ПРЕЗЕНТАЦИЯ БЕЗГИНА ФЁДОРА ШКОЛА «Б»

ØВведениеВведение ØЗолотое сечение в живописиЗолотое сечение в живописи ØЗолотое сечение в музыкеЗолотое сечение в музыке ØЗолотое сечение в архитектуреЗолотое сечение в архитектуре ØЗолотое сечение в математикеЗолотое сечение в математике ØВторое золотое сечениеВторое золотое сечение ØЗавершениеЗавершение

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое- деление отрезка в среднем и крайнем отношении. И. Кеплер

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола.

При этом ученые от Пачоли до Эйнштейна будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой 1, Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое все подчиняется божественному закону, имя которому «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее нет, известен. «Золотое сечение» это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна

Порой профессиональные художники, научившись рисовать и писать с натуры, по причине собственной слабой фундаментальной подготовки, считают, что знания законов красоты, (в частности закона золотого сечения) мешают свободному интуитивному творчеству. Это большое и глубокое заблуждение многих художников, так и не ставших истинными творцами. Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, что, в сущности, весьма просто, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли такого совершенства строения форм, выражающих их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в Древнем Египте.

ØБоттичеллиБоттичелли ØРафаэльРафаэль ØЛеонардо да ВинчиЛеонардо да Винчи ØШишкинШишкин

Боттичелли - "Рождение Венеры" Полотно "Рождение Венеры" написано несколькими годами позже" Весны". Неизвестно, кто из семейства Медичи был ее заказчиком. Мы знаем только, что с середины XVI века она вместе с "Весной" находилась на вилле Кастелло. Литературными источниками для ее написания были произведения Полициано, Вергилия и Гомера. На картине изображено не само рождение богини, а последовавший за тем момент, когда она, гонимая дыханием гениев воздуха, достигает берега, где ее встречает одна из граций. Согласно древнейшему греческому поэту Гесиоду ("Теогония", ), Венера родилась из моря - из пены, которую произвели гениталии оскопленного Урана ( САТУРН), выброшенные в воду Кроном. Она плывет к берегу в раскрытой раковине, подгоняемой мягким дуновением ветра, и наконец причаливает на Пафосе (на Кипре) - одном из главных мест почитания ее, культа в античности. Ее греческое имя Афродита, возможно, происходит от aphros, что значит "пена".

Около острова Киферы родилась Афродита, дочь Урана, из белоснежной пены морских волн. Легкий, ласкающий ветерок принес ее на остров Кипр. Там окружили юные Оры вышедшую из морских волн богиню любви. Они облекли ее в златотканую одежду и увенчали венком из благоухающих цветов. Где только не ступала Афродита, там пышно разрастались цветы. Весь воздух полон был благоуханием. Эрот и Гимерот повели дивную богиню на Олимп. Громко приветствовали ее боги. С тех пор всегда живет среди богов Олимпа златая Афродита, вечно юная, прекраснейшая из богинь.

ØЖØЖизнь ØНØНаиболее известные картины ثثИзбиение младенцев»

Рафаэль Уже в ранних, написанных до переезда во Флоренцию, картинах сказался присущий Рафаэлю гармоничный склад дарования, его умение находить безупречное согласие форм, ритмов, красок, движений, жестов, и в таких небольших по формату работах, почти миниатюрах, как «Мадонна Конестабиле» (ок , Эрмитаж), «Сон рыцаря», «Три грации», «Святой Георгий», и в более крупном по формату «Обручении Марии». Флорентийский период ( ) Переезд сыграл огромную роль в творческом становлении Рафаэля. Первостепенное значение для него имело знакомство с методом Леонардо да Винчи. Вслед за Леонардо он начинает много работать с натуры, изучает анатомию, механику движений, сложные позы и ракурсы, ищет компактные, ритмически сбалансированные композиционные формулы.

Переехав в Рим, 26-летний мастер получает должность «художника апостольского Престола» и поручение расписать парадные покои Ватиканского дворца, с 1514 руководит строительством собора св. Петра, работает в области церковной и дворцовой архитектуры, в 1515 назначается Комиссаром по древностям, отвечает за изучение и охрану античных памятников, археологические раскопки. Росписи Ватиканского дворца. Центральное место в творчестве этого периода занимают росписи парадных покоев Ватиканского дворца. Росписи Станцы делла Сеньятура ( ) – одно из самых совершенных творений Рафаэля. Величественные многофигурные композиции на стенах (объединяющие от 40 до 60 персонажей) «Диспута» («Спор о причастии»), «Афинская школа», «Парнас», «Основание канонического и гражданского права» и соответствующие им четыре аллегорические женские фигуры на сводах олицетворяют богословие, философию, поэзию и юриспруденциюПереехав в Рим, 26-летний мастер получает должность «художника апостольского Престола» и поручение расписать парадные покои Ватиканского дворца, с 1514 руководит строительством собора св. Петра, работает в области церковной и дворцовой архитектуры, в 1515 назначается Комиссаром по древностям, отвечает за изучение и охрану античных памятников, археологические раскопки. Росписи Ватиканского дворца. Центральное место в творчестве этого периода занимают росписи парадных покоев Ватиканского дворца. Росписи Станцы делла Сеньятура ( ) – одно из самых совершенных творений Рафаэля. Величественные многофигурные композиции на стенах (объединяющие от 40 до 60 персонажей) «Диспута» («Спор о причастии»), «Афинская школа», «Парнас», «Основание канонического и гражданского права» и соответствующие им четыре аллегорические женские фигуры на сводах олицетворяют богословие, философию, поэзию и юриспруденцию.

Рафаэля-монументалиста относятся также выполненные по заказу банкира и мецената Агостино Киджи росписи сводов капеллы Киджи (ок , Санта Мария делла Паче, Рим) и полная языческой жизнерадостности фреска «Триумф Галатеи» (ок , вилла Фарнезина, Рим). Выполненные в картоны для шпалер с эпизодами истории апостолов Петра и Павла (Музей Виктории и Альберта, Лондон) стилистически близки к росписям Станц, однако в них появляются уже первые признаки исчерпанности классического стиля Рафаэля, черты холодного совершенства, увлечение зрелищным началом, эффектностью поз, избытком жестикуляции. В еще большей степени это свойственно фрескам ватиканской Станцы дель Инчендио ( ), выполненным по рисункам Рафаэля его помощниками Джулио Романо и Дж. Ф. Пенни. Легкостью, изяществом, богатством фантазии отличаются чисто декоративные росписи, выполненные помощниками Рафаэля по его рисункам в зале Психеи виллы Фарнезина (ок ) и в т. н. Лоджиях Рафаэля Ватиканского дворца ( ).

Преображение Христово Сикстинская Мадонна

Мадонна КонестабилеОбручение Марии Малая Мадонна Каупера

Мадонна в зелениСон рыцаря

Св. Себастьян Портрет папы Льва X

"Избиение младенцев" В отличие от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев». На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции» Избиение младенцев" или только «чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения.

Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа ( ) писал о нем: «В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции «Избиение младенцев» очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали».

ØЖизньЖизнь Ø«Мона Лиза»«Мона Лиза» Ø«Тайная вечеря»«Тайная вечеря»

Леонардо да Винчи Леонардо (Лионардо) да Винчи ( ) - живописец, скульптор, архитектор, инженер, ученый. Родился 15 апреля 1452 г. в городе Винчи, близ Флоренции, незаконный сын местного нотариуса сера Пьера Винчи и молодой крестьянки Катарины. Воспитывался в доме отца и вместе с ним переселился в 1469 г. (а может быть, еще в 1466) во Флоренцию. Впервые его имя встречается там в книге корпорации флорентинских художников от 1472 г. В гг. (а может быть, и до 1478) работал в боттеге Верроккио, в 1480 г. упоминается как имеющий собственную мастерскую. Первые свидетельства о самостоятельных работах: заказ на алтарный образ для капеллы св. Бернарда во дворце Синьории (1478; выполнен не был) и договор на "Поклонение волхвов" для монастыря Сан Донато а Скопето (1481; работа осталась незаконченной). В гг. в Милане, на службе у герцога Лодовико Моро, в качестве военного инженера, архитектора, скульптора и живописца. В апреле 1500 г. Леонардо да Винчи возвращается во Флоренцию (через Мантую и Венецию). В 1502 около года служит у Чезаре Борджа, по поручению которого объезжает Романью, Умбрию и Тоскану. В гг. во Флоренции работает над стенной росписью в зале Большого совета дворца Синьории ("Битва при Ангиари"), в 1506 г. возвращается в Милан на службу к французскому наместнику Шарлю д'Амбуаз, где живет до 1513 г. (с перерывом для поездки во Флоренцию в 1507 г.).

С конца 1513 г. в Риме, откуда в 1516 г. был приглашен королем Франциском I во Францию на должность первого живописца, архитектора и механика короля. Умер в замке Клу 2 мая 1519 г., завещав рукописное наследство ученику Франческо Мельци, сопровождавшему его во Францию. Леонардо да Винчи был не только великим художником-живописцем, скульптором и архитектором, но и гениальным ученым, занимавшимся математикой, механикой, физикой, астрономией, геологией, ботаникой, анатомией и физиологией человека и животных, последовательно проводившим принцип экспериментального исследования. В его рукописях встречаются рисунки летательных машин, парашюта и вертолета, новых конструкций и винторезных станков, печатающих, деревообрабатывающих и других машин, отличающиеся точностью анатомические рисунки, мысли, относящиеся к математике, оптике, космологии (идея физической однородности вселенной) и другим наукам. Около семи тысяч страниц сохранившихся рукописей (написанных на итальянском языке в большинстве справа налево зеркально) были позднее разъединены и хранятся теперь в библиотеках Лондона, Виндзора, Парижа, Милана и Турина.

»Мона Лиза» Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них. Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо деле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: Ты должна быть моей женой. Но женщина ответила: Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

"Тайная вечеря« Из свидетельства Амморети следует заключить, что картина "Тайная Вечеря" была окончена в 1497 году. К сожалению, Леонардо да Винчи исполнил ее красками, из которых некоторые оказались очень непрочными. Уже через пятьдесят лет после окончания, картина, по свидетельству Вазари, находилась в самом жалком состоянии. Однако если бы в то время можно было исполнить желание короля Франциска I, выраженное через шестнадцать лет после окончания картины, и, выломив стену, перевести картину во Францию, то, может быть, она сохранилась бы. Но этого нельзя было сделать. В 1500 г. вода, залившая трапезу, окончательно испортила стену. Кроме того, в 1652 г. была пробита дверь в стене под ликом Спасителя, уничтожившая ноги этой фигуры. Картина была несколько раз неудачно реставрирована. В 1796 г., после перехода французов через Альпы, Наполеон отдал строгое предписание пощадить трапезу, но следовавшие за ним генералы, не обращая внимания на его приказ, превратили это место в конюшню, а впоследствии в складочное место для сена.

Тайная вечеря самое зрелое и законченное произведение Леонардо. В этой росписи мастер избегает всего того, что могло бы затемнить основной ход изображенного им действия, он добивается редкой убедительности композиционного решения. В центре он помещает фигуру Христа, выделяя ее просветом двери. Апостолов он сознательно отодвигает от Христа, чтобы еще более акцентировать его место в композиции. Наконец, в этих же целях он заставляет сходиться все перспективные линии в точке, непосредственно расположенной над головой Христа. Учеников Леонардо разбивает на четыре симметрические группы, полные жизни и движения. Стол он делает небольшим, а трапезную строгой и простой. Это дает ему возможность сосредоточить внимание зрителя на фигурах, обладающих огромной пластической силой. Во всех этих приемах сказывается глубокая целеустремленность творческого замысла, в котором все взвешено и учтено…

Шишкин - "Сосновая Роща" На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Музыка - искусство звука,...звук - сама материя музыки... звук должен быть закутан в тишину, звук должен покоиться в тишине, как драгоценный камень в бархатной шкатулке. Генрих Нейгауз

Небосвод Вселенной разделен тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. И в ней отражаются извечные нерушимые законы мироздания. Пифагор писал о гармонии, музыке трех сфер - звезд (включая планеты), Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой (3:4), квинтой (2:3) и октавой (1:2). Они-то и легли в основу настройки четырех струн орфеевой лиры до-фа-соль-до. Особенно пифагорейцы чтили число 10 - сумму первых натуральных чисел 1, 2, 3 и 4, которые графически представлялись с помощью точек магического (равнобедренного) треугольника - символа, на котором приносилась их клятва. В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С.Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%). Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции. Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

Всемирные творения

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0, На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари):

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах:

ØОсновноеОсновное ØЗадача о кроликах и числа ФибоначчиЗадача о кроликах и числа Фибоначчи ØЗолотой треугольникЗолотой треугольник

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0, Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗАДАЧА О КРОЛИКАХ Особый интерес представляет последовательность чисел, впервые описанная в 1202 году Леонардо Фибоначчи. В его книге были собраны известные в то время сведения по математике, приводились примеры решения задач. И среди них была простая, нелишенная практической направленности задача о кроликах. Задача гласила: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножатся кролики от второго месяца после своего рожденияОсобый интерес представляет последовательность чисел, впервые описанная в 1202 году Леонардо Фибоначчи. В его книге были собраны известные в то время сведения по математике, приводились примеры решения задач. И среди них была простая, нелишенная практической направленности задача о кроликах. Задача гласила: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножатся кролики от второго месяца после своего рождения.

В результате решения этой задачи получился ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,..., 610, 987, 1597и т.д. Этот ряд чисел интересен тем, что каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел с ростом N стремится к одному и тому же числу. Полученные отношения как бы колеблются около постоянной величины, постепенно приближаясь к ней: 1,618 или 0,618. Это число в математике с давних пор связано с пропорцией обладающей уникальным свойством. Она отвечает эталону деления целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Это пропорцию называют по разному «золотой», «божественной», «золотым сечением» и «золотым числом»

Золотой треугольник Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой. Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ( ). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1, получая точку С. Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Второе Золотое сечение Болгарский журнал «Отечество» (10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника