1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ член-корр. РАН И.Г. Поспелов, ВЦ РАН, отдел математического моделирования экономических систем Заведующий отделом академик РАН А.А.ПЕТРОВ В течение последних 30 лет в отделе разрабатываются модели советской и российской экономики с учетом особенностей фактически складывающихся экономических отношений и институтов. Y Модели позволяют дать системно согласованные качественные и количественные оценки состояния экономики, в том числе тех показателей, которые не наблюдаются экономической статистикой. Y Модели позволяют проводить сценарные расчеты для оценки последствий реализации тех или иных вариантов макроэкономической политики. Y Модели использовались для анализа эволюции структуры советской и российской экономики, а результаты их исследования составляют "летопись" экономической истории нашей страны в последние два десятилетия.

2 ЭКОНОМИКА = система управления производством, распределением и потреблением благ (ресурсов, товаров и услуг) Сложные системы – это системы, способные к необратимому саморазвитию ( живой организм; биосфера; Земля в целом; человеческое общество и его подсистемы: технология, экономика, язык) Сложные системы – это системы, способные к необратимому саморазвитию ( живой организм; биосфера; Земля в целом; человеческое общество и его подсистемы: технология, экономика, язык) Сложные системы неэргодичны, т.е. не показывают всех своих возможностей на наблюдаемой траектории. Исследование сложных систем выводит нас за пределы применимости эмпирического метода, которой обеспечил триумф естественных наук в последние 300 лет. Сложные системы неэргодичны, т.е. не показывают всех своих возможностей на наблюдаемой траектории. Исследование сложных систем выводит нас за пределы применимости эмпирического метода, которой обеспечил триумф естественных наук в последние 300 лет. Опыт показывает, что сложной системы получается много моделей, не выводящихся как частный случай из какой бы то ни было универсальной «супермодели». Частные модели описывают разные ракурсы исследуемой системы. Они оперируют разными наборами понятий и пренебрегают отнюдь не малыми отклонениями от учтенных в них закономерностей. Опыт показывает, что сложной системы получается много моделей, не выводящихся как частный случай из какой бы то ни было универсальной «супермодели». Частные модели описывают разные ракурсы исследуемой системы. Они оперируют разными наборами понятий и пренебрегают отнюдь не малыми отклонениями от учтенных в них закономерностей. Систему моделей сложной системы можно рассматривать как математическую категорию. Понятия теории выступают в этом случае не как собрания частных случаев, а как морфизмы, отображающие одну частную модель в другие. Систему моделей сложной системы можно рассматривать как математическую категорию. Понятия теории выступают в этом случае не как собрания частных случаев, а как морфизмы, отображающие одну частную модель в другие.,, Потоки денег замкнуты

Типы моделей экономики 3 Модели конкретных предприятий или рынков Микромодели (модели типичных предприятий или рынков) Макромодели (модели целостных экономических систем) Балансовые Планирование в рамках технологических ограничений Имитацион ные сборка из «простых» частей «Теоретические» формализация содержательных теорий Эконометри ческие поиск устойчивых корреляций наблюдаемых показателей Модели взаимодействия экономических агентов Агрегирование ? Динамическое равновесие = баланс сил Динамическое равновесие = баланс сил Статистическое равновесие = баланс вероятностей переходов Статистическое равновесие = баланс вероятностей переходов Экономическое равновесие = баланс интересов субъектов Экономическое равновесие = баланс интересов субъектов Типизация ? Вычислимые модели равновесия с 1990х наиболее популярные Модели САРЭ с 1990х ВЦ Учет сложившихся экономических отношений

4 ПЛАНОВАЯ ЭКОНОМИКА С КООПЕРАТИВНЫМ СЕКТОРОМ ( , Председатель Совета министров СССР - Н.И. Рыжков) Y Модель плановой экономики построена в 1986г. по заказу Госбанка СССР. В ней описаны механизмы функционирования плановой экономики. Y Модель описывает феномен «отчетной экономики»: если запланированный темп роста больше допустимого, то по данным планирующих органов происходит рост производительности труда, замещение труда капиталом и рост благосостояния населения при постоянных ценах, а фактически происходит снижение качества продукции, рост объемов незавершенного строительства и дефицит потребительских благ. В 1988г. модель была модифицирована так, чтобы учесть возникновение кооперативного сектора на основе аренды производственных мощностей, не загруженных государственным заказом. В 1988г. модель была модифицирована так, чтобы учесть возникновение кооперативного сектора на основе аренды производственных мощностей, не загруженных государственным заказом. Оказалось, что кооперативный сектор несколько сглаживает дефекты плановой экономики (увели-чивается доля потребления, снижается доля некачественного продукта), но в ограниченных масштабах и ценой усиления инфляции. Оказалось, что кооперативный сектор несколько сглаживает дефекты плановой экономики (увели-чивается доля потребления, снижается доля некачественного продукта), но в ограниченных масштабах и ценой усиления инфляции. Доля потребления в общем объеме производства Доля некачественного продукта в общем объеме производства Индекс потребительских цен

5 ЭКОНОМИКА САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ ( , Премьер-министр СССР - В.С. Павлов) Модель построена в 1990г. Описана экономика, в которой предприятия, оставшись в государственной собственности, получили право самостоятельно распоряжаться своей продукцией, произведенной сверх госзаказа. Но в условиях распада потребительского рынка предприятия вынуждены были снабжать свои трудовые коллективы потребительскими товарами. В модели учтены бартерный обмен между предприятиями и чёрный рынок потребительских продуктов. Модель построена в 1990г. Описана экономика, в которой предприятия, оставшись в государственной собственности, получили право самостоятельно распоряжаться своей продукцией, произведенной сверх госзаказа. Но в условиях распада потребительского рынка предприятия вынуждены были снабжать свои трудовые коллективы потребительскими товарами. В модели учтены бартерный обмен между предприятиями и чёрный рынок потребительских продуктов. Y Модель описывает тенденцию к сокращению производства за счет свертывания отраслей ВПК при росте экспорта сырья. При этом в краткосрочном плане объем потребления может даже расти. Эта тенденция проявляется тем ярче, чем выше доходность чёрного рынка. Доля экспорта в общем объеме производства Объем потребления Общий объем производства

6 Y Во всех случаях возникала резкая дифференциация доходов занятых коммерцией и производством и занятых в бюджетной сфере Y Подробное исследование модели показало, что были и другие, более мягкие варианты либерализации, но они требова-ли точной и жесткой налоговой и бюджетной политик. Y Цены неограниченно растут при сохранении 3/4 гос.потребления Y Фактически за 1992г. гос. потребление было сокращено на 60%, и за первые три месяца этого года цены выросли в 10 раз. Y Рост цен мог быть относительно небольшим лишь при сокращении гос. потребления на 3/4 за полгода ПРОГНОЗ ПОСЛЕДСТВИЙ ЛИБЕРАЛИЗАЦИИ ЦЕН В ПЛАНОВОЙ ЭКОНОМИКЕ (1992, и.о. Председателя правительства РФ - Е.Т. Гайдар) Расчеты произведены в 1990г., за 2 года до реформы Y Модель построена в 1990г. по запросу Комиссии по экономической реформе ВС СССР оценить последствия либерализации цен. Представленные оценки Комиссия не приняла во внимание. Y Модель предсказала катастрофический рост цен, резкое расслоение населения по доходам и потерю им сбережений при неизбежном резком сокращении государственного потребления. Месяцы после отпуска цен месяцы после отпуска цен посл е до посл е Доходы, млрд. руб. в год Рост цен в

7 ЭКОНОМИКА ПЕРИОДА ВЫСОКОЙ ИНФЛЯЦИИ ( гг., Председатель правительства РФ - В.С. Черномырдин) Y Модель использовалась для оценки вывоза капитала из страны экспортерами и импортерами. Y С помощью модели систематически проводился анализ последствий разных вариантов государствен- ной макроэкономической политики и были выявлены потенциально опасные жесткие монетаристские варианты, грозившие дефляционным шоком экономики. С помощью модели было проанализировано внутреннее экономическое содержание событий "черного вторника" 11 октября 1994г. Y Модель построена в 1993г. по заказу Центра экономической конъюнктуры при Правительстве РФ. Y Модель описывает экономику, сложившуюся в России после реформы 1992г., когда в сфере обра- щения возникла иерархия монополий: экспортеры и банки импортеры промышленные предпри- ятия. В модели описаны обращение неплатежей, льготное кредитование производителей Центральным банком (практиковалось в гг.), функционирование банков в условиях, когда отсутствуют сбережения населения, а процент за кредит меньше темпа инфляции. Y Модель хорошо предсказывала основные макропоказатели состояния экономики и особенно точно изменение курса доллара и потребительских цен. расчет статистика Курс $ цена Вывоз капитала, млрд. долл.

8 ЭКОНОМИКА ПЕРИОДА ФИНАНСОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ( гг., Председатели правительства РФ – В.С. Черномырдин, С.В. Кириенко) Y Модель построена в 1996г. по заказу Главного управления ЦБ РФ по Свердловской области. В г. модель использовалась для регулярных аналитических и прогнозных расчетов состояния экономики и кредитно-денежной системы Свердловской области. По данным о состоянии экономики области на конец мая 1998г. с помощью модели было предсказано, что в августе 1998г. наступит кризис банковской системы области. Y Модель описывает экономику типичного российского региона периода "финансовой стабилизации", когда в результате приватизации руководство предприятий в массе перестало чувствовать ответственность за благосостояние трудового коллектива, Центральный банк прекратил льготное кредитование производителей и последние вынуждены были занимать деньги у коммерческих банков, коммерческие банки могли вкладывать свободные активы в ГКО. Y В модели описано обращение неплатежей, а также теневой оборот денег. С помощью модели был объяснен феномен спонтанного объединения промышленных и торговых предприятий под эгидой коммерческих банков. Y Показано, что неплатежи произво- дителей и теневой оборот денег представляют собой разные про- явления одного и того же механизма адаптации производителей к высоким издержкам обращения. Граница устойчивости Средний уровень жизни в регионе Доля неплатежей в оплате топлива Доля неплатежей в 1997г.

9 ЭКОНОМИКА ПЕРИОДА ФИНАНСОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ (продолжение) Верификация модели Модель воспроизводила динамику более чем 70 основных статистических показателей развития области в течении года с отклонением менее 10% и корреляцией более 85% Аналитические расчеты С помощью модели проводились аналитические расчета, например, что было бы, если теневой оборот исчез

10 ОЦЕНКИ ПОТЕНЦИАЛА РОСТА РОССИЙСКОЙ ЭКОНОМИКИ (1999г., Председатель правительства РФ - Е.М. Примаков) Y Модель построена в 1999г. для оценки потенциала среднесрочного роста российской экономики в той ситуации, когда еще сохраняется прежняя структура производства, но уже произошло оздоровление кредитно-денежной системы и возникли достаточно конкурентные рынки товаров и капитала. Y В модели описана кредитно-денежная система с разными механизмами эмиссии денег, что позволило изучить проблему неинфляционного финансирования инвестиций в реальный сектор экономики. Когда банки пользуются доверием населения, им не требуется государственная поддержка кредитования инвестиций. Когда банки НЕ пользуются доверием, им необходима государственная поддержка кредитования инвестиций. (мера доверия населения к банкам - процент, под который население готово класть деньги в банк) Уровень доверия населения к банкам темп инфляции, % в год темп роста, % в год Y Показано, что при существующей структуре реального сектора без иностранных инвестиций трудно ожидать стабильного реального роста более, чем 10% в год. Y При существующем уровне доверия населения к банковской системе экономический рост 5% в год возможен только при государственной поддержке кредитов в реальный сектор.

11 Модель экономики России для оценки теневого оборота ( )

12 Оценка теневого оборота в экономике России Легальные платежи Нелегальные платежи Труд Продукт Валюта Производитель Личное потребление СобственникиЧистая прибыль Гос. потребление Инвестиции Налоги Банки Кредиты, проценты Государство (Минфин+ЦБ) выпуск Домохозяйства Зарплата Вклады, проценты Капиталовложения Внешняя торговля Чистый экспорт Продажа валюты Покупка валюты в резерв Трансфертыи зарплата бюджетников Вывоз капитала Рынок продукта Рынок труда Рынок валюты Рынок капитала Ссуды Депозиты Рынок кредитов Рынок депозитов

Результаты прогнозных расчетов 13

Аналитические расчеты 14 Изменение инфляции Изменение ВВП Изменение инвестиций Изменение поступлений социального налога Изменение поступлений налога на прибыль Изменение доли теневой зарплаты

15 Исходные представления структурного описания экономики материальные балансы не могут адекватно описать движение общественных и информационных благ материальные балансы

16 Исходные представления структурного описания экономики финансовые балансы

17 Исходные представления описание поведения субъектов Экономический субъект (потребитель, производитель, государство, торговец, и т.п.) в модели описывается как лицо, принимающее решение, в первую очередь относительно потоков аддитивных величин. Экономический субъект (потребитель, производитель, государство, торговец, и т.п.) в модели описывается как лицо, принимающее решение, в первую очередь относительно потоков аддитивных величин. Экономический субъект «не видит» всей системы, и при принятии решения опирается на информационные переменные: (цены, проценты, курсы, и т.п.) Экономический субъект «не видит» всей системы, и при принятии решения опирается на информационные переменные: (цены, проценты, курсы, и т.п.) Поведение отельного субъекта хаотично, но совокупное поведение массы субъектов, исполняющих сходные роли – рационально благодаря синергетическим эффектами конкуренции (отбора), кооперации и подражания (обучения) Поведение отельного субъекта хаотично, но совокупное поведение массы субъектов, исполняющих сходные роли – рационально благодаря синергетическим эффектами конкуренции (отбора), кооперации и подражания (обучения) Поведение влиятельных индивидуумов (государства, монополий) описывается сценариями Поведение влиятельных индивидуумов (государства, монополий) описывается сценариями Масса сходных субъектов (производителей, потребителей банков) описывается как один экономический агент принципом оптимальности Масса сходных субъектов (производителей, потребителей банков) описывается как один экономический агент принципом оптимальности Экономическое равновесие Экономическое равновесие

18 Исходные представления структурного описания экономики принцип рациональных ожиданий

Математическая форма модели: общая задача агента Это вызывает ассоциацию: «Динамическая система, типичные решения которой суть обратимые колебания или вращения вокруг положений равновесия с сохранением величин, связанных с симметриями системы». Система условий оптимальности -- гамильтонова

Отличие от физики Обратимости может не быть вследствие неголономных связей управления экстенсивнывозмущения интенсивны Симметрий ожидать, вроде не приходится ввиду неавтономности системы, но симметрия есть. Ввиду того, что управления экстенсивны, а возмущения по большей часть интенсивны, имеется нарушенная симметрия инвариантности относительно растяжения «координат». Динамической системы с вращениями нет, поскольку типичные особые точки гамильтониана не центры, а седла. Импульсы ненаблюдаемы и неустойчивы. Надо решать краевую задачу магистральное свойство: Но зато возникает неизвестное физике магистральное свойство:. Оптимальная траектория оказывается слабо зависящей от начальных и терминальных условий, Аналог теоремы Нетер Это позволяет определить как стоимость его чистых активов, оцененных в двойственных ценах Это позволяет определить капитал агента как стоимость его чистых активов, оцененных в двойственных ценах Анализ выражения для обнаруживает полное соответствие бухгалтерским правилами исчисления этой величины Анализ выражения для балансовой прибыли обнаруживает полное соответствие бухгалтерским правилами исчисления этой величины

ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ЭКОМОД Система ЭКОМОД, в среде компьютерной алгебры Maple, поддерживает все этапы разработки и использования модели в канонической форме: Описание блоков Контроль синтаксиса, Контроль размерности, Автоматическая генерация условий оптимальности, Использование упрощенных обозначений Сборка модели Контроль системы балансов, Контроль информационных связей агентов, Некоторые гарантии от смешения обозначений Аналитическое исследование модели Автоматическое упрощение системы соотношений на основе их семантики, Возможность узнать исходный вид и смысл соотношений после любых преобразований, Контроль корректности переобозначений, Сохранение дерева вариантов преобразований в файловой системе, Возможность быстро повторить все преобразования при модификации исходных гипотез Расчеты по модели (идентификация, верификация, численные эксперименты, Сохранение стандартной математической нотации до самого расчета Представление и хранение результатов расчетов 21

ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ЭКОМОД Система ЭКОМОД, в среде компьютерной алгебры Maple, поддерживает все этапы разработки и использования модели в канонической форме: Описание блоков Контроль синтаксиса, Контроль размерности, Автоматическая генерация условий оптимальности, Использование упрощенных обозначений Сборка модели Контроль системы балансов, Контроль информационных связей агентов, Некоторые гарантии от смешения обозначений Аналитическое исследование модели Автоматическое упрощение системы соотношений на основе их семантики, Возможность узнать исходный вид и смысл соотношений после любых преобразований, Контроль корректности переобозначений, Сохранение дерева вариантов преобразований в файловой системе, Возможность быстро повторить все преобразования при модификации исходных гипотез Расчеты по модели (идентификация, верификация, численные эксперименты, Сохранение стандартной математической нотации до самого расчета Представление и хранение результатов расчетов 22

23 d d t ()pt() t()pt

Мировой финансовый кризис NASDAQ Discount rate США импортируют мозги и экспортируют технологии. На выручку покупают за границей материальные блага. Производство выводится. Население занимается обслуживанием друг друга 2003 Развитие высоких технологий обернулось пузырем. Другого мотора не нашлось. Политика монетарного регулирования догматически доводится до абсурда 2007 война в Ираке Переход к кейнсианским механизмам стимулирования – война в Ираке – подъем экономики. Набранные по низким ставкам ипотечные кредиты становятся невозвратными ипотечный кризис – банкротства – распродажа иностранных активов

Банковская система в модели МОДЕЛЬНЫЙ БАЛАНС КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА АктивыПассивы W+L+R=N+S+С+O Ликвид- ность СсудыРезервыРас. счета ДепозитыКредиты ЦБ «Капитал » УСЛОВИЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ R =Lc+ (t) (N+S) ЭМПИРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ L+R N+S+С W 1 W + 2 (t) S

Модель рационального поведения банка: ограничения планирует Переменные без индекса банк планирует, прогнозирует переменные с индексом банк прогнозирует ссуды под процент Балансы: депозиты под процент ликвидность; Z(t) –извлекаемый доход Правила игры: резервные требования работа по открытой схеме спрос на деньги с предвидением потребности

Соотношения представляют собой ограничения, наложенные в рамках модели на возможности банка выбирать значения своих планируемых переменных (управлений): Согласно принципу рациональных ожиданий, лежащему в основе моделей межвременного равновесия, при планировании своих управляющих переменных банк может рассчитывать на точный прогноз информационных переменных: Модель межвременного равновесия с управлением капиталом: агент максимизирует собственную капитализацию что эквивалентно максимизации потока полезных расходов (в данном случае ) в заданной временной пропорции на некотором интервале, при заданных в начальный момент значениях фазовых переменных,, и заданных траекториях изменения экзогенных величин и терминальном условии Модель рационального поведения банка: функционал и терминальные условия

Сильное магистральное свойство рациональное поведение банка фактически описывается динамической системой Хотя задача о рациональном поведении банка ставилась в предположении знания будущих значений информационных переменных, на оптимальной траектории оставшиеся двойственные переменные определяются текущими значениями информационных переменных, и рациональное поведение банка фактически описывается динамической системой, а не краевой задачей Для идентификации ~ 20 параметров имеем ~200 наблюдений

Модель банковской систем строилась как блок целостной модели экономики России, поэтому она может показывать реакцию банковской системы, но не может предсказывать ее будущее (слишком открыта) Модель реакции банковской системы на внешние воздействия ВХОД Привлеченные средства S(t), N(t) Проценты по кредитам и депозитам Нормативы резервирования и обратных дюраций ВЫХОД Кредиты L(t) Ликвидность W(t) Сверхнормативные резервы Lс(t) МОДЕЛЬ

Результаты расчетов Сальдо вложений\заимствований в ЦБ, Lc-C Кредитные вложения в экономику, L Ликвидные активы (к.с. в ЦБ), W Нехватка ликвидности статистика расчет статистика расчет статистика расчет