Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 4. Лекция 4 Вынужденные колебания материальной точки. Резонанс. Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях.

Лекция 4 Вынужденные колебания материальной точки – Наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой. Возмущающая сила может иметь различную природу. Например, в частном случае инерционное воздействие неуравновешенной массы m 1 вращающегося ротора вызывает гармонически изменяющиеся проекции силы: x y O x y O A Основное уравнение динамики: Проекция уравнения динамики на ось: Приведем уравнение к стандартному виду: 12 Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит их двух частей x = x 1 + x 2 : x 1 – общее решение соответствующего однородного уравнения и x 2 – частное решение неоднородного уравнения: Частное решение подбираем в форме правой части: Полученное равенство должно удовлетворяться при любом t. Тогда: или Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат сложения (наложения) свободных (x 1 ) и вынужденных (x 2 ) колебаний. 1.Если p < k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С 1 и С 2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: 2.Если p > k (вынужденные колебания большой частоты), то фаза колебаний противоположна фазе возмущающей силы:

Лекция 4 ( продолжение 4.2 ) 1313 Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому отклонению точки под действием постоянной силы H = const: Амплитуда вынужденных колебаний: Статическое отклонение можно найти из уравнения равновесия: Здесь: Отсюда: Таким образом, при p < k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p > k (большая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: Резонанс – возникает, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний (p = k). Это наиболее часто происходит при запуске и остановке вращения плохо сбалансированных роторов, закрепленных на упругих подвесках. Дифференциальное уравнение колебаний при равенстве частот: Частное решение в форме правой части взять нельзя, т.к. получится линейно зависимое решение (см. общее решение). Общее решение: Подставим в дифференциальное уравнение: Возьмем частное решение в виде и вычислим производные : Таким образом, получено решение: или Вынужденные колебания при резонансе имеют амплитуду неограниченно возрастающую пропорционально времени. Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях. Дифференциальное уравнение при наличии вязкого сопротивления имеет вид: Общее решение выбирается из таблицы (Лекция 3, стр. 11) в зависимости от соотношения n и к (посмотреть).посмотреть Частное решение возьмем в виде и вычислим производные : Подставим в дифференциальное уравнение: Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях получаем систему уравнений: Возведением в степень обоих уравнений и сложением их получаем амплитуду вынужденных колебаний: Делением второго уравнения на первое получаем сдвиг фазы вынужденных колебаний: Таким образом, уравнение движения при вынужденных колебаний с учетом сопротивления движению, например при n < k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.