Министерство Высшего и Среднего образования Республики Узбекистан Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности По тему: «Движение тела переменной массы.» Выполнила: студентка группы 11 р-18 Мирзарахимова Нигора Приняла:_____________________

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского В момент времени t тело массой m имеет скорость v. Через промежуток времени dm – уменьшение массы, dv – приращение скорости. Изменение импульса системы: 2 Л6Л6

– импульс в момент времени t, u – скорость dm относительно m (скорость истечения газов относительно ракеты), – скорость dm в выбранной системе отсчета (по теореме сложения скоростей Галилея). 3

При действии на систему внешних сил: – удельный расход массы (расход массы за единицу времени). тело ускоряется, тело тормозится. 4

– уравнение движения тел переменной массы (уравнение Мещерского). – реактивная сила. 5

Реактивное движение. Формула Циолковского 1903 г. – статья Циолковского о теории движения ракет и жидкостных реактивных двигателях. 6

Уравнение (2) начальные условия: v 0 = 0, m 0 – стартовая масса. – формула Циолковского. 7

Эта формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы. 1. Чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса m Чем больше u, тем больше может быть конечная масса ракеты при стартовой m 0. Уравнения даны для случая v < c. 8

Проблема космических полетов Космические скорости: Первая космическая скорость (круговая) – спутник Земли:v 1 8 км/с. Вторая космическая скорость (параболическая) – скорость, с которой тело может уйти из поля тяготения Земли и стать спутником Солнца: v 2 11,2 км/с. Третья космическая скорость – тело уходит из Солнечной системы: v 3 16,7 км/с. 9

u – скорость истечения газов, для химического топлива u = 4 км/с. Для v 1 отношение должно быть 7,4, v 2 –17, v 3 –64. Ближайшая звезда находится на расстоянии 4 световых года. Чтобы достичь при m = 20 т m 0 должна быть ~ кг. Для сравнения: М Земли 6·10 24 кг, М Солнца 2·10 30 кг, М Галактики 3·10 41 кг. С помощью химического топлива полёты на дальние планеты не возможны. 10

Работа. Консервативные силы Понятие о механической работе и энергии 11

Энергия – количественная мера движения материи в различных формах этого движения. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии. Механическая энергия – мера механического движения, перемещения и взаимодействия сил. Механическая работа – мера перехода механической энергии от одного тела к другому. 12

Прямолинейное движение С течением времени вектор F может меняться по модулю и по направлению. Поэтому рассматривается элементарное перемещение, на котором F = const, а движение точки (тела) прямолинейное. Следовательно, элементарная работа: 13 скалярная величина.

Движение по участку траектории F S – проекция вектора F на вектор перемещения 14

Работа движение материальной точки в силовом поле: если за элементарное время dt точка, под действием силы F, совершает элементарное перемещение dr, то если каждой точке пространства поставлено в соответствие определенное значение физической величины - говорят, что задано физическое поле, сила совершает работу по перемещению тела 1 2 F F F F F F при произвольном перемещении, например от точки 1 до точки 2 работа равна сумме элементарных работ L Силовое поле 15

16

При графическом изображении F S (S) работа равна площади под кривой. Система СИ: [А] = джоуль, Дж. 1 Дж равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути 1 м, 1 Дж = 1 Н·1 м. 17

Мощность Мощность (механизма или машины) – работа, совершаемая за единицу времени. Характеризует скорость совершения работы. Скалярная величина. – мгновенная мощность. – средняя мощность. Система СИ: [N] = ватт, Вт; 1 Вт = 1 Дж / 1 с. 18

Кинетическая энергия Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. Сила вызывает движение тел и совершает работу 19

20

Работа А силы F пошла на увеличение скорости тела от v 1 до v 2, увеличение его кинетической энергии. – справедливо как для одного тела, так и для системы тел. 21

Теорема о кинетической энергии если под действием силы F элементарное перемещение точки - dr,то элементарная работа 1 2 F F F F F F L - кинетическая энергия тела Таким образом получаем теорему о кинетической энергии для элементарных перемещений Элементарная работа, совершенная над телом, равна дифференциалу кинетической энергии тела На произвольном перемещении Работа по перемещению тела между любыми двумя точками пространства равна разности кинетических энергий тела в конечной и начальной точках 22

Использовался второй закон Ньютона, т.е. движение в ИСО. В разных ИСО, движущихся относительно друг друга, скорость тела различная, следовательно, различна и кинетическая энергия Е к. 23

Консервативные силы Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы пути (траектории), а только от начального и конечного положения точек траектории. 24 Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

Примеры консервативных сил (силовых полей):

Сила тяжести 26

Сила упругости В одномерном случае F(x) Работа зависит от начального и конечного положения (x 1 ;x 2 ). Если x 1 = x 2, то А = 0. 27

Диссипативные силы – силы, работа которых зависит от траектории перемещения тел. Пример: сила трения. 28

29 Потенциальные поля Рассмотрим элементарное перемещение dr тела под действием внешних сил F F F F F F L Будем считать, что силы, действующие на тело при его движении, в любой точке пространства удовлетворяют условию где Φ(x,y,z) - некоторая скалярная функция Тогда 1

30 Потенциальные поля Таким образом, элементарная работа δA в силовом поле, удовлетворяющем условию (1), равна полному дифференциалу (с обратным знаком) некоторой скалярной функции многих переменных Φ(x,y,z) 1 Функцию Φ(x,y,z) называют потенциальной функцией силового поля Соответственно, силовое поле, удовлетворяющее условию (1), называют потенциальным силовым полем Свойства потенциальных полей Элементарная работа, совершенная в потенциальном поле над телом, равна дифференциалу (с обратным знаком) потенциальной функции для элементарных перемещений на произвольном перемещении Работа по перемещению тела в потенциальном поле не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела A

31 Потенциальные поля Согласно условию (A), при движении по замкнутой траектории 1 Следовательно Работа в потенциальном поле по любой замкнутой траектории равна нулю 2 Силовое поле, удовлетворяющее условию (2), называют консервативным И мы получаем, что Если поле потенциально, то оно консервативно 2 1

32 Потенциальные поля Очевидно выражение (1) можно записать следующим образом Величина в скобках является вектором, - его называют оператор-вектор В физике, оператор-вектор называют - оператор «набла» - действие оператора «набла» на скалярную функцию называют градиентом функции Градиент функции – это вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания функции С помощью оператора «набла» выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает наиболее лаконичную форму 1

33 Потенциальные поля В потенциальных полях множество точек поля, в которых потенциальная функция имеет одинаковые значения, называют эквипотенциальной поверхностью Уравнение эквипотенциалей Φ1Φ1 Φ2Φ2 Φ3Φ3 Φ4Φ4 - Φ В потенциальном поле т.е. сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной функции (Φ 1 > Φ 2 > Φ 3 > Φ 4 ) и следовательно, всегда перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением силы в этой точке, называется силовой линией В потенциальном поле силовые линии и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны

34 Потенциальная энергия Как мы установили, работа в потенциальном поле равна В этом случае Экспериментально измеримой физической величиной является работа, соответственно, потенциальная функция измерима только с точностью до произвольной константы – это означает, что в потенциальном поле любую одну потенциальную поверхность можно принять за поверхность с нулевым значением потенциальной функции Φ 0 = 0 работа по перемещению тела из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом, численно равна значению потенциальной функции в этой точке Численное значение потенциальной функции в любой точке поля (при заданном нулевом значении) называют потенциальной энергией тела, находящегося в этой точке Это означает, что Потенциальная энергия есть мера той работы, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из данной точки в точку с нулевым значением потенциальной функции Φ0Φ i

35 Потенциальная энергия Учитывая, что потенциальная функция – это способ описания силового воздействия окружающего поля на тело, можно сформулировать следующее качественное определение потенциальной энергии потенциальная энергия - это мера взаимодействия тела, помещенного в данную точку поля, с окружающим миром потенциальная функция потенциальная энергия характеристика поля в данной точке характеристика тела в этой же точке 1 Следовательно, для произвольных перемещений в потенциальном поле Соответственно, для элементарных перемещений И выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает еще одну форму

36 Закон сохранения энергии мы определяем работу любых сил (потенциальных и не потенциальных ) Итак, для элементарных перемещений в потенциальном поле Но по теореме о кинетической энергии для элементарных перемещений Т.е. Изменим запись последней формулы Величину называют полной механической энергией тела Для произвольных перемещений Дифференциал полной механической энергии тела, равен элементарной работе не потенциальных сил над телом Итак для элементарных перемещений Изменение полной механической энергии тела на любом его перемещении равно работе не потенциальных сил над телом

37 Закон сохранения энергии Если элементарная работа не потенциальных сил равна нулю то полная механическая энергия тела сохраняется При движении тела в потенциальном поле его полная механическая энергия сохраняется Частные случаи полная механической энергии тела сохраняется в любых состояниях этого тела, если в этих состояниях работа не потенциальных сил над телом равна нулю Если непотенциальные силы отсутствуют При полном отсутствии сил (для свободного тела) полная механическая энергия тела очевидно сохраняется, но этот случай имеет очень ограниченное практическое значение

Потенциальная энергия Потенциальная энергия – энергия системы тел, зависящая от взаимного расположения или их составных частей. Взаимодействие тел в системе осуществляется посредством силовых полей. Поля консервативных сил называются потенциальными. 38

Тело, находящееся в потенциальном поле другого тела, обладает потенциальной энергией. – потенциальная энергия в поле тяготения. – потенциальная энергия упруго деформированного тела. 39

Рассмотрим поле консервативных сил. Так как работа консервативных сил не зависит от формы пути, то при перемещении тела из 0 в 0' можно ввести понятие потенциальной энергии: 40 Пусть перемещаем материальную точку из точки 1 в точку 2. При перемещении работа будет равна:

Работа консервативны сил равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. Выражения (8), (9) справедливы как для одного тела, находящегося в поле консервативных сил, так и для системы тел. 41

Связь потенциальной энергии и силы Материальная точка движется вдоль оси х в потенциальном поле E p (x). 42 Сила есть первая производная от потенциальной энергии по координате, взятая с обратным знаком.

В общем случае трехмерного пространства: В векторном виде: – набла (оператор Гамильтона). 43

Уравнение (2) в общем виде: Т.е. E p определяется с точностью до С, но это не влияет на результат, так в первую очередь интересует Δ E p. Потенциальную энергию системы в каком-то состоянии считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета). Энергию системы в других состояниях отсчитывают от этого нулевого уровня. 44

Знак – отражает то, что сила F направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии. 45

В точке х 0 : тело в равновесии. Тело находится в положении устойчивого равновесия, если потенциальная энергия тела минимальная. Этот вывод распространяется и на систему тел. 46

Закон сохранения энергии в механике Закон сохранения энергии материальной точки, находящейся в потенциальном поле 47

Потенциальное поле – поле консервативных сил. полная механическая энергия системы. – совершается работа, идущая на увеличение Ек. – связь силы и потенциальной энергии 48

Полная механическая энергия материальной точки (тела, частицы), находящейся в потенциальном поле (в консервативной системе), есть величина постоянная, т.е. с течением времени не меняется. 49

Потенциальные кривые Одномерное движение тела (материальной точки). В этом случае Ер является функцией лишь одной переменной (например, координаты х) – Ер (х). График зависимости Ер от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых определяет характер движения тел. 50

Рассмотрим консервативную систему, т.е. систему, в которой превращение механической энергии в другие виды отсутствует. В ней действует закон сохранения энергии: Кинетическая энергия не может быть отрицательной, потому Для частиц (материальных точек) 51

52

Области (ab); (cd): частица находится в потенциальной яме и совершает движение в ограниченной области пространства – финитное движение (ограниченное). Области (bc); (de) содержат потенциальный барьер. Частица в этой области находиться не может. Т.е. классическая частица потенциальный барьер преодолеть не может. Область (е +): частица может уйти как угодно далеко – инфинитное движение (неограниченное). 53

Закон сохранения энергии в механике Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек массой m i, движущихся со скоростями v i. – внутренние консервативные силы. – внешние консервативные силы. – внешние неконсервативные силы. 54

Второй закон Ньютона для i точки: Под действием силы точка за время dt совершает перемещение dr i : 55

Суммируя по всем точкам, получаем: При переходе системы из одного состояния в другое: работа, совершаемая внешними неконсервативными силами. 56

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, т.е. Полная механическая энергия консервативной системы есть величина постоянная, с течением времени не меняется. Консервативной системой называется механическая система, внутренние силы которой консервативны, а внешние силы – консервативны и стационарны. Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. физические законы инвариантны относительно начала отсчета времени. 57

Замкнутая система – частный случай. В этом случае внешние силы не рассматриваются, т.е. – полная механическая энергия системы. Происходит превращение Ep Ек, и обратно Ек Ep. 58

Наряду с консервативными силами в системе могут существовать неконсервативные силы (диссипативные, например, F тр ). В этом случае с течением времени полная механическая энергия системы уменьшается. Но механическая энергия не исчезает, она переходит в другие виды энергии, например, при F тр во внутреннюю энергию. 59

Закон сохранения энергии в механике является частным случаем фундаментального (всеобщего) закона сохранения энергии: сумма всех видов энергии в замкнутой системе постоянна 60

Применение законов сохранения импульса и энергии для анализа упругого и неупругого ударов шаров Понятие об ударе в физике Удар – кратковременное взаимодействие двух или более тел. Центральный удар (двух шаров) – удар, при котором движение происходит по прямой, соединяющей центры тел.

Сила взаимодействия при ударе тел велика следовательно, внешними силами, действующими на тело, можно пренебречь. Поэтому систему тел в процессе удара можно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Тело во время удара претерпевает деформацию. Кинетическая энергия во время удара переходит в энергию деформации.

Если деформация упругая, то тело стремится принять прежнюю форму. Следователь, имеем упругий удар. Если деформация неупругая, то тело не принимает прежнюю форму – неупругий удар.

Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами. В общем случае относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения, т.к. нет идеально упругих тел. Коэффициент восстановления – отношение нормальных составляющих относительной скорости после удара u n и до удара v n : ε = 1 – абсолютно упругий удар. ε = 0 – абсолютно неупругий удар.

Абсолютно упругий удар – удар, при котором внутренняя энергия соударяющихся тел не изменяется. Закон сохранения импульса: Закон сохранения энергии:

При одинаковых массах происходит обмен скоростями.

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором полная механическая энергия соударяющихся тел не сохраняется, частично переходит во внутреннюю энергию; импульс сохраняется. При абсолютно неупругом ударе тела после удара двигаются с одинаковой скоростью.

Наковальня Вся энергия переходит в теплоту или деформацию.

Удар молотка по гвоздю. Вся энергия переходит в механическую энергию.