ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ На рисунке изображены правильные многогранники. Их гранями являются равные правильные многоугольники, и в вершинах каждого многогранника сходится одинаковое число граней.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Правильные многогранники были известны еще в древней Греции. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов, имеющих форму правильных многогранников. В частности, атомы огня имеют форму тетраэдра (его гранями являются четыре правильных треугольника (рис. а); земли - гексаэдра (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. б); воздуха – октаэдра (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. в); воды – икосаэдра (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. д). Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань.

КОНСТРУКТОР Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек - основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунке.

ТЕТРАЭДР Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, грани которой правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Упражнение 1 На клетчатой бумаге изобразите тетраэдр, аналогично показанному на рисунке.

КУБ (ГЕКСАЭДР) Многогранник, гранями которого являются квадраты и в каждой вершине сходится три грани называется кубом или гексаэдром.

Упражнение 2 На клетчатой бумаге изобразите куб, аналогично показанному на рисунке.

ОКТАЭДР Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани называется октаэдром.

Упражнение 3 На клетчатой бумаге изобразите октаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Упражнение 4 Сколько имеется путей длины 2 по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину. Ответ: 4.

Упражнение 5 Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину. Ответ: 8.

ИКОСАЭДР Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников называется икосаэдром.

Упражнение 6 На клетчатой бумаге изобразите икосаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Упражнение 7 Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противоположную вершину. Ответ: 10.

ДОДЕКАЭДР Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани называется додекаэдром.

Упражнение 8 На клетчатой бумаге изобразите додекаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Упражнение 9 Сколько имеется путей длины 5 по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину. Ответ: 6.

Упражнение 10 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеют: а) тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 12, Р = 30, Г = 20; д) В = 20, Р = 30, Г = 12.

Упражнение 11 Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней: Ответ: 4.а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра? Ответ: 3. Ответ: 2. Ответ: 3. Ответ: 4.

Упражнение 12 Представьте многогранник - бипирамиду, сложенную из двух равных правильных тетраэдров совмещением каких-нибудь их граней. Будет ли он правильным многогранником? Ответ: Нет, в его вершинах сходится разное число граней.

Упражнение 13 Является ли пространственный крест правильным многогранником? Ответ: Нет.

Упражнение 14 На рисунке изображен многогранник – звезда Кеплера, являющийся объединением двух тетраэдров. Какой многогранник является общей частью (пересечением) этих тетраэдров? Ответ: Октаэдр.

Упражнение 15 Сколько тетраэдров изображено на рисунке? Ответ: Пять.

Упражнение 16 Сколько кубов изображено на рисунке? Ответ: Три.

Упражнение 17 Сколько октаэдров изображено на рисунке? Ответ: Три.

Упражнение 18 Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке? Ответ: Куба и октаэдра.

Упражнение 19 Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке? Ответ: Икосаэдра и додекаэдра.

Упражнение 20 Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке? Ответ: Два икосаэдра.

Упражнение 21 Вершинами какого многогранника являются центры граней куба? Ответ: Октаэдра.

Упражнение 22 Вершинами какого многогранника являются центры граней октаэдра? Ответ: Куба.

Упражнение 23 Вершинами какого многогранника являются центры граней тетраэдра? Ответ: Тетраэдр.

Упражнение 24 Вершинами какого многогранника являются середины ребер тетраэдра? Ответ: Октаэдра.

Упражнение 25 Вершинами какого многогранника являются центры граней икосаэдра? Ответ: Додекаэдр.

Упражнение 26 Вершинами какого многогранника являются центры граней додекаэдра? Ответ: Икосаэдр.

Упражнение 27 Какие из фигур, изображенных на рисунке не являются развёртками правильного тетраэдра? Ответ: Фигура 3, так как у неё имеется точка, в которой сходится четыре треугольника, а у тетраэдра имеются только вершины, в которых сходится по три ребра.

Упражнение 28 На рисунке укажите развёртки октаэдра. Ответ: Фигуры 6, 9 и 10.

Упражнение 29 Развертка какого многогранника изображена на рисунке? Ответ: Икосаэдра.

Упражнение 30 Развертка какого многогранника изображена на рисунке? Ответ: Додекаэдра.

Упражнение 31 Можно ли обойти все ребра тетраэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз? Ответ: Нет.

Упражнение 32 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра тетраэдра? Ответ: Одно.

Упражнение 33 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра тетраэдра и вернуться в исходную вершину? Ответ: Два.

Упражнение 34 Можно ли обойти все ребра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз? Ответ: Нет.

Упражнение 35 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра куба? Ответ: Три.

Упражнение 36 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра куба и вернуться в исходную вершину? Ответ: Четыре.

Упражнение 37 Можно ли обойти все ребра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз? Ответ: Да.

Упражнение 38 Можно ли обойти все ребра икосаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз? Ответ: Нет.

Упражнение 39 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра? Ответ: Пять.

Упражнение 40 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра и вернуться в исходную вершину? Ответ: Шесть.

Упражнение 41 Можно ли обойти все ребра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз? Ответ: Нет.

Упражнение 42 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра? Ответ: Девять.

Упражнение 43 Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра и вернуться в исходную вершину? Ответ: Десять.

Упражнение 44 Каким правильным многогранникам соответствуют графы, изображенные на рисунке? Ответ: а) куб; б) октаэдр; в) додекаэдр; г) икосаэдр.