: из (3) следует амплитуда калебаний частиц обратно пропорциональна расстоянию от источника тогда – амплитуда калебаний частиц обратно пропорциональна расстоянию от источника

примем условие: наименьшее расстояние от источника калебаний, на котором источник можно считать точечным и волну сферической амплитуда на этом расстоянии тогда:

При распространении сферической волны между калебаниями напряжения в среде (пропорциональной ему относительной девормации ) и скорости частиц есть разность фаз. Колебание напряжения может быть представлено как сумма двух калебаний: Одного в той же фазе, что и скорость и другого, сдвинутого по фазе на 90 0

Среднее значение J:

Стоячие волны

Рассмотрим волновой режим в системе, линейные размеры которой равны небольшому числу длин волн. В этом случае практически всегда наблюдаем не падающую и отражённую волны, а результат их суперпозиции Стоячая волна – результат суперпозиции падающей и отражённой волн Среда - струна, воздух - резонатор

Волна распространяется в направлении оси z Суперпозиция этих двух волн даёт: Полученное уравнение x=x(t, z) описывает новый волновой режим стоячую волну полное отражение энергия не передаётся в соседнюю среду Примем условие: имеет место полное отражение, т.е. калебательная энергия не передаётся в соседнюю среду. При этом амплитуда отражённой волны = амплитуде падающей Sin α+ Sin β = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

Рассмотрим графики зависимости x=x(z) Видим, что две соседние точки калеблются в одинаковых фазах, но с различными амплитудами Амплитуда частиц в стоячей волне зависит от координат частиц A=A(z) M M MN N N

В отличие от бегущей волны, в которой амплитуды калебаний всех точек одинаковы, а фазы различны в стоячей волне фазы соседних точек одинаковы, а различие их калебаний определяется различием в амплитуде Для сравнения – графики бегущей и стоячей волн для близких моментов времени узел

Характерные особенности стоячих волн 1. Амплитуда калебаний частиц изменяется по ко синусоидальному закону ( см(4) ). Имеются точки, в которых амплитуда равна нулю. Такие точки называются узлами. Имеются точки, в которых амплитуда достигает наибольшего значения. Эти точки называются пучностями. 2. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны. Расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно четверти длины волны

3. Колебания точек, заключённых между двумя узлами, происходят в одинаковых фазах. Фаза калебаний скачком меняется на обратную при переходе через узел 4. Колебательная скорость: Узел скоростей имеет место там же, где и узел сметений.

5. Стоячая волна напряжений: 5.1 Координаты узлов напряжения совпадают с координатами пучностей сметения и скорости 5.2 Волна напряжений отразилась с изменением фазы на противоположную (отражение см. выше)

6. Стоячая волна не переносит энергии. Действительно, мгновенное значение плотности потока энергии зависит от произведения σx. Из предыдущего рис. Видно, что мгновенное значение этого произведения изменяет знак каждые четверть волны. Среднее значение потока энергии J равно нулю При выводе (4) амплитуды падающей и о т ражённой волн были одинаковыми (при полном отражении) При частичном переходе энергии максимальная амплитуда а не, как в (5) Такая волна переносит энергию, передаваемую в соседнюю среду. ψ В стоячей волне ψ = 90 о и J = 0.

Акустика

1. Звуковые калебания и их распространение Звук Звук – это продольные упругие калебания возд ухо мозг ощущение звука. от 16 Гц до Гц. Воспринимается от 16 Гц до Гц. связано с физиологией человека. ультразвукинфразвук. f>20000 Гц – ультразвук; f<16 Гц – инфразвук. В физике (независимо от f) звуковые калеб – упр калебан распр в среде. Объект. характеристики: Объект. характеристики: - интенсивность калебаний - плотность потока энергии - скорость распространения калебаний В обиходе: В обиходе: - сила звука - скорость звука

Звуковые впечатления: Звуковые впечатления: - высота – зависит от частоты - тембр – обертоны - громкость 1 я 2 я 3 я Ля: Гц. Порог слышимости Порог слышимости – min интенсивность волны, вызывающая звуковое ощущение Гц Наиболее слышимы Гц порог слыш-ти При других f он лежит выше

Порог болевого ощущения: интенс уровень громкости Субъективная характеристика – уровень громкости L – лог отн инт данного звука I к некот I 0 – исходной. бел Единица уровня громкости – бел (Б); Б/10 - децибел Относ интенс I 1 и I 2 можно выразить в дБ 20 дБ - уменьш в дБ - уменьш в дБ - уменьш в и т.д Шёпот – 30 дБ Крик – 80 дБ

2. Скорость распространения упругих волн в газе. Скорость распространения упр волн в сплошной среде Модуль Юнга Плотность среды По определению для упругого стержня Для объёма объёмн деворм Полаг беск. малые dP и dV. Увел dP уменьш dV (отриц) Перепишем (2) Звук калеб происх так быстро, что теплов обмен между сгущ и разреж произ не успевает – т.е.происх адиабатически

Подст в (3) Из ур-я Клапейрона-Менделеева И окончательно:

3. Колебания столба воздуха Частота n-го обертона:

Эффект Доплера

(австриец Христиан Доплер ( )) Эффект Доплера – изменение частоты распространяющихся в среде калебаний, возникающее при движении приёмника или источника калебаний относительно этой среды. V – скорость распространяющихся калебаний в среде U – скорость источника относительно среды v – скорость приёмника относительно среды сближение п и (+) (V,U) удаление п и (-) (V,U)

I. Приёмник и источник покоятся относительно среды. U=0;v=0 П

II. Приёмник движется относительно среды со скоростью v; источник неподвижен; U=0 П И v V (U=0) v>0 приближается v<0 удаляется 1) Если v>0, то мимо приёмника за единицу времени пройдёт большее число волн. Волны идут мимо прибора со скоростью: Т.е. Частота воспринятых калебаний больше числа испущенных в 2) Если v<0, то П И v V

III. Источник движется, приёмник покоится (U=U;v=0) П И (v=0) U 1. U>0 Т.к. V зависит от среды то за Т калеб распростр на, независимо от движ источника; Но! за это время источник пройдёт путь uT В результате воспринятая изменится, т.к. теперь будет: 2. при U<0 (при u>0) П И

IV. Источник и приёмник перемещаются одновременно (U=0; v=0) Вследствие движ источника Вследствие движ приёмника Вследствие обеих причин: Если v и U направить под углом, то следует брать их составляющие на прямую, соединяющую источник и приёмник.

Интерференция волн Если от источника калебаний волны доходят до приёмника двумя различными путями, то приёмник будет калебаться под одновременным воздействием обеих волн будет иметь место сложение калебаний одинаковых частот. При одинаковых направлениях слагаемых калебаний амплитуда и энергия результирующего калебания: При сложении одинаково направленных калебаний равных частот энергия результирующего калебания не равна сумме энергий слагаемых калебаний, совершающихся порознь Интерференция волн – усиление или ослабление энергии результирующего калебания в зависимости от разности фаз слагаемых калебаний При сложении взаимно перпендикулярных калебаний интерференции нет, т.к. при любых энергия

Приёмник под воздействием одной первой волны совершал бы калебания, следующие уравнению: a под воздействием второй волны – уравнению Разность фаз калебаний приёмника под воздействием одного и другого калебаний: Разность расстояний, которые проходят волны от источников до приёмника, называется разностью хода волн Интерференционное усиление, согласно (1), имеет место при условии отсюда

Аналогично, для интерференционного ослабления необходимо: Таким образом: усиление, разность хода лучей равна целому числу длин волн или чётному числу длин полуволн Интерференционное усиление имеет место, если разность хода лучей равна целому числу длин волн или чётному числу длин полуволн ослабление, разность хода лучей равна нечётному числу длин полуволн Интерференционное ослабление имеет место, если разность хода лучей равна нечётному числу длин полуволн

Отражение волн Проникновение волн через границу Условие: волна распространяется вдоль оси z, перпендикулярной границе раздела двух сред. Волновое сопротивление первой среды (в ней распространяются подающая и отражённая волны) Волновое сопротивление второй среды (в ней распространяется проникшая через границу раздела волна) Отношение волновых сопротивлений сред Амплитуды калебаний частиц падающей, отражённой и преломлённой волн соответственно Амплитуды калебательной скорости частиц Амплитуды напряжений среды, вызванных падающей, отражённой и прошедшей через границу волн соответственно Коэффициент отражения Коэффициент проникновения

Так как площадь, на которую падает волна, равна площади, от которой она отражается, отношение потоков энергии можно заменить отношением плотностей потока энергии (векторов Умова) Так как падающая и отражённая волны распространяются в одной и той же среде, то: Падающая и проникшая через границу волны распространяются в разных средах, поэтому:

Падающая волна Отражённая волна Волна, проникшая во вторую среду Волна сметений Волна калебатель ных скоростей Волна напряжений Следует обратить внимание на появление дополнительных (по сравнению с падающей волной) фазовых углов и, учитывающих возможное изменение фазы волны при отражении и проникновении во вторую среду. На границе раздела двух сред выполняется условие непрерывности: в природе не бывает бесконечно больших перепадов сметений, калебательных скоростей частиц и напряжений

Примем на границе z=0, тогда: Потому, что волна напряжений должна отразиться от границы в фазе, противоположной волне скоростей Если в (10) подставить знак +, то оно окажется несовместимым с (9) Из (10) после подстановки следует: По (9) скобки в л.ч. и п.ч. уравнения (11) равны, поэтому, что не соответствует условию Из (9) и (10), справедливых в любой момент времени, можно получить:

Используя введённые обозначения, уравнения (12) – (15) можно представить в виде: Система уравнений даёт возможность определить

1. определение Вычитая (19) из (17) получаем: Для определения знака сложим (16) и (18) Волна проникает во вторую среду без изменения фазы, т.е. в отношении фазы преломления волна является продолжением предыдущей.

1. определение Вычитая (18) из (16) получаем: 1. При отражении от среды с меньшим акустическим сопротивлением волна сметений и волна калебательных скоростей частиц не изменяет фазу; волна напряжений изменяет фазу на 2. При отражении от среды с большим акустическим сопротивлением волна сметений и волна калебательных скоростей частиц изменяют фазу на ; волна напряжений не изменяет фазу

1. Определение R Выразив из (16) и подставив его в (18), получим: Коэффициенты отражения от границы данных двух сред одинаковы как для волны, падающей на границу из первой среды, так и для волны, падающей на границу из второй среды 1. Определение T Выразив из (16) и подставив его в (18), получим: По закону сохранения энергии поток энергии падающей волны равен сумме потоков энергии отражённой и проникшей во вторую среду волн. Поэтому должно иметь место равенство:

Принцип Гюйгенса Каждая точка поверхности волны должна рассматриваться как самостоятельный источник элементарных сферических волн Поверхность волны в момент времени Способ нахождения положения и формы поверхности волны через промежуток времени после начального момента : Из каждой точки поверхности волны, заданной в момент времени, надо в сторону направления распространения провести полусферы радиусом ; Общая огибающая всех этих полусфер – искомая поверхность волны.

Примеры применения принципа Гюйгенса 1. Отражение плоской волны на границе двух сред

1. Преломление плоской волны через плоскую границу раздела двух сред Из рассмотрения треугольников ABD и AED: Закон преломления: Отношение sin угла падения к sin угла преломления для данных двух сред – величина постоянная, равная отношению скорости распространения волн в первой среде к скорости распространения волн во второй среде. - относительный показатель преломления второй среды относительно первой

В случае упругих волн: В случае электромагнитных волн: не ферромагнитных Для всех не ферромагнитных сред магнитная проницаемость практически равна единице, поэтому: Показатель преломления среды относительно вакуума, где принимает вид: При переходе волны из одной среды в другую, частота калебаний не изменяется. Так как скорости распространения в различных средах различны, то длина волны при переходе из одной среды в другую изменяется.

Электромагнитные волны

Максвелл, Джеймс Клерк В Максвелл создал теорию электромагнитного поля, которую сформулировал в виде системы уравнений (уравнения Максвелла). Уравнения Максвелла составляют основу как электротехники и радиотехники, так и теории любых электромагнитных явлений в любых средах. В 1861 г. он обнаружил, что свет это разновидность электромагнитных волн. Д.К.Максвелл ( ) - великий английский учёный, создатель теории электромагнетизма. Максвелл также создал Создал кинетическую теорию газов (1859 г.) и вывел соотношение для распределения цастиц газов по скоростям, получившего название распределения Максвелла.

Обобщение законов электромагнетизма. Уравнения МАКСВЕЛЛА (1867 г.) 1. Экспериментальные законы. I. Закон Кулона Теорема Гаусса II. Закон сохранения заряда Суммарный заряд электрически нейтральной системы остаётся постоянным III. Закон Ампера Сила Лоренца (магн) Закон Фарадея IV. Био-Саварра- Лапласа ? Теорема о циркуляции магн. поля

Уравнения Максвелла Уравнения Максвелла (собираем) I II Интегральная форма Дифференциальная форма Материальные уравнения

Приложение к ур-ниям Максвелла в дифференциальной форме Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса Т. Стокса Т. Остроградского - Гаусса где

Шкала ЭМВ Название диапазона Гамма-лучи Рентген Ультрафиолетовое излучение Видимый свет Инфракрасное излучение Микроволны Телевидение и ЧМ Радиовещание Радиоволны Частота Гц Длина волны, см Электромагнитные волны

Наименование Ближнее инфракрасное 3 Красный max 3.9 Оранжевый 4.9 Жёлтый 5.1 Зелёный 5.6 Голубой 5.5 Синий min 7.5 Ближний УФ 10 Видимый свет Электромагнитные волны

I. Е калеблется H; ЭМВ – поперечная волна Модель: E(z,t) т.е. Не зависит от у и х; Ур-я Максвелла Электромагнитные волны

Поперечность ЭМВ Согл (1) Т.е. вдоль z не меняется и по t Электромагнитные волны

Волновое уравнение ЭМВ (Даламбера) Уравнения Максвелла для плоско – поляризованной волны сводятся: Уравнение Даламбера ЭМВ Электромагнитные волны

Скорость ЭМВ Ранее для упругих калебаний было показано: Для бегущей волны v – фазовая скорость. Сравнивая (7) и (5), (6) видим:

Электромагнитные волны Для ЭМВ обозначим v среды =С ср ; v вак =C – скорость света (ЭМВ) в вакууме В Си

Электромагнитные волны В случае плоско- поляризованой монохроматической волны ур-ям (5), (6) соотв решение: Задача Задача: установить связь между E и H по фазе и величине Сгласно (4) синфазностьсинфазность Тождеств. вып. (12) (т.е. при любых коорд и в любой момент) Возможно только при В бегущей ЭМВ Е и Н калеблются в одинаковых фазах

Электромагнитные волны С учётом (13) из (12): Соотношение Е и Н (14) Для амплитудных значений Для мгповенных значений

Электромагнитные волны Итак В распространяющейся ЭМВ вектора Е и Н жёстко связаны пропорциональной зависимостью: И калеблются в одинаковой фазе: