BSU Математические модели механики деформированного твердого тела Тема 7 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ #2

2 Тема 7 Теория малых упругопластических деформаций (теория упрочняющегося пластического материала) относится к числу деформационных теорий пластичности. Пример. Процесс медленного растяжения стержня. Вдоль участка (ОАВ) – нагружение стержня; (ВС) – разгрузка стержня. Важно! Уравнение ветви нагружения может представлять как пластическую, так и нелинейно-упругую деформацию стержня. В связи с этим замечанием можно попытаться построить уравнения пластической деформации в виде конечных соотношений между напряжениями и деформациями. Замечание. Подобные уравнения были бы существенно проще уравнений теории пластического течения. Теория малых упругопластических деформаций С В А О

3 Тема 7 В теории малых упругопластических деформаций предполагается, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Замечание. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами А. А. Ильюшина. Поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. справедливы следующие три гипотезы. В теории м.у-п.д. принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы. Теория малых упругопластических деформаций

4 Тема 7 1 гипотеза. Упругость объемной деформации. Объемная деформация тела θ считается упругой. Она прямо пропорциональна среднему нормальному напряжению σ и для нее справедлив закон Гука: То есть изменение объема происходит только за счет упругих деформаций, а при пластическом деформировании материал ведет себя как несжимаемый. Гипотезу можно сформулировать так: за счет пластической деформации изменение объема тела не происходит. Теория малых упругопластических деформаций

5 Тема 7 2 гипотеза. Соосность девиаторов. Компоненты девиатора деформаций э ij пропорциональны компонентам девиатора напряжений s ij. Связь между ними можно записать в форме, предложенной А.А. Ильюшиным: (6) (6) σ u, ε u – интенсивности т.н. и т.д. Выражение (6) можно переписать следующим образом: (7) Итак, аналогично упругому деформированию в модели малых упругопластических деформаций в области пластических деформаций величины напряжений и деформаций связаны между собой однозначными зависимостями. Экспериментально показано, что закон, устанавливающий связь между напряжениями и деформациями (7), выполняется для случая простого нагружения. Теория малых упругопластических деформаций

6 Тема 7 3 гипотеза. Гипотеза упрочнения. Независимо от вида напряженного состояния для каждого материала имеется универсальная зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (8) Для упругого материала эта связь выражается линейной зависимостью Хотя условие простого (пропорционального) нагружения в реальных условиях осуществляется редко, однако, как показывают опыты, рассмотренная деформационная теория подтверждается и в тех случаях, когда имеет место некоторое отступление от закона пропорционального нагружения. Теория малых упругопластических деформаций

7 Тема 7 Возражения против деформационной теории пластичности: Пример. Рассматриваются два пути нагружения до некоторого состояния, характеризуемого значением интенсивности. Один путь состоит в нагружении до состояния с той же интенсивностью и последующем переходе до при постоянной интенсивности. В конце пути получаем пластические деформации Другой путь следует по первому, но, немного не доходя до состояния, «сворачивает» и идет к состоянию при интенсивности, все время возрастающей и приближающейся к. Поскольку этот путь может быть сколь угодно близок к первому, естественно ожидать, что и пластические деформации в состоянии будут прежними. Однако по уравнениям деформационной теории получаем другие значения пластической деформации, соответствующие, ибо все время идет нагружение. Можно считать, что при пластической деформации, развивающейся в некотором определенном направлении, уравнения деформационной теории пластичности пригодны. Теория малых упругопластических деформаций

8 Тема 7 Теория малых упругопластических деформаций

9 Тема 7 Рассматривается НДС упругопластического тела, находящегося под воздействием массовых сил ρF i и поверхностных нагрузок R i. Для решения задач теории малых упругопластических деформаций (определение u i, σ ij, ε ij ; i, j = 1,2,3 ), имеются: уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия: (15) Физические уравнения состояния удобно записать в виде (16) Постановка задач теории малых упругопластических деформаций ; ; (7)

10 Тема 7 Сравнивая зависимости (7) и (16), можно установить, что выражение функции пластичности φ(ε u ) через введенную ранее универсальную функцию Ф(ε u ) имеет вид: Уравнения (15) справедливы только при нагружении. В случае упругой разгрузки из обобщенного закона Гука следуют соотношения (17) σ ij ' и ε ij ' – напряжения и деформации, существовавшие перед началом разгрузки, λ и μ – постоянные Ламе. ! Уравнения разгрузки в форме (17) сохраняются до появления в процессе разгрузки новых (вторичных) пластических деформаций. Постановка задач теории малых упругопластических деформаций

11 Тема 7 При решении задач упругопластичности в зависимости от постановки искомыми функциями являются либо перемещения, либо напряжения. Полученное решение должно удовлетворять не только силовым и кинематическим граничным условиям, но и дополнительным условиям на поверхности раздела зон упругих и пластических деформаций. Задача теории пластичности нелинейная, поэтому возникает вопрос о ее существовании и единственности. Доказано, что при условии (18) система уравнений (15), (16) – эллиптического типа. При этом решение этой краевой задачи существует, если существует решение соответствующей задачи линейной теории упругости. Теорема А.А. Ильюшина относительно единственности решения: При заданных объемных силах ρF i, поверхностных силах R i на части граничной поверхности S σ и перемещениях u i на части граничной поверхности S u, НДС тела определяются единственным образом, если нагружение простое. Постановка задач теории малых упругопластических деформаций

12 Тема 7 Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому главным образом чаще всего используются приближенные методы. Метод последовательных приближений методом упругих решений Метод последовательных приближений (предложен А.А. Ильюшиным) - эффективный методов для решения задач теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть метода упругих решений – рассмотрение последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. Метод упругих решений

13 Тема 7 Функция пластичности φ( ε u ) представляется в виде: (19) Представление (19) подставляется в выражения (16) – ( ). Тогда физические соотношения становятся следующими: (20) где, причем, если. При уравнения (20) совпадают с соотношениями линейной теории упругости. Метод упругих решений. Алгоритм решения.

14 Тема 7 Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия записываем, разложив тензор напряжений на девиаторную и шаровую части (42) Задачу упругопластичности решаем в перемещениях. Поэтому (20) подставляем в уравнения равновесия и силовые граничные условия (42) и учитываем соотношения Коши. В итоге получаем обобщение уравнений Ламе: Здесь Метод упругих решений. Алгоритм решения.,

15 Тема 7 За нулевое приближение принимаем. Тогда фиктивные нагрузки и для определения первого приближения имеем обычную задачу линейной упругости. Далее по найденным перемещениям определяются величины Для любого k -го приближения имеют место уравнения равновесия и граничные условия При этом и определяются предшествующим ( k –1 )-м приближением. Метод упругих решений. Алгоритм решения.,

16 Тема 7 Модифицированные уравнения Ламе и граничные условия являются линейными относительно неизвестных перемещений. Они отличаются от соответствующих уравнений теории упругости тем, что в них, ко внешним силам ρF i, R i, добавляются фиктивные силы,. Это позволяет по известному решению соответствующей задачи теории упругости построить решение упругопластической задачи в рекуррентном виде. Важно! Для сходимости метода упругих решений необходимо, чтобы параметр ω, связанный с функцией φ( ε u ) соотношением (19) ( ), был малым по сравнению с единицей. При этом должно выполняться следующее условие: Метод упругих решений. Алгоритм решения.

17 Тема 7 Подход, основанный на методе дополнительных нагрузок Уравнения равновесия, полученные по методу дополнительных нагрузок, имеют следующий вид: (44) (45) и соответственно интенсивности деформаций и напряжений: Граничные условия: (46) (47) Метод упругих решений. Обобщение алгоритмов решения

18 Тема 7 Исходная упругопластическая задача сводится к последовательности решения псевдозадач теории упругости. Процедура последовательности решения псевдозадач теории упругости представляет собой реализацию метода последовательных приближений. В первом приближении полагают, что все дополнительные объемные и поверхностные нагрузки равны нулю. Перемещения в k-м приближении находятся, решив задачу теории упругости для заданных сил Далее определив деформации и интенсивность деформаций по заданной диаграмме деформирования с учетом упрочнения определяем, а затем По формулам (45) и (47) находим дополнительные нагрузки и опять решаем задачу теории упругости. Решение необходимо продолжать до тех пор, пока два последовательных приближения не будут отличаться между собой на бесконечно малую заданную величину. Метод упругих решений. Обобщение алгоритмов решения

19 Тема 7 Подход, основанный на методе дополнительных деформаций Преобразованные уравнения сплошности (48) Исходная задача приводится к последовательности решения задач теории упругости на основе метода последовательных приближений. Составляющие тензора деформаций в k -м приближении определяются через k -е приближенное решение Далее вычисляется функция решается новая задача Метод упругих решений. Обобщение алгоритмов решения

20 Тема 7 Теория пластического течения применяется для расчетов в области больших пластических деформаций. Основное отличие от деформационной теории в том, что принимается отсутствие однозначной связи между напряжениями и пластическими деформациями как при простых, так и при сложных нагружениях. Напряжения при пластических деформациях в конечном состоянии зависят от пути деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжений и деформаций, а должны быть дифференциальными зависимостями. Теория пластического течения

21 Тема 7 Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния. В теории течения пластическая деформация материала уподобляется течению вязкой жидкости. Теория пластического течения

22 Тема 7 Гипотезы, составляющие основу теории пластического течения 1. Упругость объемной деформации (как и в теории малых упругопластических деформаций) То есть относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему напряжению: коэффициент К тот же, что и в соотношениях, применяемых, когда поведение материала находится в пределах упругости: Теория пластического течения - соответственно упругие и пластические части общих деформаций

23 Тема 7 При пластических деформациях объем тела не изменяется. Следовательно, тензор приращения пластических деформаций представляет собой девиатор. Тогда То есть материал в пластическом состоянии несжимаем: Условие несжимаемости можно записать и как равенство нулю скорости объемного пластического деформирования Теория пластического течения

24 Тема 7 2. Гипотеза градиентальности. Вектор приращения деформаций полагают направленным перпендикулярно поверхности текучести. Это эквивалентно предположению о пропорциональности компонент приращения деформаций и компонент вектора-градиента к поверхности текучести (частных производных от уравнения поверхности по соответствующим компонентам напряжения) (52) Соотношения (52) выражают закон течения, ассоциированный с принятым условием пластичности. – дифференциально-малый множитель, механическое значение которого устанавливается в связи с рассмотрением элементарной работы внутренних сил на пластических деформациях: Теория пластического течения, …,

25 Тема 7 Определение приращений пластических деформаций через производные функции f по соответствующим аргументам (52) служит основой наименования f пластическим потенциалом. Поверхность текучести, или пластический потенциал, определяется экспериментально, согласуясь с некоторыми общими физическими соображениями. Критерий упрочнения Д. Дракера. Пусть имеется некоторое напряженное состояние σ*, которому соответствует поверхность текучести S*. Теория пластического течения Поверхность текучести делит шестимерное пространство напряжений на две области: переход из точки σ* в область ее положительных значений сопровождается активной пластической деформацией, приращением вектора пластической деформации; переход из конца вектора σ* в область отрицательных значений соответствует разгрузке, следующей упругим законам; пластическая деформация при этом неизменна.)

26 Тема 7 Рассматриваем состояние, определенное вектором σ, конец которого лежит в положительной области; этому состоянию соответствует поверхность текучести S. Постулатом Дракера утверждается неотрицательность работы приращений напряжений на действительных перемещениях деформаций за цикл, когда состояние из точки σ* по некоторому пути переходит в σ, затем возвращается в σ*: Теория пластического течения

27 Тема 7 В теории пластического течения предполагается, что для заданного материала интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращений пластических деформаций: F Функция F определяется по диаграмме растяжения материала. Для этого необходимо предварительно преобразовать функцию в функцию Уравнения Прандтля-Рейса Кривая A 1 B 1 C 1 D 1 выражает зависимость между интенсивностью напряжений и параметром Одквиста: Параметр Одквиста q характеризует накопленную пластическую деформацию: (34)

28 Тема 7 Приращение компонент пластической деформации можно выразить следующим образом Компоненты упругих деформаций Компоненты приращений полных деформаций (37) Уравнения (37) являются основными уравнениями теории пластического течения и называются уравнениями Прандтля- Рейса. При этом зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью приращения деформаций принимается в виде (34) Уравнения Прандтля-Рейса компоненты приращения пластических деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений

29 Тема 7 В уравнениях Прандтля-Рейса пренебрегают компонентами упругой деформации (допустимо для развитой пластической деформации) получают уравнения теории пластичности Сен-Венана-Мизеса: (38) Обе части (38) делим на, и с учетом того, что, получаем физические уравнения связи между скоростями деформаций и компонентами девиатора напряжений (39) - интенсивность скоростей деформаций Скорости деформации не определяются однозначно при задании напряжений. При задании же скоростей деформаций компоненты девиатора напряжений, определяются однозначно. Уравнения Сен-Венана-Мизеса широко применяются в математической теории пластичности и различных ее приложениях. Уравнения Сен-Венана-Мизеса

30 Тема 7 Уравнения Прандтля-Рейса (37) связывают компоненты напряжений с бесконечно малыми приращениями компонент напряжений и деформаций, т.е. не являются конечными соотношениями (в отличие от деформационной теории пластичности). Соотношения (37) в общем случае не интегрируются, т.е. не сводятся к конечным соотношениям между компонентами напряжений и деформаций. Этот математический факт отражает зависимость результатов от истории деформирования. Об уравнениях Прандтля-Рейса Пример. В пространстве напряжений выполняется переход из некоторой начальной точки O с нулевыми напряжениями в точку О 1 двумя путями. Компоненты деформаций в точке О 1 по уравнениям теории пластического течения будут различными. II I О1О1 О

31 Тема 7 Уравнения Прандтля-Рейса (37) не содержат время. Но, если разделить их на, можно формально перейти от приращений к скоростям деформаций. Полученные уравнения внешне напоминают уравнения течения вязкой жидкости. Эта аналогия в какой-то мере оправдывает название теории пластического течения. Под переменной здесь можно понимать время или монотонно возрастающий параметр нагрузки, или, наконец, какую-нибудь монотонно возрастающую величину (например, характерный размер пластической зоны). Переход к «скоростям деформации» иногда удобен, так как позволяет применять наглядную терминологию гидравлики. Видоизмененные уравнения теории пластического течения принципиально отличны от уравнений вязкого течения. В них, в отличие от ур-ний вязкого течения, всегда можно отбросить и вернуться к формулам (37), не содержащим времени. Об уравнениях Прандтля-Рейса

32 Тема 7 Уравнения теории пластичности Сен-Венана-Мизеса имеют значительно более простую структуру и представляют собой конечные зависимости между компонентами напряжений и скоростями деформаций. ! В эти уравнения время тоже входит несущественным образом и может быть исключено (сокращением на ) или заменено каким-нибудь подходящим монотонно изменяющимся параметром. Об уравнениях Сен-Венан-Мизеса

33 Тема 7 При решении задач теории пластического течения справедливы уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия В теории пластического течения доказана теорема о единственности полей приращений напряжений, деформаций и перемещений в упрочняющемся теле. Гарантировать единственность приращений деформаций и перемещений в случае неупрочняющегося материала нельзя, хотя в частных задачах может быть доказана единственность указанных приращений и для идеально пластического материала. Разрешающие системы уравнений теории пластического течения

34 Тема 7 Итак, уравнения теории течения оказываются значительно сложнее уравнений теории малых упругопластических деформаций. Вместе с тем, показано, что при простом нагружении обе рассмотренные теории дают одинаковое решение. В случае сложного нагружения результаты, полученные с помощью теории пластического течения, лучше согласуются с экспериментальными данными.

35 Тема 7 Теория течения и деформационная теория совпадают только в случае простого нагружения. При сложном нагружении деформационная теория и теория течения приводят к различным результатам. Эти результаты сближаются в одном важном для приложений случае деформирования. Пусть, начиная с какого-то момента, путь деформирования приближается к прямой линии (пунктир), т.е. деформация развивается в определенном направлении. В этом случае напряженные состояния, подсчитываемые по обеим теориям, сближаются. При этом влияние сложной истории деформирования быстро ослабевает и устанавливается неизменное напряженное состояние, определяемое теми фиксированными скоростями деформации, характерными для прямолинейного участка. Для некоторых классов путей нагружения уравнения теории течения приводятся к уравнениям деформационной теории Связь между теорией течения и деформационной теорией

36 Тема 7 Опыты подтверждают теорию пластического течения значительно полнее, нежели деформационную теорию. Экспериментальные данные свидетельствуют также о совпадении направлений главных осей тензора напряжений и тензора приращений пластической деформации. Следует, однако, отметить, что при сложных («зигзагообразных») нагружениях, особенно с промежуточными разгрузками обнаруживается заметное влияние анизотропии, которую материал приобретает в процессе пластического деформирования. Описание явлений деформационной анизотропии затруднено малой их изученностью и требует значительного усложнения теории. Связь между теорией течения и деформационной теорией