Описательные характеристики распределения тестовых результатов 1.Меры среднего положения (меры центральной тенденции). Мода, медиана, среднее 2.Меры вариации (рассеяния, изменчивости данных). Размах, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации 3.Меры формы (меры симметрии и островершинности кривой распределения). Коэффициенты асимметрии, эксцесса 4.Квантили. Квартили, процентили

Это обобщающие показатели, характеризующие типичное значение, присущее большинству единиц совокупности, позволяющие выявлять закономерности. Мода, М – это наиболее часто встречающееся значение признака в исследуемой совокупности. –Унимодальное распределение, –Бимодальное распределение, –Мультимодальное распределение. Медиана, Мd – это значение, которое делит упорядоченную совокупность данных пополам, так что одна половина значений больше медианы, а другая – меньше. Меры среднего положения В данной совокупности имеются две относительно самостоятельные группы.

Среднее,, – это значение, которое отражает типичное значение для исследуемой совокупности в данных условиях: где n – объем совокупности, x i – i-е значение совокупности. –Чтобы средняя величина была действительно обобщающей характеристикой, улавливающей закономерность, она должна применяться к достаточно однородной совокупности. –Средняя величина рассчитывается только для количественных признаков. Меры среднего положения

У симметричных унимодальных распределений: У унимодальных распределений с правой асимметрией: У унимодальных распределений с левой асимметрией: Соотношение мер среднего положения Выбор меры центральной тенденции в зависимости от типа измерительной шкалы Тип шкалыМеры центральной тенденции НоминальнаяМода РанговаяМода, медиана ИнтервальнаяМода, медиана, среднее ОтношенийМода, медиана, среднее

Меры изменчивости Меры изменчивости – показатели, измеряющие вариацию (разброс) значений совокупности. К мерам изменчивости относятся: размах, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации, и др. Размах вариации (R), отражает пределы изменчивости значений совокупности. Представляет собой разность между максимальным (x max ) и минимальным значением (x min ) совокупности: Размах не учитывает всех значений в выборке и определяется только двумя значениями.

Дисперсия,, – это значение, которое отражает внутреннюю изменчивость значений исследуемой совокупности: где n – объем совокупности, x i – i-е значение, – среднее значение. Стандартное отклонение,, показывает насколько в среднем отклоняется каждое значение ( x i ) от среднего : Меры изменчивости

В случае нормальности распределения исследуемой совокупности значений справедливо следующее (правило «Трех сигм»): 70% значений лежит между, 95% значений лежит между, 99% значений лежит между. % Процентное распределение наблюдений под нормальной кривой 68,26% 95,44% 99,72% 34,13% 15,59% 2,14% Среднее ()

Меры изменчивости

Квантили Квантиль – делит совокупность на заданное число равных частей по количеству значений. Число частей может быть различным, отсюда и разные квантили – квартили, децили, перцентили. Квартиль делит совокупность на четыре равные части, по 25% значений а каждой части.

Квантили Дециль делит совокупность на 10 равных частей, по 10% значений в каждой части. Перцентиль делит совокупность на 100 равных частей. Например, D 1 = C 10, Q 1 = C 25, Md = C 50, Q 3 = C 75 и т.д. Необходимость расчета квантилей вызвана теми же причинами, что и расчет медианы: низкая чувствительность к случайным резким отклонениям значений признака.

Меры формы Асимметрия (As) – степень отклонения распределения от симметричного распределения, характерного для нормальной кривой. –Асимметрия As принимает значения в диапазоне от –3 до +3. As = 0, распределение симметрично; As < 0, левосторонняя асимметрия, As > 0, правосторонняя асимметрия. отрицательная нулевая положительная асимметрия асимметрия асимметрия

Меры формы Эксцесс (Ex) – степень островершинности кривой распределения. Эксцесс (Ex) принимает значения в диапазоне от –3 до +3. Ex = 0, распределение средневершинно; Ex < 0, плосковершинная кривая, Ex > 0, островершинная кривая. Понятие «эксцесс» применимо лишь к унимодальным распределениям. Если две моды, то говорят об эксцессе кривой в окрестности каждой моды. Меры асимметрии и эксцесса можно использовать для сравнения различных распределений. островершинная плосковершинная средневершинная

План апробации тестовых заданий

Спасибо за внимание! Ваши вопросы и пожелания