Вычислительная геометрия как новый методический ресурс для экономических исследований Воронов Юрий Петрович Консультационная фирма «Корпус»

Пять новых наук Computational geometry Surface science Spatial analysis Spatial econometrics New economic geography

Сравнение пространственного анализа и вычислительной геометрии Вычислительная геометрия – математическая дисциплина. Она: изучает абстрактные математические объекты работает с произвольным числом измерений логически доказывает свои утверждения самодостаточна Пространственный анализ – наука эмпирическая. Он: изучает закономерности размещения реальных объектов на плоскости и в пространстве. работает только с числом измерений 2 и 3 выводит свои утверждения из выявленных эмпирических закономерностей. зависит от методов, разработанных в вычислительной геометрии и других разделах математики

Surface science есть исследования физических и химических явлений, происходящих на стыке двух фаз: жидкости, газа и вакуума с твердым телом, а также газа с жидкостью. Наука о поверхностях связана со следующими областями науки и техники: гетерогенный катализ, производство полупроводниковых приборов, топливные ячейки, мембраны, самоорганизующиеся пленки, адгезивы и т.д.. Есть прикладная ветвь науки – surface engineering Surface science делится на химию поверхностей и физику поверхностей.

Физика поверхности Поверхность – двумерная система, и не только ее структура, но и многие явления выглядят на ней совсем не так, как в объеме. Имеются и такие, для которых вообще не существует трехмерных аналогов, например, квантовый эффект Холла За открытие этого эффекта физику-экспериментатору из ФРГ Клаусу фон Клитцингу в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. Второй раз за работы по квантовому эффекту Холла Нобелевской премии были удостоены в 1998 г. три американца: Роберт Лафлин, Хорст Штермер и Даниель Цуи. Международный журнал «Surface Science» выходит с 1963 года Российский журнал «Поверхность» выходит с 1989 года Квантовый эффект Холла – теоретически плохо объясняемое распределение напряжений и токов на поверхности твердого тела в сильных магнитных полях и при низких температурах. Качественное объяснение: электроны объединяются в группу, заряд которой меньше заряда отдельного электрона, поскольку часть заряда идет на взаимодействие электронов. Множество таких групп электронов названо «плоским электронным газом» Это физические журналы, но химики туда допускаются

Особая роль поверхности в физике Мы произносим слово «поверхность», не задумываясь над его смыслом. В этом термине – тысячи поверхностей, с которыми мы имеем дело. Проведем по глянцевой бумаге рукой. На такой Гулливер у великанов рассмотрел глубокие норы и хлысты длиной с саблю. Острие иглы при увеличении похоже на обломанный кол. Нет в мире безупречных плоскостей из геометрии. Даже гладь воды не безупречна. Молекулы наружного слоя притягивают и держат соседние молекулы снизу и с боков, а сверху притяжения нет. На пограничные молекулы действует сила, направленная вниз. Внутри жидкости молекулы передвигаются свободно. Для попадания в «погранцы», они должны преодолеть силу притяжения глубинных молекул, силу втягивания. Войти в пограничный слой трудно, а выйти из него легко. Место втянутой вниз молекулы не займет ни одна из нижних молекул. Их держат другие, находящиеся глубже. Брешь заполнится молекулами поверхностного слоя, которые стремятся сомкнуться. Это – поверхностное натяжение, особое физическое явление.

Основатель химии поверхности В 2007 году лауреатом Нобелевской премии по химии стал Герхард Эртль (71 год) «за исследования химических процессов на твердых поверхностях». 1.Самый известный процесс, изученный им -- каталитическая реакция получения аммиака при взаимодействии атмосферного азота и водорода, где он объяснил кинетику и термодинамику и то, как водород располагается на поверхности металлов- катализаторов. 2.Второй процесс «дожигание» автомобильного топлива, окисление СО до СО 2 в присутствии катализатора (платины). Г. Эртль объяснил нелинейную кинетику этой реакции. 3.Обоснован современный метод хранения водорода в нанопорах металлов, а следовательно, и автомобилей на топливных элементах.

Предшественники Г. Эртля (три нобелевских лауреата) Первую Нобелевскую премию за работы по химии поверхности присудили в 1912 году французскому химику Полю Сабатье за метод гидрогенизации органических соединений в присутствии мелкодисперсных металлов катализаторов. Было показано, что главное здесь адсорбция молекулы водорода на поверхности металла, где она диссоциирует на атомы. В 1918 году Нобелевской премии был удостоен немецкий химик Фриц Габер за каталитический процесс получения аммиака из атмосферного азота и водорода (процесс Габера Боша). В 1932 году Нобелевскую премию за открытия и исследования в области химии поверхности получил американский химик Ирвинг Ленгмюр, установивший, какие силы принимают участие в адсорбции и вывел основное уравнение изотермы адсорбции (уравнение Ленгмюра). Этот процесс журнал Nature назвал самым гениальным открытием ХХ века Fritz Haber Carl Bosch

Процесс Габера-Боша

Экономисты всегда работали только на поверхности Вычислительную геометрию экономическая наука получает благодаря потребностям физики и химии поверхности

Один из первых программных пакетов для пространственного анализа (1994 год)

Комплект методов системы CGAL

Что такое CGAL Это аббревиатура от Computational GeometryAlgorithms Library Создатели CGAL: Andreas Fabri (GeometryFactory), Pierre Alliez (INRIA), Efi Fogel (Tel Aviv University) Проект Открытый источник CGAL обеспечивает легкий доступ к эффективным и надежным геометрическим алгоритмам в форме библиотеки на языке C++, предлагает геометрические алгоритмы и структуры данных, которые эффективны, лаконичны, легки для использования и интеграции в существующее программное обеспечение. Использование существующих стандартных библиотек повышает производительность, поскольку позволяет разработчикам сосредоточиться на прикладных аспектах. В рамках CGAL разработан учебный курс, нацеленный на разработчиков программного обеспечения с ориентацией на геометрию. Прошедшие курс будут в состоянии выбирать и применять подходящие алгоритмы и структуры данных, развиваемые CGAL в текущем и будущих проектах.

Общая структура учебного курса CGAL Первая часть «Полиэдральные поверхности» посвящена структурам данных, использующим полуплоскости (halfedge) и тому как изменять эти структуры соответственно конкретным потребностям. Вторая часть «Алгоритмы для полиэдральных пространств» включает темы: параметризация, выделение нерегулярностей (mesh), упрощения, булевы операции, расчеты сечений. Третья часть «Размещения» содержит размещения API и некоторые структуры данных, построенные на их основании: 3D суммы Минковского, какие можно использовать для оценки столкновений и касаний, 3D свертки, какие могут быть применены для вычисленй видимых карт. Четвертая часть «Триангуляции» посвящена 2D и 3D триангуляциям API, а также генераторам нерегулярностей (mesh) основанныйх на преобразованиях Делоне.

Пользователи CGAL

(9 + 2) групп методов пространственного анализа первая – триангуляция по Делоне и диаграммы Вороного вторая – контурный анализ третья – пространственная автокорреляция четвертая – методы построения нерегулярных сетей (TIN) пятая – цифровое моделирование рельефа (ЦМР) шестая – распознавание образов и, в частности, нейронные сети, векторизация и линеаментный анализ седьмая – методы теории графов (минимальные остовные деревья, гамильтоновы циклы…) восьмая – методы ТФКП (конформные отображения, дуальные комплексные и гиперкомплексные числа …) девятая – элементы гармонического анализа (преобразования Фурье, ВКФ, фильтрация, вейвлет-преобразования…) десятая – геометрическое программирование одиннадцатая – шейдеринг. Значительная часть этих методов развивается в рамках вычислительной геометрии

Взаимосвязи между группами методов 1. Вороной-Делоне 9. Гармонический анализ 8. Методы ТФКП 4 Построение нерегулярных сетей (TIN). 6. Распознавание образов 7. Методы теории графов 5. Цифровое моделирование рельефа (ЦМР) 3. Пространственная автокорреляция 10. Геометрическое программирование 2. Контурный анализ 11. Шейдеринг

Что такое контурный анализ Контурный анализ – концепция рассмотрения плоских контуров как замкнутых линий обхода на плоскости функций комплексного переменного. Этим линиям обхода можно ставить в соответствие некоторые сигналы, к которым применимы методы обработки сигналов. В частности, сигналы, соответствующие контурам, могут быть подвергнуты фильтрации или разложению в базисе ортогональных функций Из Форума в Интернете: «я читал эту книжку, правда, там такая математика, что её можно сразу закрыть, проще самому придумать».

Треугольник и связанный с ним сигнал Обход контура {3;-3-4i;4i} Точка перехода

6 регионов юга Западной Сибири: Первая аппроксимация (по 24-хугольнику) Вторая аппроксимация (по 2400 точкам контура) Третья аппроксимация (по дорогам – по многоугольнику, вершины которого – пересечения дорог с границей территории)

Республика Алтай (меридианная ориентация) Республика Алтай Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север- юг запад- восток север- юг запад- восток север- юг Смещение Горно- Алтайска -13,1+44,3-12,7+27,4-5,0+0,0

Алтайский край (меридианная ориентация) Алтайский край Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север- юг запад- восток север- юг запад- восток север- юг Смещение Барнаула +12,8+5,3+3,4+3,3+1,0+3,1

Омская область (широтная ориентация) Омская область Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север-юг запад- восток север-юг запад- восток север-юг Смещение Омска +0,7-116,1+1,5-24,1+25,7-7,5

Томская область (меридианная ориентация) Томская область Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север- юг запад- восток север- юг запад- восток север- юг Смещение Томска +17,0-24,7+15,1-49,1+7,4-29,2

Кемеровская область (широтная ориентация) Кемеровская область Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север- юг запад- восток север- юг запад- восток север- юг Смещение Кемерова -4,3-4,7-14,0+9,0+19,2-1,5

Сводные результаты контурного анализа субъектов Западной Сибири Регион Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север-юг запад- восток север-юг запад- восток север-юг Республика Алтай -13,1+44,3-12,7+27,4-5,0+0,0 Алтайский край+12,8-5,3+3,4-3,3+1,0+3,1 Новосибирская область +54,9-4,7+47,6-0,4+18,5+0,0 Омская область+0,7-116,1+1,5-24,1+25,7-7,5 Томская область+17,0-24,7+15,1-49,1+7,4-29,2 Кемеровская область -4,3-4,7-14,0+9,0+19,2-1,5

Новый показатель «доля дорожного контура» Алтайский край Томская область Кемеровская область 73% Алтайский край68% Новосибирская область53% Омская область46% Томская область18% Республика Алтай1% Доля дорожного контура

Выводы из контурного анализа регионов юга Западной Сибири Все столицы регионов Западной Сибири расположены относительно пересечений дорог с границами регионов ближе к географическим центрам, чем к ним же относительно контура территории региона. Это естественно. Максимальное смещение из регионов широтной ориентации – у Омска (24,1 км относительно контура и 7,5 км относительно дорог) из регионов меридианной ориентации – у Томска (15,1 км относительно контура и 7,4 км относительно дорог) Удачнее всего расположены из регионов широтной ориентации – Новосибирск (0,4 км относительно контура и 0 км относительно дорог) из регионов меридианной ориентации – Барнаул (3,4 км относительно контура и 1 км относительно дорог)

Новосибирская область (широтная ориентация) Новосибирская область Средняя разница в км 24-х угольникконтурдороги запад- восток север-юг запад- восток север-юг запад- восток север-юг Смещение Новосибирска +54,9-4,7+47,6-0,4+18,5+0,0

Контур Новосибирской области и соответствующий ему сигнал Расчет сделан по 24-хугольной аппроксимации Начало обхода контура

Благодарю за внимание Воронов Юрий Петрович Консультационная фирма «Корпус»