Проект выполнен учителем математики МОУ СОШ 17 с углубленным изучением отдельных предметов Котловской И.Ю.. Литература:Математика в школе г., статья Н.М. Карпушиной «Перечитывая Кэрролла» Кэрролловская Страна чудес- это (крошечный и необычайный) космос интеллекта, напоминающий эйнштейновский тем, что Это конечная бесконечность, допускающая бесчисленные исследования, которые, однако, никогда не будут завершены. У. Де ла Мар, «Льюис Кэрролл»
Давайте наслаждаться изящной игрой разума математика и грамотной работой педагога, который не только блистательно отразил в своих книгах некоторые фундаментальные геометрические идеи (именно о них пойдет речь ниже), но и сумел пробудить мысль читателя, акцентируя его внимание то на одних, то на других проблемах и помогая ему приблизиться к истине. А чтобы убедиться в этом, нужно последовать примеру Алисы отправиться вслед за сказочником Кэрроллом в Страну чудес и Зазеркалье и постараться неотступно следовать за ним.
Расту или уменьшаюсь?» Начнем со «Страны чудес». На ее страницах мы неоднократно встречаемся с примерами подобия. Вспомните, какие превращения (математик сказал бы преобразования) постоянно происходили с главной героиней: то она вырастала до нескольких футов, то уменьшалась до нескольких дюймов, всегда оставаясь, впрочем, самой собой. А между тем «маленькая» «большая» Алисы подобны с точки зрения геометрии. Попробуйте сами проанализировать следующие два эпизода из книги
«Алиса открыла ее [коробочку] – внутри был пирожок, на котором коринками было красиво написано: «СЪЕШЬ МЕНЯ!»... Она откусила от пирожка и с тревогой подумала: - Расту или уменьшаюсь? Расту или уменьшаюсь? Руку Алиса при этом положила на макушку, чтобы чувствовать, что с ней происходит».Можно ли таким способом определить, как изменяется рост? Если да, то на чем основан этот способ, а если нет, то почему?
Если вы разобрались с тем, почему этот способ не годится, то легко ответите и на другой вопрос. Алиса откусила еще кусочек и вскоре съела весь пирожок.« Все страныше и страньше! вскричала Алиса.От изумления она совсем забыла, как нужно говорить. -Я теперь раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги! Бедные мои ножки! Кто же вас будет теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас теперь, мои милые, не достать. Мы будем так далеко друг от друга, что мне будет совсем не до вас. Придется вам обходиться без меня». Насколько обоснованы опасения девочки?
Бег по кругу.Рассмотрим еще два весьма любопытных эпизода из сказки Кэрролла. В огромную лужу слез, которую наплакала Алиса, нападали разные птицы и звери. Выбравшись из лужи, они стали искать способ быстрого высыхания. По предложению Додо было решено устроить бег по кругу. Сначала он нарисовал на земле круг. Правда, круг вышел не очень- то ровным, но Додо сказал: -Правильность формы несущественна! А потом расставил всех без всякого порядка по кругу. Никто не подавал команды, все побежали, когда захотели... Через полчаса, когда все набегались и просохли, Додо вдруг закричал: -Бег закончен! Все столпились вокруг него и, тяжело дыша, стали спрашивать: -Кто же победил?
Во-вторых, что именно заставило как следует задуматься Додо? Иначе говоря, почему в беге по кругу не оказалось проигравших, а были одни победители? И, наконец, что имел в виду Додо, сказав о нарисованной на земле линии: «Правильность формы несущественна»! О каких свойствах окружности поведал нам математик Чарлз Лютвидж Доджсон, предстающий в этом эпизоде в образе Птицы Додо? На этот вопрос Додо не мог ответить, не подумав как следует... Наконец. Додо произнес: Победили все". И каждый получит награды!» Математика в этой истории могли бы заинтересовать три момента. Во-первых, почему Додо расставил всех по кругу без всякого порядка? Почему бы для точек круга, а вернее окружности, не ввести отношение «лежать между» по аналогии с точками прямой? Если хотите, имеет ли смысл его вводить?
Найдя ответы на эти вопросы, легко понять, почему недоумевала Алиса после разговора с другой героиней сказки. Когда Алиса повстречалась с Синей Гусеницей, между ними завязалась беседа, в ходе которой девочка пожаловалась на свой маленький рост. «- Если вы не возражаете, сударыня, -отвечала Алиса, - мне бы хотелось хоть капельку подрасти. Три дюйма - такой ужасный рост! -Со временем привыкнешь, - возразила Гусеница. сунула кальян в рот и выпустила дым в воздух.»
Алиса терпеливо ждала, пока Гусеница не соблаговолит снова обратить на нее внимание. Минуты через две та вынула кальян изо рта, зевнула - раз, другой -и потянулась. Потом она сползла с гриба и скрылась в траве, бросив Алисе на прощанье: - Откусишь с одной стороны - подрастешь, с другой - уменьшишься!
С одной стороны чего? - подумала Алиса. - С другой стороны чего? -Гриба, - ответила Гусеница, словно услышав вопрос, и исчезла из виду. С минуту Алиса задумчиво смотрела на гриб, пытаясь определить, где у него одна сторона, а где - другая; гриб был круглый, и это совсем сбило ее с толку». Да уж, есть о чем призадуматься!
« Задом наперед, совсем наоборот!» Ряд примеров из другой замечательной сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» иллюстрирует идею зеркальной симметрии. В зеркале все асимметричные предметы (а в более широком смысле - любые асимметричные ситуации) предстают обращенными. На страницах книги мы часто сталкиваемся с подобными «отражениями», к которым никак не могла привыкнуть, не переставая им удивляться, главная героиня сказки. Так. для того чтобы приблизиться к Черной Королеве, девочке пришлось идти... в противоположном направлении. «Вон она идет! закричал молоденький Шпорник. Алиса радостно оглянулась и увидела Черную Королеву... Пойду-ка я к ней навстречу, сказала Алиса. Навстречу? переспросила Роза. Так ты ее никогда не встретишь! Я бы тебе посоветовала идти в обратную сторону!
Какая чепуха! подумала Алиса. Впрочем, вслух она ничего не сказала и направилась прямо к Королеве. К своему удивлению, она тут же потеряла ее из виду и снова оказалась у порога дома. В сердцах она отступила назад, огляделась по сторонам в поисках Королевы, которую наконец увидала вдали, и подумала: не пойти ли на этот раз в противоположном направлении? Все вышло как нельзя лучше. Не прошло и минуты, как она столкнулась с Королевой у подножья холма, куда раньше никак не могла подойти».
А вот другой показательный пример: оказывается, пироги в Зазеркалье сначала раздают гостям и только потом режут на части! « Что ж, угости нас пирогом. Чудище, сказал Лев и улегся на траву, положив подбородок на лапы....Алиса сидела на берегу ручейка, поставив большое блюдо себе на колени, и прилежно водила ножом. Ничего не понимаю! сказала она Льву (она уже почти привыкла к тому, что ее зовут Чудищем). Я уже отрезала несколько кусков, а они опять срастаются! Ты не умеешь обращаться с Зазеркальными пирогами, - заметил Единорог. - Сначала раздай всем пирога, а потом разрежь его!
Конечно, это было бессмысленно, но Алиса послушно встала, обнесла всех пирогом, и он тут же разделился на три части. Для жителей Зазеркалья совершенно естественно, что утолить жажду можно, съев несколько сухариков; за одно яйцо следует заплатить 5 пенсов, а за два всего 2; для того чтобы перестала идти кровь из пальца, его надо уколоть булавкой; или что нужно бежать со всех ног. чтобы только остаться на том же месте. А вспомните, что Белая Королева рассказывала Алисе о преимуществах жизни «в обратную сторону»! Например, для обитателей Зазеркапья «завтра никогда не бывает сегодня», а лучше всего им помнится то. что только случится через некоторое время.
Целая глава в книге посвяшена зеркальным близнецам Труляля и Траляля. Кстати, любимое выражение последнего «Задом наперед, совсем наоборот!» как нельзя лучше характеризует суть описанных Кэрроллом превращений: зеркало из меняет последовательность, в которой расположены точки на прямой (события во времени), на обратную.