Семинар, посвященный памяти П.Е. Эльяберга. ИКИ РАН. 22 апреля 2004 года Методика построения адаптивной модели определения движения КА Cергиевский А.Н. Cергиевский А.Н. ФГУП ЦНИИ Комета

Постановка задачи Имеется. Решается задача Коши для высокоэллиптического КА с периодом обращения ~ 12 часов. Начальные условия периодически корректируются по результатам траекторных измерений. Модели как описания движения (потенциалы сил притяжения Луны, Солнца и Земли), так и ошибок измерений (математические ожидания равны нулю, ковариационная матрица - известна) заданы. Ошибки прогнозирования движения указанного КА составляют км (при прогнозировании на 2 недели в апогей орбиты) и км (соответственно на 4 недели) и превышают соответствующие СКО ~ 5 раз. Имеется. Решается задача Коши для высокоэллиптического КА с периодом обращения ~ 12 часов. Начальные условия периодически корректируются по результатам траекторных измерений. Модели как описания движения (потенциалы сил притяжения Луны, Солнца и Земли), так и ошибок измерений (математические ожидания равны нулю, ковариационная матрица - известна) заданы. Ошибки прогнозирования движения указанного КА составляют км (при прогнозировании на 2 недели в апогей орбиты) и км (соответственно на 4 недели) и превышают соответствующие СКО ~ 5 раз. Требуется. Уменьшить соответствующие ошибки прогнозирования (определения движения) КА до уровня меньшего соответствующих СКО. Требуется. Уменьшить соответствующие ошибки прогнозирования (определения движения) КА до уровня меньшего соответствующих СКО.

Методика решения задачи. Методика решения задачи. Методика построения адаптивной модели определения движения космического аппарата (КА) может быть заключаться в выполнении следующей последовательности операций. Методика построения адаптивной модели определения движения космического аппарата (КА) может быть заключаться в выполнении следующей последовательности операций. Проводится апостериорная оценка точности прогнозирования движения КА. Проводится апостериорная оценка точности прогнозирования движения КА. Проводится анализ: Проводится анализ: особенностей движения рассматриваемых КА; особенностей движения рассматриваемых КА; наиболее вероятных причин (основных источников) возникновения ошибок прогнозирования при использовании существующей методики прогноза; наиболее вероятных причин (основных источников) возникновения ошибок прогнозирования при использовании существующей методики прогноза; путей повышения точности прогноза положения рассматриваемых КА. путей повышения точности прогноза положения рассматриваемых КА. – На основе результатов проведенного анализа и априорной информации принимается решение о возможных вариантах моделей описания движения КА и ошибок измерителя, т.е. параметры обеих моделей, поправки к которым могут быть использованы в качестве компенсирующих. – Исходный материал для проведения апостериорной оценки точности разбивается на три подвыборки: обучающую, проверочную и контрольную. На обучающей выборке (малого объема) производится вычисление поправок к параметрам, выбранным в пункте 3, для которых удовлетворяется правило включения по одиночке в расширяемый вектор состояния [1].

– На проверочной выборке (которая может быть объединена с обучающей) строится (адекватная) модель прогноза движения КА методом пошаговой регрессии [2]. Построение модели заканчивается, когда включение в модель оставшихся регрессоров, т.е. поправок, вычисленных в пункте 4, не приводит к существенному уменьшению функционала эмпирического риска [3]. – На контрольной выборке проверяется статистическая устойчивость результатов апостериорной оценки точности прогноза. Результаты. В результате применения предлагаемой методики ошибки прогнозирования (определения движения) КА были уменьшены до уровня существенно меньшего соответствующих СКО. Результаты. В результате применения предлагаемой методики ошибки прогнозирования (определения движения) КА были уменьшены до уровня существенно меньшего соответствующих СКО.

Основными причинами возникновения ошибок определения движения КА служат следующие ошибки: в определении начальных условий при решении задачи Коши [1]: в определении начальных условий при решении задачи Коши [1]: с начальными условиями, где - с начальными условиями, где - шестимерный вектор параметров движения КА, шестимерный вектор параметров движения КА, R=U+S+L+.. – потенциал сил, действующих на КА в полете, где основное влияние оказывает геопотенциал U, который может быть представлен в виде [1]: R=U+S+L+.. – потенциал сил, действующих на КА в полете, где основное влияние оказывает геопотенциал U, который может быть представлен в виде [1]: S и L – потенциалы сил притяжения Солнцем и Луной соответственно; S и L – потенциалы сил притяжения Солнцем и Луной соответственно; - полиномы, а - присоединенные функции - полиномы, а - присоединенные функции Лежандра соответственно; Лежандра соответственно; r, - геоцентрические радиус, широта, долгота; r, - геоцентрические радиус, широта, долгота; J n, C nm, D nm - коэффициенты разложения геопотенциала; J n, C nm, D nm - коэффициенты разложения геопотенциала; - гравитационная постоянная Земли; - гравитационная постоянная Земли; r a - средний экваториальный радиус Земли; r a - средний экваториальный радиус Земли; ошибки в описании движения и расчетные ошибки. ошибки в описании движения и расчетные ошибки.

Ошибки определения начальных условий обусловлены в свою очередь ошибками измерителя (погрешностей измерений и неточностью координатной привязки измерителя) и погрешностями при обработке результатов измерений. Последние в свою очередь можно разбить на ошибки за счет описания движения КА на интервале обработки измерений и расчетные ошибки. Ошибки определения начальных условий обусловлены в свою очередь ошибками измерителя (погрешностей измерений и неточностью координатной привязки измерителя) и погрешностями при обработке результатов измерений. Последние в свою очередь можно разбить на ошибки за счет описания движения КА на интервале обработки измерений и расчетные ошибки. Ошибки описания движения КА обусловлены как неточным знанием и учетом (известных) сил в потенциале R, так и наличием неизвестных и неучтенных в потенциале R сил, действующих на КА в полете. Ошибки описания движения КА обусловлены как неточным знанием и учетом (известных) сил в потенциале R, так и наличием неизвестных и неучтенных в потенциале R сил, действующих на КА в полете. Расчетные ошибки обусловлены как погрешностями при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений Расчетные ошибки обусловлены как погрешностями при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений так и численными ошибками при вычислении оценки вектора состояния и при вычислении частных производных.

Задача поиска вектора компенсирующих поправок (как при поиске расширенного вектора состояния, где - вектор мешающих параметров [1], или уточнения только вектора начальных условий ) может рассматриваться в качестве задачи нелинейного регрессионного анализа – восстановления зависимости [3]. Задача поиска вектора компенсирующих поправок (как при поиске расширенного вектора состояния, где - вектор мешающих параметров [1], или уточнения только вектора начальных условий ) может рассматриваться в качестве задачи нелинейного регрессионного анализа – восстановления зависимости [3].

В рассматриваемом случае применение регрессионного анализа заключается в поэтапном наращивании уточняемых поправок к исследуемым параметрам (в частности, к коэффициентам разложения геопотенциала в соответствующий ряд) до тех пор пока расширение числа уточняемых параметров целесообразно. В рассматриваемом случае применение регрессионного анализа заключается в поэтапном наращивании уточняемых поправок к исследуемым параметрам (в частности, к коэффициентам разложения геопотенциала в соответствующий ряд) до тех пор пока расширение числа уточняемых параметров целесообразно. В качестве критерия целесообразности расширения числа членов регрессии на j – ый параметр может служить выполнение следующего неравенства [2]: В качестве критерия целесообразности расширения числа членов регрессии на j – ый параметр может служить выполнение следующего неравенства [2]: >,(1) >,(1) где где - оценка поправки к параметру ; - оценка поправки к параметру ; - расчетное значение дисперсии параметра ; - расчетное значение дисперсии параметра ; в качестве обычно выбирают F0.05,1, - критическое значение распределения Фишера с - числом степеней свободы. в качестве обычно выбирают F0.05,1, - критическое значение распределения Фишера с - числом степеней свободы.

После выбора совокупности параметров, для которых для которых удовлетворяется правило (1) включения по одиночке в расширяемый вектор состояния производится проверка целесообразности их совместтного применения. Для этого сначала производится их ранжирование по значению величины. На следующем этапе выбирается параметр, для которого достигается максимум указанной величины. Оценивается величина остаточной суммы квадратов. В предположениии, что k параметров уже включены в расширяемый вектор состояния, включение k+1 параметра считается целесообразным [ ], если выполняется условие После выбора совокупности параметров, для которых для которых удовлетворяется правило (1) включения по одиночке в расширяемый вектор состояния производится проверка целесообразности их совместтного применения. Для этого сначала производится их ранжирование по значению величины. На следующем этапе выбирается параметр, для которого достигается максимум указанной величины. Оценивается величина остаточной суммы квадратов. В предположениии, что k параметров уже включены в расширяемый вектор состояния, включение k+1 параметра считается целесообразным [ ], если выполняется условие где N – объем выборки. где N – объем выборки.

Часто в качестве критериев, позволяющих сделать выбор «наилучшей» (по определению Д.Химмельблау) модели из нескольких возможных или предполагаемых моделей, обычно используют по отдельности или в некоторой комбинации критерии, приведенные в работе [6]: ведется поиск наименьшего числа параметров регрессии, совместимого с разумной ошибкой; ведется поиск наименьшего числа параметров регрессии, совместимого с разумной ошибкой; при выборе параметров регрессии используются разумные физические основания; при выборе параметров регрессии используются разумные физические основания; выбор ведется по минимальной сумме квадратов отклонений между предсказанными и эмпирическими значениями. выбор ведется по минимальной сумме квадратов отклонений между предсказанными и эмпирическими значениями. Выбор модели в целом считается удовлетворительным, если отношение не превышает определенной величины, где - остаточная не превышает определенной величины, где - остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы; сумма квадратов, деленная на число степеней свободы; - мера рассеяния ошибок прогноза, вызванного ошибками траекторных измерений. При этом предполагается [6], что модель приблизительно адекватно описывает экспериментальные данные. - мера рассеяния ошибок прогноза, вызванного ошибками траекторных измерений. При этом предполагается [6], что модель приблизительно адекватно описывает экспериментальные данные.

Литература Литература П.Е.Эльясберг. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука П.Е.Эльясберг. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука Дж.Себер. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир Дж.Себер. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под редакцией В.Н.Вапника. М.: Наука Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под редакцией В.Н.Вапника. М.: Наука В.П.Вапник, С.С. Вербицкий, А.И.Михальский, Б.С.Ратнер, А.Н.Сергиевский, А.А.Сорокина.. Применение метода упорядоченной минимизации риска для нахождения сечений фотоядерных реакций. Краткие сообщения по физике. М.: ФИАН СССР. N В.П.Вапник, С.С. Вербицкий, А.И.Михальский, Б.С.Ратнер, А.Н.Сергиевский, А.А.Сорокина.. Применение метода упорядоченной минимизации риска для нахождения сечений фотоядерных реакций. Краткие сообщения по физике. М.: ФИАН СССР. N Ф.М. Гольцман. Физический эксперимент и статистические выводы. Ленинград. Издательство Ленинградского университета Ф.М. Гольцман. Физический эксперимент и статистические выводы. Ленинград. Издательство Ленинградского университета Д.Химмельблау. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир Д.Химмельблау. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир