Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения" Мехмат МГУ, 4 февраля, 2010 г. Новый правильный многогранник Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.) lawrencenko.ru

L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow problems and tangled tale (4 ed.), Mineola: Dover, Еще в XIX-м веке Льюис Кэрролл писал: «Правильные многогранники вызывающе малочисленны, и было бы безнадежным делом искать какие-либо связанные с ними вопросы, которые не были бы уже исчерпывающе проанализированы…» Однако при этом он добавлял: « Но, кажется, еще есть возможность изобрести другие такие многогранники…» Один такой многогранник удалось построить.

Итак, что же такое правильный многогранник? Что касается 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, примем такое определение. Определение. Правильным многогранником будем называть многогранник, полная группа симметрий которого вершинно-, реберно-, гранево- или флагово- транзитивна. В зависимости от степени транзитивности, многогранник будет называться, соответственно, вершинно- правильным, реберно-правильным, гранево-правильным или флагово-правильным.

Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal Hexadecahedron) комбинаторно-топологический объект правильная триангуляция тора с 8 вершинами и 16 гранями. Свойства: Каждая грань ATH треугольник и степень каждой вершины равна 6. Граф G (ATH) изоморфен 1-скелету 4-мерного гипероктаэдра, т.е. полному 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.

K_{2,2,2} граф обычного 3-мерного октаэдра. K_{2,2,2,2} граф 4-мерного гипероктаэдра. K_{2,2,2,…,2} граф n-мерного гипероктаэдра. n раз 4-мерный гипероктаэдр, также называемый гексадекахороном, ограничен 16-ю правильными тетраэдрами. У него 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин. Его 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Его восемь вершин следующие: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме противолежащих пар.

Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А. Л., Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов этих триангуляций. Харьков, – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ , 2779 – Ук87. α_1 = id (тождественный) α_2 = (35) (47)α_3 = (28) (34) (57) α_4 = (28) (37) (45)α_5 = (12) (47) (68)α_6 = (12) (35) (68) α_7 = (1268) (3457)α_8 = (1268) (3754)α_9 = ( ) α_10 = ( )α_11 = (13) (27) (48) (56) α_12 = (1365) (2784) α_13 = (14) (23) (58) (67)α_14 = (1467) (2385)α_15 = ( ) α_16 = ( )α_17 = (1563) (2487)α_18 = (15) (24) (36) (78) α_19 = ( )α_20 = ( )α_21 = (16) (34) (57) α_22 = (16) (37) (45)α_23 = (16) (28)α_24 = (16) (28) (35) (47) α_25 = ( )α_26 = ( )α_27 = (1764) (2583) α_28 = (17) (25) (38) (46)α_29 = (1862) (3457)α_30 = (1862) (3754) α_31 = (18) (26) (47)α_32 = (18) (26) (35)

Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера. Эта группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый циклический сдвиг всех вершин: α_20 = ( ). Подгруппа Shift = Z_8. С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 × Z_2. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа Stab = Z_2 × Z_2, порожденная 2-мя инволюциями α_2 = (35)(47) и α_22 = (16)(37)(45).

Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) = = (Z_2 × Z_2) Z_8, где Z_2 × Z_2 и Z_8 как указаны на предыдущем слайде, причем произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, |Aut (АТH)| = |Shift| |Stab| : |Shift Stab| = 8 4 : 1 = 32.

БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH геометрическая модель ATH в E ³ С. А. Л., Все неприводимые триангуляции тора реализуются в E 3 в виде многогранников, манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, Мехмат МГУ. Экватор у BTH

Лавренченко Lawrencenko Rou (по-японски, читается «Ло») Lao (по-китайски, читается «Лао»)

Теорема (С. А. Л.): В евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными гранями без самопересечений, который одновременно вершинно-правильный и гранево-правильный. Этот многогранник будет называться правильным тороидальным гексадекаэдром И обозначаться RTH (Regular Toroidal Hexadecahedron).

Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была показана выше. Чтобы показать ее транзитивность на гранях, достаточно ограничиться гранями, инцидентными какой-нибудь одной вершине, скажем, вершине 8. Непосредственной проверкой можно убедиться, что любую грань, инцидентную вершине 8, можно перевести в любую такую грань комбинациями автоморфизмов α_2, α_22, α_20 (образующих группы). Реализуем теперь триангуляцию ATH в E^4 геометрически (без самопересечений).

На рисунке справа экватор BTH переложен из 2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.

1 (0, 0, 0, 1) северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) южный полюс ATH реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета 4-мерного гипероктаэдра в 4-мерном евклидовом пространстве. Его восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).

1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1) Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: α_2 = (35) (47), α_22 = (16) (37) (45), α_20 = ( ) и соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 = A_22 = A_20 =

Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном пространстве дискретной группой движений, порожденной этими тремя ортогональными матрицами, т.е. группой Sym (RTH). Таким образом, группа Sym (RTH) вершинно- и гранево- транзитивна, как и группа Aut (ATH). Теорема доказана.

Открытые вопросы Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в (евклидовом) пространстве размерности 4 ? А в пространствах высших размерностей? Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.

Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в пространствах размерностей 4 ? В частности, реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве высшей размерности? «В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» (Давид Гильберт)

Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный. Таким образом, он более правильный, чем полуправильные многогранники. Потому что у полуправильных многогранников уже два или более классов конгруэнтности граней. Например, у Архимедовых многогранников два таких класса. RTH же имеет только один такой класс. Однако RTH менее правильный, чем флагово- правильные Платоновы многогранники, потому что группа Aut (ATH) не является реберно-транзитивной.

Спасибо за внимание.