Лекция 12 Механические колебания 24/04/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Свободные незатухающие гармонические колебания: 1. Пружинный маятник 2. Математический маятник 3. Физический маятник Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс. Параметрический резонанс.

Колебательные процессы Колебание – изменение состояния системы по периодическому или почти периодическому закону: маятник часов, груз на пружине, гитарная струна, давление воздуха в звуковой волне. Свободные (или собственные) колебания: колебания в системе, предоставленной самой себе: шарик в лунке, маятник. Вынужденные колебания – колебания под действием внешней периодической силы: вибрации моста, качели. Автоколебания, параметрические колебания.

Свободные незатухающие гармонические колебания. Пружинный маятник mx = - kx mx + kx = 0 x + ω 0 2 x = 0 – дифференциальное уравнение гармонических колебаний (ω 0 2 = k/m) x = Acos(ω 0 t + φ 0 ) – гармоническое колебание A – амплитуда колебаний ω 0 – циклическая частота φ 0 – начальная фаза ω 0 t + φ 0 – фаза колебаний T = 2π/ ω 0 – период колебаний Изохронность: ω 0 – определяется только свойствами системы и не зависит от амплитуды. F = -kx – квазиупругая возвращающая сила

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях Смещение: x = Acos(ω 0 t + φ 0 ) Скорость: v = x = - ω 0 Asin(ω 0 t + φ 0 ) = ω 0 Acos(ω 0 t + φ 0 + π/2); v 0 = ω 0 A – амплитуда скорости; скорость опережает смещение x по фазе на π/2. Ускорение a = - ω 0 2 Acos(ω 0 t + φ 0 ) = ω 0 2 Acos(ω 0 t + φ 0 + π) a 0 = ω 0 2 A – амплитуда ускорения; ускорение в противофазе со смещением

Энергия гармонических колебаний Потенциальная энергия: П = kx 2 /2 = ½kA 2 cos 2 (ω 0 t + φ 0 ) Кинетическая энергия: K = mv 2 /2 = ½mω 0 2 A 2 sin 2 (ω 0 t + φ 0 ) = ½кA 2 sin 2 (ω 0 t + φ 0 ) Полная энергия: Е = П + K = const = ½kA 2 = ½mv 0 2 Для гармонических колебаний: = = ½E

Энергетический метод для колебательных систем с одной степенью свободы q – обобщённая координата (смещение, угол поворота) q – обобщённая скорость (скорость смещения, угловая скорость) Уравнение энергии: ½ κq 2 +½ μq 2 = const П = ½ κq 2 – потенциальная энергия K = ½ μq 2 – кинетическая энергия ω 2 = κ/μ – циклическая частота κ – эффективная жёсткость системы μ – инерционность системы

Математический маятник. Математический маятник – материальная точка на нерастяжимой лёгкой нити в поле тяжести Земли. Энергетический метод: θ – угол отклонения нити от вертикали (обобщённая координата). 1. Потенциальная энергия: П = mgL(1 – cosθ) ½ mgLθ 2 = ½ кθ 2 k = mgL – эффективная жёсткость 2. Кинетическая энергия: K = ½ m(Lθ) 2 = ½ mL 2 θ 2 = ½ μθ 2 μ = ½ mL 2 – инерционность системы 3. Уравнение колебаний: ½кθ 2 + ½ μθ 2 = const 4. ω 0 2 = к/μ = g/L; T = 2π/ω 0 = 2π(L/g) 1/2

Ангармонический математический маятник ½кθ 2 + ½ μθ 2 = const θ + ω 0 2 θ = 0 – линеаризованное уравнение θ + ω 0 2 sinθ = 0 – нелинеаризованное ангармоническое уравнение; T = T 0 (1 + θ 0 2 /16 + 9θ 0 4 /64 + …) – период зависит от амплитуды (θ 0 – амплитуда)

Физический маятник Физический маятник - твёрдое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Энергетический метод: 1. Потенциальная энергия: П = mga(1 – cosθ) ½ mgaθ 2 2. Кинетическая энергия: K = ½Iθ 2, I = I c + ma 2 - момент инерции относительно оси O 3. Уравнение колебаний: ½mgaθ 2 + ½ Iθ 2 = const 4. ω 0 2 = mga/I; T = 2π/ω 0 = 2π(l/mga) 1/2

Приведённая длина. Центр качания. Теорема Гюйгенса. Оборотный маятник и измерение g L пр = I/ma – длина математического маятника с тем же периодом колебаний L пр = I/ma = (I c + ma 2 )/ma = a + I c /ma Центр качания О расположен на прямой ОС расстоянии L пр от точки подвеса O Теорема Гюйгенса Точка подвеса и центр качания являютсясопряжёнными точками: если маятник подвесить за центр качания, то его период не изменится. Доказательство: L пр = a + I c /ma a 2 - L пр a + I c /m = 0 a 1 + a 2 = L пр Оборотный маятник и измерение g: экспериментально определяют расстояние между сопряжёнными точками ОО = L пр и рассчитывают g по формуле: g = L пр ω 0 2

Крутильные колебания Диск на упругой нити: Момент упругих сил M z = - kθ, k – коэффициент крутильной жёсткости I 0 θ = - kθ θ + (k/I 0 )θ = 0 ω 0 2 = k/I 0

Затухающие колебания. Сила вязкого трения F тр = - βv mx = - kx – βv mx + βv + kx = 0 x + 2γx + ω 0 2 x = 0 - дифференциальное уравнение колебаний с затуханием; γ = β/2m – коэффициент затухания ω 0 2 = k/m – собственная частота если γ < ω 0,то x = а 0 e -γt cos(ωt + φ 0 ), ω = (ω 0 2 – γ 2 ) 1/2 – частота затухающих колебаний; а 0 e -γt – амплитуда затухающих колебаний

Характеристики затухающих колебаний Время релаксации τ – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз: τ = 1/ γ Логарифмический декремент затухания: λ = ln[a(t)/a(t + T)] = γT = T/τ Число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз N e = τ/T = 1/λ Слабое затухание N e = τ/T = ω/2πγ >> 1 γ

Диссипация энергии. Добротность. dE/dt = -βv 2 - мощность силы трения dE/dt = -βv 2 = -(2β/m) (mv 2 /2) = - 4 γK Слабое затухание: γ = ½ E dE/dt = - 2 γE E = E 0 e -2 γt Убыль энергии за период ΔЕ T = 2 γTE Убыль энергии при изменении фазы на 1 рад: ΔЕ = ΔЕ T /2π = ( 2 γ/ω)E 0 Добротность: Q = E/ΔЕ = ω/ 2 γ = πN e

Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. mx + βv + kx = Fcosωt x + 2γx + ω 0 2 x = fcos ωt, f = F/m Вынужденные колебания ищем в виде: x = Bcos(ωt – φ) Векторная диаграмма: x = Acos (ωt + φ 0 ) проекция на ось OX радиус- вектора длиной A, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω от начального положения φ 0

Вынужденные колебания. Векторные диаграммы. Резонанс. Из векторной диаграммы: – амплитуда B = f/(( ω 2 – ω 0 2 )) + 4 γ 2 ω 2 ) 1/2 – Фаза tg φ = 2 γ ω /( ω 0 2 – ω 2 ) В резонансе (при малых γ) B max B(ω 0 ) = f/2 γ ω 0 B max /B стат = ω 0 /2 γ = Q Вблизи резонанса: B = B max γ/(( ω – ω 0 ) 2 + γ 2 ) 1/2 ширина резонансной кривой Δ ω = 2 γ

Параметрический резонанс Параметрический резонанс - возбуждение незатухающих колебаний периодическим изменением параметров колебательной системы Пример: маятник с изменяющейся длиной (качели) 1. Работа против тяжести: A 1 = mgΔh(1 - cos φ 0 ) ½ mgΔh φ 0 2 = ½ mv 0 2 Δh/L Работа против центробежной силы: A 2 = mv 0 2 Δh /L приращение энергии за период: ΔE = 2(A 1 + A 2 ) = 6 Δh /L mv 0 2 /2 dE/dt = 6 Δh /L E/T = E/ τ E = E 0 e t/ τ