Объёмы тел Изображения пространственных фигур

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления это ключ к изучению стереометрии «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», признавался великий математик Леонард Эйлер ( ). В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … Мы знаем, что

ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). ГЕОМЕТРИЯ

Основные понятия стереометрии точка, прямая, плоскость, расстояние А Т М m = (РКС) | PK | A, KC, P, | PK | = 2 см Р К С

Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Аксиомы стереометрии А-1 Р К С = (РКС) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна

Аксиомы стереометрии А-2 С М m М, C m М, C m, Еслито Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Аксиомы стереометрии А-3 М m М, М, М m m, m = m Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым ВЫВОД Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Определение Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом. Определение Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: 1.равные тела имеют равные объемы; 2.при параллельном переносе тела его объем не изменяется; Определение объема тела

- за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; - если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; Определение Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1 содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2.

Теорема 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc Теорема 2. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH. Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA 1 B 1 D 1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O, а поэтому равновелики.

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Следовательно, V = V 1 + V 2 = S Δ ADC · H + S Δ BDC · H = S Δ ABC · H = S · H. Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V V n = ( S 1 + S S n ) H = S · H, где S 1, S 2,..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы. Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, тогда, учитывая теорему1, получим

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Следовательно, V = V 1 + V 2 = S Δ ADC · H + S Δ BDC · H = S Δ ABC · H = S · H. Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V V n = ( S 1 + S S n ) H = S · H, где S 1, S 2,..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = S пс Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A 2 B 2 C 2 и A 3 B 3 C 3 – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 прямая, причем A 2 A 3 =A 1 A.Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC. Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC, тогда V + V 2 = V 1 + V 2, откуда V = V 1. Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то V 1 = S Δ A 3 B 3 C 3 · A 2 A 3 = S пс · l = V, что и требовалось доказать Теорема 3.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H. Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O – высота этой призмы. Пусть. Поскольку, а, то плоскости A 2 B 2 C 2 и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A 1 A и A 1 O. По теореме о площади ортогональной проекции S A 2 B 2 C 2 = S AB С cos φ. Согласно теореме 3 V = S A 2 B 2 C 2 · A 1 A = S AB С cos φ · A 1 A = S ABС · A 1 O = S · H. Теорема 4.

. Объём: V = Sh S площадь основания Многогранник тело, ограниченное плоскостями. Призма многогранник, основания которого равные многоугольники, боковые грани параллелограммы. АВ ребро; h высота Объёмы тел и их изображение в пространстве

Параллелепипед призма, у которой основания параллелограммы. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке Прямоугольный параллелепипед у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию. Рёбра: а длина, b ширина, с высота; d диагональ (все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны) Объём: V = abc Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó заметим, что точки Ао, Во, Dо и Аó являются вершинами тетраэдры АоВоDоАó. Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоАó параллелепипеда. Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырёхугольника АВDА'.

Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó. Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами.

Куб прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты. а=b=с V = а 3 (отсю­да и название третьей степени «куб»), d диагональ S = 6a 2 d 2 =3a 2 Число граней – 6, форма граней – квадраты, число ребер – 12, число вершин – 8.

Пирамида – многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д.

Тетраэдр – это один из пяти типов правильных многогранников; правильная треугольная пирамида; число вершин – 4. Под изображением многогранника следует понимать фигуру, Под изображением многогранника следует понимать фигуру, состоящую из проекций всех его рёбер. Число граней – 4, форма граней – треугольники, число ребер – 6,

Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования. На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

Отрезки AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A 0 B 0 C 0 D 0. Пусть A 0 B 0 C 0 D 0 – произвольный тетраэдр, A, B, C и D – параллельные проекции A, B, C и D – параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (π).

Усеченная пирамида – плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

Число граней – 8, форма граней – треугольники, число ребер – 12, число вершин – 6. Октаэдр ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Додекаэдр Число граней – 12, форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20. ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Икосаэдр Число граней – 20, форма граней – треугольники, число ребер – 30, число вершин – 12. ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Цилиндры. Круглый прямой. Круглый усеченный S – площадь боковой поверхности. V – объем. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Сфера – поверхность шара ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

R радиус шара; а радиус окружности сечения; h высота отсекаемой шляпки ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Шаровой сектор.

R радиус шара; а радиус окружности сечения; h высота отсекаемой шляпки Шаровой сегмент ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

R радиус шара, a, b радиусы окружностей сечений, h высота слоя Шаровой слой ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык. При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности. Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа.