Методы решения логических задач Первый урок

Для решения логических задач прибегают к помощи таблиц, графов или диаграмм Эйлера- Венна Аппарат же алгебры логики позволяет построить формальный универсальный способ решения логических задач

Формальный способ решения логических задач Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций. Составить единое логическое выражение для всех требований задачи. Используя законы алгебры логики, попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения. Выбрать решение набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным. Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Задача «Уроки логики». На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен ответ: «Если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй». Кто из учащихся изучал логику?

таблица истинности А1А2А3F

Задача «Кто виноват?» составить единое логическое выражение для всех требований задачи. Составить для него таблицу истинности: По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено: 1) если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен; 2) если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен. Виновен ли Иванов?

таблица истинности ИвановПетровСидоровF

Задача «Тигры и принцессы» В одном королевстве были незамужние принцессы, голодные тигры и приговоренный к казни узник. Но король всякому узнику, осужденному на смерть, давал последний шанс спастись. Ему предлагалось угадать, в какой из двух комнат находится тигр, а в какой принцесса. Хотя вполне могло быть, что король в обеих комнатах разместил принцесс или, что хуже, в обеих тигров. Выбор надо было сделать на основании табличек на дверях комнат. Причем, узнику было известно, что утверждения на табличках либо оба истинны, либо оба ложны. Надписи гласили: По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса Тигр в другой комнате Первая комната: Вторая комната: Какую дверь должен выбрать узник?

1 способ решения Эквивалентность высказывание А: В 1 комнате принцесса высказывание ¬ А: В 1 комнате нет принцессы (В 1 комнате тигр) высказывание В: Во 2 комнате тигр высказывание ¬ В : Во 2 комнате нет тигра (Во 2 комнате принцесса) 1. Первое А+В 2. Второе высказывание ¬А

2 способ решения 1. Первое высказывание А+В 2. Второе высказывание ¬А 3. Одновременно истинные (А+В)(¬А) 4. Одновременно ложные ¬(А+В)(¬ (¬А)) 5. По закону исключения третьего (А+В)(¬А)+(¬(А+В)(¬ (¬А)))=1

Задача «Спортивный прогноз» На марафонском беге было сделано два прогноза о местах, которые займут спортсмены Василенко, Левченко, Симченко, претендующие на призовые места: Симченко будет первым, Василенко придет вторым, Левченко – третьим. Победит Василенко, Левченко будет вторым, Симчено – третьим. После окончания состязаний оказалось, что три фаворита действительно заняли три призовых места, но оба предсказания оказались ложными. Ни в одном из предсказаний ни одно из мест не было названо правильно. Какое место занял каждый из спортсменов?

Задача «Три свидетеля» Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем "Рено", Джон сказал, что нарушитель уехал на черной "Тойоте", а Сэм показал, что машина была точно не синяя и, по всей видимости, это был "Форд". Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

решение С – машина синего цвета, ¬С – машина не синего цвета, Ч – машина черного цвета, Р – марка машины «Рено», Т – марка машины «Тайота», Ф – марка машины «Форд», т.к. в каждом высказывании одна часть верная, а другая нет, то (С+Р) (Ч+Т) (¬С +Ф) = 1

Решение логических задач Второй урок

Задача «Кросс зверей» В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Заяц занял первое место, а второе лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а олень первое». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая нет. Кто был первым, а кто вторым в этом кроссе?

1 способ решения З1 - Заяц занял первое место, Л2 - второе лиса, З2 - Заяц занял второе место, О1 - олень первое. т.к. в каждом высказывании одна часть верная, а другая нет, то (З1 + Л2) (З2 + О1) = 1

2 способ решения т.к. в каждом высказывании одна часть верная, а другая нет, то Верна одна часть первого высказывания З1 (¬Л2) + (¬З1) Л2 =1 Верна одна часть второго высказывания З2(¬ О1) + (¬З2) О1= 1 Единое логическое выражение (З1 (¬Л2) + (¬З1) Л2) (З2(¬ О1) + (¬З2) О1)= 1

Задача «Богатыри» Микула Селянинович узнал, что Змей Горыныч побежден. Победить его мог либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле Селяниновичу сообщили, что: 1) Змея Горыныча победил не Илья Муромец; 2) Змея Горыныча победил Алеша Попович. Спустя некоторое время оказалось, что одно из этих сообщений истинно, а другое ложно. Кто же победил Змея Горыныча?

Решение Единое логическое выражение (¬ИМ (¬АП) +(¬ (¬ИМ)) АП)= 1 (¬ (¬ИМ)) АП=ИМ АП=0 ¬ИМ (¬АП) =1 Ответ: Змея Горыныча победил Добрыня Никитич

Задача «Кража» Инспектору Борисову стало известно, что совершена кража в ювелирном магазине. «Кто же мог на это пойти?» задумался инспектор. Он знал, что это мог сделать либо вышедший недавно на свободу матерый уголовник по кличке Лось, либо появившийся в городе Аполлон Рубашкин, либо «начинающий», но уже поднаторевший в преступном промысле Павел Смышляев. Вскоре инспектору Борисову поступила с разных сторон информация: 1) ювелирный магазин ограбил не Аполлон; 2) магазин ограбил Смышляев. Спустя некоторое время оказалось, что одно из сообщений верно, а другое ложно. Этого оказалось достаточным для того, чтобы Борисов установил, кто совершил кражу. Кто это сделал?

Задача о студентах Вадим, Сергей и Михаил изучают иностранные языки:китайский, японский, арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский» Впоследствии выяснилось, что в ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

решение Единое логическое выражение (Вк (¬(¬Ск)) (¬(¬Ма)) + (¬Вк) (¬Ск) (¬(¬Ма)) + (¬Вк)(¬(¬ Ск))(¬Ма)= 1 Вк (¬(¬Ск)) (¬(¬Ма)) =ВкСкМа =0 (¬Вк) (¬Ск) Ма =0 (¬Вк) Ск (¬Ма)= 1 Ответ: Вадим изучает арабский, Сергей - китайский и Михаил – японский.

Задача «День рождения» Три мальчика отправились на день рождения к своему другу и стали обсуждать вопрос о подарке. Вот часть их разговора. Петя: «Давайте подарим ему книгу. Он любит книги, и у него их не меньше 100». Вася: «По-моему, у него их меньше 100». Коля: «Не знаю, сколько у него книг, но хотя бы одна книга у него есть». На дне рождения выяснилось, что из троих мальчиков был прав только один. Сколько книг было у именинника?

решение Единое логическое выражение (¬(¬К 100 ) (¬К 100 ) К 1 + (¬(¬К 100 ) К 100 (¬К 1 ) + (¬К 100 ) (¬К 100 ) (¬К 1 ) = 1 (¬(¬К 100 ) (¬К 100 ) К 1 =К 100 (¬К 100 ) К 1 =0 (¬(¬К 100 ) К 100 (¬К 1 ) =К 100 (¬К 1 ) (¬К 100 ) (¬К 100 ) (¬К 1 ) =(¬К 100 ) (¬К 1 ) Ответ: у именинника нет книг.

Решение логических задач Третий урок

Валютные махинации В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка – Антипов (А), Борисов (В), Цветков (С) и Дмитриев (D). Известно: 1. Если А нарушил правила обмена валюты, то и В нарушил; 2. Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушил; 3. Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушил; 4. Если D нарушил, то и А нарушил. Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

решение 1. А В 2. В (С + ¬ А) 3. ¬D (А & ¬C) 4. D A Итоговое высказывание: (А В)&(В (С + ¬ А))&(¬D (А & ¬C))&(D A)=1

Задача «Спортивные соревнования» Предстоят спортивные соревнования между четырьмя девятыми классами одной школы. В учительской живо обсуждаются возможные результаты, высказываются прогнозы. - Первое место займет 9А, а второе - 9Б, - сказал учитель математики. - Да что вы! - сказал учитель географии. - Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности. 9А займет второе место, а 9Г - только третье. - А я думаю, что на втором месте будет 9В, - сказала завуч школы, - а 9Г будет на последнем месте. Оказалось, что прогнозы их сбылись только наполовину. Какое место занял каждый класс?

Задача «О разбитой вазе» Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном. Кто это сделал? спросила мама. Коля не бил по мячу, сказал Саша. Это сделал Ваня. Ваня ответил: Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома. Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, рассердилась мама. Ну, а ты что скажешь? спросила она Колю. Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, сказал Коля. Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?

Решение 1. Высказывание ¬КВ 2. Высказывание К (¬ С) 3. Высказывание ¬В(К +(¬К)) т.к. один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду, то истинным будут высказывания Х = ¬КВ + К (¬ С) =1 У = К (¬ С) + ( ¬В(К +(¬К))) = 1 Z = ¬КВ + (¬В(К +(¬К))) = 1 Единое логическое высказывание Х У Z =1

Задача «Формула-1» Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок. «Вот увидишь, Шумахер не придет первым, сказал Джон. Первым будет Хилл». «Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер», воскликнул Ник. А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым». Питер, к которому обратился Ник, возмутился: «Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину». По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Задача «О разбитом стекле» Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее: Миша: "Я не бил окно, и Коля тоже Коля: "Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом! Сергей: "Я не делал этого, стекло разбил Миша". Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины. Кто разбил стекло в классе?

Задача о шпионе В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили только правду, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который, как и всякий шпион, иногда говорил правду, иногда лгал, в зависимости от того, что ему выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день и привели на допрос. Никто не знал, кто из них кто. Они сделали следующие заявления: А сказал: Я Мердок. В сказал: А говорит правду. С сказал: Я не Мердок. Кто же из них шпион А, В или С?

решение А ш – А – шпион; ¬ А ш – А – шпион; В ш – В – шпион; ¬ В ш – В – шпион; С ш – С – шпион; ¬ С ш – С – шпион; Составим логические высказывания А = А ш В = А ш С = ¬ С ш А ш А ш С ш +А ш ¬А ш ¬С ш +¬А ш А ш ¬ С ш + ¬А ш ¬А ш ¬С ш +¬А ш А ш С ш +А ш ¬А ш С ш =1