ГИДРОДИНАМИКА

Гидродинамика (от гидро- и динамика), раздел гидравлики, в котором изучаются движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие их с твёрдыми телами. Кинематика жидкости обычно в гидравлике рассматривается совместно с динамикой и отличается от нее изучением видов и кинематических характеристик движения жидкости без учета сил, под действием которых происходит движение, тогда как динамика жидкости изучает законы движения жидкости в зависимости от приложенных к ней сил.

Гидродинамическое давление (р) – это внутреннее давление развивающееся при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке (и) – это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t.

Существует два способа изучения движения жидкости - Лагранжа и Л. Эйлера. Способ Лагранжа заключается в рассмотрении движения каждой частицы жидкости, т. е. траектории их движения. В начальный момент времени положение частицы определено начальными координатами ее полюса х 0, y 0, z 0. При движении частица перемещается и ее координаты изменяются, Движение жидкости определено, если для каждой частицы можно указать координаты х, у и z как функции начального положения (х 0, y 0, z 0 ) и времени t: х=х(х 0, y 0, z 0, t); у=у(х 0, y 0, z 0, t); z=z(х 0, y 0, z 0, t). Переменные х 0, y 0, z 0 и t называют переменными Лагранжа.

Способ Эйлера заключается в рассмотрении движения жидкости в различных точках пространства в данный момент времени. Метод позволяет определить скорость движения жидкости в любой точке пространства в любой момент времени, т. е. характеризуется построением поля скоростей и поэтому широко применяется при изучении движения жидкости. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами х, у, z находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость u, которая называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. Поле скоростей может изменяться во времени и по координатам: u x = u x (х, y, z, t); u у = u у (х, y, z, t); u z = u z (х, y, z, t). Переменные х, y, z и t называют переменными Эйлера. Векторными линиями поля скоростей являются линии тока.

По характеру изменения поля скоростей во времени движения жидкости делятся на установившиеся, неустановившиеся и квазистационарное. Установившееся движение – движение, при котором, в любой точке потока жидкости скорость (и давление) с течением времени не изменяется, т. е. зависят только от координат точки u x = u x (х, y, z). Неустановившееся движение – движение, при котором в любой точке потока жидкости скорость с течением времени изменяется, т. е. u x = u x (х, y, z, t). Квазистационарное движение – движение, при котором изменчивость характеристик движения жидкости в течение выбранного промежутка времени не является существенной, т.е. ее влияние лежит в пределах допускаемой точности решения, и его можно рассматривать как установившееся.

Установившееся движение жидкости подразделяется на равномерное и неравномерное. Равномерным называется установившееся движение, при котором живые сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае ; средние скорости по длине потока также не изменяются, т.е. Установившееся движение называется неравномерным, когда распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и постоянными вдоль потока.

Потоки жидкости по своему характеру подразделяются на напорные, безнапорные и гидравлические струи. При напорном движении поток не имеет свободной поверхности, т. е. соприкасается с твердыми стенками со всех сторон. При безнапорном движении поток имеет свободную поверхность, т. е. он соприкасается с твердыми стенками лишь по части периметра. В гидравлических струях поток окружен со всех сторон свободной поверхностью.

Гидравлические характеристики движения жидкости Траектория движения частицы жидкости – это путь движения отдельной частицы жидкости в пространстве. При установившемся движении траектория движения частиц жидкости неизменна по времени. При неустановившемся движении траектория движения частиц непрерывно меняется по времени, т. к. происходит изменение скорости течения по величине и по направлению. Траектория движения изображает путь, который проходит частица жидкости за некоторый промежуток времени. а – траектория движения частиц, б – линии тока

Гидравлические характеристики движения жидкости а – траектория движения частиц, б – линии тока Линия тока – это линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости таким образом, что в каждой из этих точек векторы скорости в данный момент времени касательныхх к ней. Линия тока дает некоторую мгновенную характеристику потока, связывает различные частицы жидкости, лежащие на линии тока в данный момент, и показывает направление вектора скорости частиц в этот момент. При установившемся движении жидкости траектория движения частиц жидкости совпадает с линией тока.

Линии равных напоров – линии перпендикулярные к линиям тока. Проекции линий равных напоров на горизонтальную плоскость представляют собой карту уровенной поверхности (изогипс, изопьез). Гидродинамическая сетка – система линий равных напоров и перпендикулярных к ним линий тока (рис.) Трубка тока – трубчатая непроницаемая поверхность, которая образуется если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока.

Элементарной струйкой называется часть жидкости, заключенная внутри трубки тока. Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t. При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства: 1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока; 2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен, так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной; 3. скорость и гидродинамическое давление во всех точках поперечного сечения элементарной струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади. Потоком жидкости называется совокупность движущихся с разными скоростями элементарных струек.

К гидравлическим характеристикам движения жидкости относятся понятия живого сечения, смоченного периметра, гидравлического радиуса, расхода жидкости и средней скорости. Живое сечение (w) – это поперечное сечение потока, перпендикулярное ко всем линиям тока. Например, в круглой трубке диаметром d, в которой все поперечное сечение занято жидкостью, живое сечение – это площадь круга, м 2.

Смоченный периметр – та часть периметра живого сечения, которая соприкасается с твердыми стенками, образуя смоченную поверхность. Например, для русла вся боковая поверхность потока, за исключением свободной поверхности которую жидкость имеет на границе с газообразной средой. Для круглой трубы, работающей полным сечением, смоченный периметр равен длине окружности, т. е.. Для круглой незаполненной трубы если угол в радианах, или если угол φ в градусах

Гидравлический радиус (R) – отношение площади живого сечения к смоченному периметру. Например, для круглой трубы, работающей полным сечением, гидравлический радиус четверти ее диаметра, т. е..

Расход жидкости (Q) – это ее объем, протекающий в единицу времени через живое сечение потока. Расход для элементарной струйки dQ=udw, где u – истинная скорость движения частиц жидкости, dw площадь сечения элементарной струйки. Средняя скорость – отношение расхода к площади живого сечения v=Q/w, откуда Q=wv, м 3 /с.

Уравнение неразрывности движения жидкости Возьмем сечение 1-1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости и 1. Элементарный расход через сечение 1-1 равен Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью u1. Элементарный расход через сечение 2-2 равен Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен; на участке 1-2, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей в единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е. принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать или - уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки - элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.

Уравнение неразрывности при установившемся движении жидкости для потока жидкости. Взяв в потоке два произвольных сечения 1-1 и 2-2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать – расход жидкости в сечении 1-1; – расход жидкости в сечении 2-2. Но поскольку скорости касательныхх к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями 1-1 и 2-2 через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в участок через сечение 1-1 поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит. Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно написать, что или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость v, получим -уравнение неразрывности для потока жидкости: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная..

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики, дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Выделим внутри жидкости бесконечно малую частицу в виде параллелепипеда. Рассмотрим уравнение движения частицы жидкости вдоль оси 0–Х. На эту частицу будут действовать силы давления слева – pdydz, справа – и массовая сила – dxdydzX. Если к действующим на частицу движущейся жидкости силам добавить силы инерции с обратным знаком, то на основании постулата Даламбера можно рассматривать эту частицу как находящуюся в покое. Составляющая сил инерции по координатной оси O-X будет равна: dxdydz Эта же составляющая, отнесенная к единице массы, т.е. деленная на dxdydz определяется по оси О-Х следующим значением: –1.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости Добавляя к уравнениям равновесия покоящейся жидкости силы инерции, получаем дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера) в проекциях по направлению осей О-Х, О- Y, О-Z: ; ;. Умножим слагаемые уравнений соответственно на dx, dy, dz и сложим их: Выражение (Xdx. + Y dy + Zdz) – это полный дифференциал некоторой функции П, т. е. dП= Xdx + Y dy + Zdz, Считая движение установившимся, p=f(x, у, z) можно записать: =dр=dр =dП=dП

Так как, то. По аналогии с этим

Подставив полученные выражения в уравнение получим или После интегрирования получим. Если движение жидкости происходит только под действием внешней силы тяжести, то dП=Zdz=–gdz, откуда П= –gz. Подставив это выражение в уравнение, получим Или после деления на g, где Н –гидродинамический напор, м

Уравнение можно записать для двух сечений элементарной струйки 1-1 и 2-2 в виде равенства гидродинамических напоров в этих сечениях Н 1 =Н 2 Выражение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости.

Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости h w =Н 1 –Н 2

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Для приведения результатов расчетов по средней скорости в соответствие с действительными скоростями, вводится коэффициент Кориолиса, характеризующий неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока, представляющий собой отношение кинетической энергии, подсчитанной по истинным скоростям сечения, к той же энергии, вычисленной по средней скорости в этом же сечении потока где u и v – соответственно истинная скорость и средняя местная скорость в любой точке живого сечения w.

Физический смысл и графическая интерпретация уравнения Д. Бернулли Уравнение Бернулли можно записать в следующем виде: т. е. геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении сумма четырех высот в каждом живом сечении потока есть величина постоянная и равна полной высоте - напору Н. Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию. Сумму называют пьезометрическим (потенциальным) напором. Падение пьезометрической линии на единицу длины потока называют пьезометрическим уклоном Iр, который выражают следующей зависимостью: где L – длина потока между сечениями 1–1 и 2–2. Пьезометрический уклон может быть как положительным, так и отрицательным. Если соединить уровни жидкости в скоростных трубках, то получим линию полного напора. Падение линии полного напора на единицу длины называют гидравлическим уклоном I и выражают зависимостью:

Физический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что с энергетической точки зрения оно представляет тот или иной вид удельной энергии, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости. Полная удельная энергия потока состоит из удельной энергии положения z, удельной энергии давления p/ и удельной кинетичеcкой энергии, которая уменьшается по длине потока в направлении движения из-за преодоления сил трения. Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой сумму потенциальной, и кинетической удельных энергий и выражает частный случай общего закона сохранения энергии в природе.

Основное уравнение равномерного движения жидкости Рассмотрим часть равномерно движущегося потока (рис.) при допущении одинаковой скорости движения частиц по всему живому сечению. Это допущение упрощает решение поставленной задачи, дает возможность учесть только сопротивления трения потока о стенки трубы или русла и не учитывать сопротивления трения между частицами движущейся жидкости. В данном случае потери напора вызываются лишь гидравлическими сопротивлениями по длине потока, т. е. hw=hл. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений 1–1 и 2–2 выделенного из потока участка относительно плоскости сравнения 0–0:, или с учетом равенства скоростей, т. е. при равномерном движении потока потери напора по длине равны разности удельных потенциальных энергий.

Для вычисления этой разности рассмотрим действие внешних сил на выделенную часть потока и составим сумму проекций всех действующих сил на ось потока: P 1 –P 2 –Gsin –T где Р 1 и Р 2 – силы давления, соответственно на сечения 1–1 и 2–2 G – сила тяжести выделенной части потока; T – сила трения потока о стенки трубы или русла. Подставив значения слагаемых уравнения, получим

Разделив полученное уравнение на, будем иметь Т.к. левая часть уравнения равна hл, то окончательно получим h л = или. Это основное уравнение равномерного движения жидкости, которое показывает, что напряжение силы трения, отнесенное к единице веса жидкости, равно произведению гидравлического радиуса на гидравлический уклон потока.