Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 7. Лекция 7 Импульс силы. Количество движения. Теорема об изменении количества движения. Законы сохранения. Теорема Эйлера. Пример решения задачи на использование теоремы об изменении количества движения. Момент количества движения. Теорема об изменении момента количества движения..

Лекция 7 Импульс силы – мера механического взаимодействия, характеризующая передачу механического движения со стороны действующих на точку сил за данный промежуток времени: 18 В проекциях на координатные оси: В случае постоянной силы: В проекциях на координатные оси: Импульс равнодействующей – равен геометрической сумме импульсов приложенных к точке сил за один и тот же промежуток времени: Умножим на dt: Проинтегрируем на данном промежутке времени: Количество движения точки – мера механического движения, определяемая вектором, равным произведению массы точки на вектор ее скорости: m Теорема об изменении количества движения системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие F k e и F k i. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: или Количество движения системы материальных точек – геометрическая сумма количеств движения материальных точек: По определению центра масс: Вектор количества движения системы равен произведению массы всей системы на вектор скорости центра масс системы. Тогда: В проекциях на координатные оси: Производная вектора количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы. Просуммируем эти уравнения по всем точкам: В левой части уравнения внесем массы под знак производной и заменим сумму производных на производную суммы: Из определения количества движения системы: В проекциях на координатные оси:

Теорема Эйлера – Применение теоремы об изменении количества движения системы к движению сплошной среды (воды). 1.Выбираем в качестве объекта движения объем воды, находящийся в криволинейном канале турбины: 2. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями (R пов – равнодействующая поверхностных сил) 3. Добавляем активные силы (R об – равнодействующая объемных сил): 4. Записываем теорему об изменении количества движения системы: Количество движения воды в моменты времени t 0 и t 1 представим как суммы: A B C A B C D D Изменение количества движения воды в интервале времени [t 0, t 1 ] : Изменение количества движения воды за бесконечно малый интервал времени dt:, где F1F1 F2F2 Принимая произведение плотности, площади поперечного сечения и скорости за секундную массу получаем: Подставляя дифференциал количества движения системы в теорему об изменении получаем: Следствия из теоремы об изменении количества движения системы (законы сохранения): 1. Если в интервале времени [t 1, t 2 ] главный вектор внешних сил системы равен нулю, R e = 0, то вектор количества движения постоянен, Q = const – закон сохранения количества движения системы). 2. Если в интервале времени [t 1, t 2 ] проекция главного вектора внешних сил системы на ось x равна нулю, R x e = 0, то проекция количества движения системы на ось x постоянна, Q x = const. Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. Лекция 7 ( продолжение 7.2 ) Пример: Граната массы M, летевшая со скоростью v, разорвалась на две части. Скорость одного из осколков массы m 1 возросла в направлении движения до величины v 1. Определить скорость второго осколка. 1. Объект движения (граната): 2. Объект – свободная система, связи и их реакции отсутствуют. 3. Добавляем активные силы: 4. Записываем теорему об изменении количества движения: Проецируем на ось : β Разделяем переменные и интегрируем : Правый интеграл практически равен нулю, т.к. время взрыва t

Лекция 7 ( продолжение 7.3 ) 20 Момент количества движения точки или кинетический момент движения относительно некоторого центра – мера механического движения, определяемая вектором, равным векторному произведению радиуса-вектора материальной точки на вектор ее количества движения: Кинетический момент системы материальных точек относительно некоторого центра – геометрическая сумма моментов количеств движений всех материальных точек относительно этого же центра: m r O В проекциях на оси: Теорема об изменении момента количества движения системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие F k e и F k i. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: или Просуммируем эти уравнения по всем точкам: Заменим сумму производных на производную суммы: Выражение в скобках есть момент количества движения системы. Отсюда: Умножим векторно каждое из равенств на радиус-вектор слева: Посмотрим, можно ли вынести знак производной за пределы векторного произведения: Таким образом, получили: Производная вектора момента количества движения системы относительно некоторого центра по времени равна главному моменту внешних сил системы относительно этого же центра. В проекциях на координатные оси: Производная момента количества движения системы относительно некоторой оси по времени равна главному моменту внешних сил системы относительно этой же оси.