Управление образования Заводского района Научно – практическая конференция учащихся Программный продукт «Планиметрия в тестах» - как средство повышения уровня математического образования Выполнила ученица 8 « Б » класса Новицкая Татьяна Андреевна Руководитель: Зезетко Людмила Евгеньевна

Стр. Введение § 1. «Треугольник» § 2. «Параллелограмм» § 3. «Четырёхугольник » § 4. «Прямоугольник » § 5. «Ромб » § 6. «Квадрат » § 7. «Трапеция » § 8. «Окружность и круг » Таблица правильных ответов Заключение Список использованной литературы Сведения о работе с программным продуктом

Современные задачи школы требуют коренных изменений в организации учебного процесса. Чтобы обеспечить индивидуальный подход, раскрыть способности каждого ученика и создать условия для максимального развития, нужны качественно новые технологии обучения, построенные на принципах демократизации учебного процесса. Тестирование, основанное на современных стандартизированных технологиях образования, является в настоящее время одной из наиболее объективных методик оценки учебных знаний, умений и навыков учащихся. Являясь определенным нестандартным типом математической задачи и будучи психометрическим инструментом, тест, применяемый в совокупности с традиционными средствами, методами и формами обучения и контроля, может усилить формирование и развитие математического мышления, интенсифицировать и разнообразить учебный процесс. Эта работа была написана для закрепления пройденного материала, а также для подготовки к централизованному тестированию. Этот программный продукт поможет проверить свои знания, понять, что надо подучить. Работа с этим материалом повысит уровень знаний пользователя нашим программным продуктом и даст шанс основательно подготовиться к поступлению в высшие учебные заведения нашей страны. Мы предлагаем проработать материал по следующим темам: « Треугольник », « Параллелограмм », « Четырёхугольник », « Прямоугольник», « Ромб», « Квадрат», « Трапеция», « Окружность и круг». Каждая тема начинается с изложения теоретического материала, необходимого для решения задач. Затем Вашему вниманию предлагаются задачи с выбором ответа. Решив задачу и выбрав верный, на Ваш взгляд, ответ, Вы можете проверить себя, обратившись к таблице верных ответов. Решать задачи необязательно по порядку, можно выбрать индивидуальную программу занятий. Но только прорешав большинство из предложенных задач Вы будете уверены в стабильности своих знаний по планиметрии. Желаем успеха!

… Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете её своими силами, то вы можете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы! Д. Пойа.

Геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки, называется треугольником. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника. На рисунке 1 изображен треугольник с вершинами А, В и С и со сторонами АВ, ВС и СА. Такой треугольник будем обозначать так: АВС. Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы А, В,С в другом порядке: ВСА, СВА и так далее. Три угла – ВАС, СВА и АСВ называются углами треугольника АВС. Часто их обозначают одной буквой: А, В, С. Если продолжить одну из сторон за вершину треугольника, то получим внешний угол треугольника. На рисунке 1 АВD – внешний угол АВС. Любой внешний угол является смежным с одним из внутренних углов треугольника.

Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противолежащую сторону ( от вершины до основания перпендикуляра) или на продолжение стороны. На рисунке 2 ВН – высота треугольника АВС. У каждого треугольника три высоты.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны треугольника. На рисунке 3 СМ – медиана треугольника АВС. У каждого треугольника три медианы.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до пересечения с противоположной стороной. На рисунке 4 АР – биссектриса треугольника АВС. У каждого треугольника три биссектрисы.

Взаимное расположение медианы, биссектрисы и высоты треугольника Биссектриса лежит внутри угла, образованного высотой и медианой, проведенными из той же вершины. На рисунке АН – высота, АР – биссектриса, АМ – медиана, проведенные из вершины А. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Свойства медиан треугольника 1.Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника) (рис. 5). 2.Каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины. 3.Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади) ( рис. 5 ). 4.Три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников ( рис. 5).

Свойства биссектрис треугольника Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности ( рис. 6). Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Свойства высот треугольника Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. Ортоцентр остро- угольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр прямоугольного тре- угольника совпадает с вершиной прямого угла. Ортоцентр тупоугольного тре- угольника лежит вне треугольника.

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 1.В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 2.В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 3.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство тре- угольника). 4.Сумма величин любых двух внутренних углов треугольника меньше В любом треугольнике два внутренних угла острые. 6.Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

О сумме углов в треугольнике Теорема. Сумма величин внутренних углов треугольника равна 180. С л е д с т в и я. 1)Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 2)Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90. 3)В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол имеет величину в 45. 4)В равностороннем треугольнике каждый угол имеет величину в 60. 5)Длина катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30, равна половине длины гипотенузы.

Признаки равенства треугольников Два треугольника равны, если: 1. две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого тругольника; 2. сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника 3. три стороны одного треугольникасоответственно равны трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников Два прямоугольных треугольника равны, если: 1.катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника; 2.гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника; 3.катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника; 4.гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника.

Теорема о средней линии треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 1 отрезок ED – средняя линия треугольника АВС. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. С D A E B ED – средняя линия треугольника АВС

Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. Пуанкаре

Задача 1.1. Величина одного из углов треугольника равна 20. Величина острого угла между биссектрисами двух других углов треугольника равна Варианты ответа: 1) 80 ; 2) 81 ; 3) 82 ; 4) 83 ; 5) 84.

Задача 1.2. В треугольнике АВС дано: АВ=5, ВС=10, ВК – биссектриса. Тогда, если S АВК =1, то S АВС равна Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 3 ; 4) 6; 5) 2.

Задача 1.3. Наибольшая сторона тре- угольника больше наименьшей стороны на 8 см, а длины сторон относятся как 3:4:5. Длина средней стороны равна ( в см) Варианты ответа: 1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 16.

Задача 1.4. Если треугольник, периметр которого равен 15 см, делится медианой на два треугольника с периметрами 11 см и 14 см, то длина медианы равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 3; 4) 6; 5) 7.

Задача 1.5. Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см, и площадь первого треугольника равна 8 см 2, то площадь второго треугольника равна ( в см 2 ) Варианты ответа: 1) 25; 2) 20; 3) 50; 4) 60; 5) 30.

Задача 1.6. Если площади двух подобных треугольников равны 16 см 2 и 25 см 2, длина одной из сторон первого треугольника равна 2 см, то длина сходственной ей стороны второго треугольника равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 1; 2) 1,5; 3) 2; 4) 2,5; 5) 6,25.

Задача 1.7. Длины сторон треугольника относятся как 3:4:6. Соединив середины его сторон, получим треугольник с периметром 3,9 см. Длина большей стороны исходного треугольника равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 1,4; 2) 1,8; 3) 0,9; 4) 3,4; 5) 3,6.

Задача 1.8. Точка В 1 лежит на стороне АС треугольника АВС, причем АВ 1 =3, В 1 С=5. точка О, лежащая на отрезке ВВ 1, такова что S СОВ =25. Найти S АОВ. Варианты ответа: 1) 15; 2) 14; 3) 12; 4) 8; 5) 16.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами. На рисунке 8 изображен прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, АВ – гипотенуза, АС и ВС – катеты.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ( с 2 = а 2 + b 2 ). Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Задача 1.9 Если катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, а гипотенуза равна 40 см, то длина высоты, опущенной на гипотенузу равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 12; 2) 24; 3) 16; 4) 10; 5) 20.

Задача Если катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см, то длина медианы, проведенной к гипотенузе равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 7 ; 4) 6; 5) 8.

Задача Точка на гипотенузе, равноудаленная от катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найти сумму длин катетов. Варианты ответа: 1) 96; 2) 98; 3)72; 4) 112; 5) 84.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 10 ).

Задача 1.12 Если внутренние углы треугольника относятся как 2:4:6, то внешний угол треугольника, смежный с меньшим внутренним углом, равен Варианты ответа: 1) 150 ; 2) 120 ; 3) 160 ; 4) 90 ; 5) 60. B C D A

Задача В треугольнике АВС величина внешнего угла при вершине В в три раза больше величины угла А и на 54 больше величины угла С. Угол А равен Варианты ответа: 1) 15 ; 2) 27 ; 3) 30 ; 4) 54 ; 5) 60.

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис.12 ).

Мастерство – это то, чего можно добиться. A.С. Макаренко

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника. На рисунке АВ = ВС, АВ и ВС – боковые стороны равнобедренного треугольника АВС, АС- основание равнобедренного треугольника АВС.

Свойства равнобедренного треугольника 1.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 3.Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 4.Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Задача Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40, то угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен Варианты ответа: 1) 30 ; 2) 35 ; 3) 20 ; 4) 45 ; 5) 60.

Задача Если биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника образует с основанием угол 132, то угол при вершине треугольника равен Варианты ответа: 1) 30 ; 2) 15 ; 3) 18 ; 4) 45 ; 5) 12.

Задача Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120, а боковая сторона равна 8. Тогда диаметр описанной около треугольника окружности равен Варианты ответа: 1) 8; 2) 12; 3) 16; 4) 24; 5) 32.

Задача В равнобедренном треугольнике АВС основание АС=18, а боковая сторона равна 15. На стороне АВ выбрана точка К, а на стороне ВС – точка М, причем АК:КМ:МС=5:3:5. Тогда площадь четырехугольника АКМС равна Варианты ответа: 1) 68; 2) 96; 3) 54; 4) 108; 5) 82.

Кто не знает в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра. Сенека

a, b – смежные стороны; α – угол между смежными сторонами; d 1, d 2 – диагонали; φ – угол между диагоналями; h a – высота, проведенная к стороне а ( рис. 2). Четырехугольник является параллелограммом, если: 1.его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; 2.его противоположные стороны попарно равны; 3. две противолежащие стороны равны и параллельны

Свойства параллелограмма 1.диагонали параллелограмма пере- секаются и точкой пересечения делятся пополам; 2.в параллелограмме противолежащие стороны и противолежащие углы равны; 3.сумма внутренних односторонних углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 ; 4.диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Для параллелограмма справедливы формулы: 1. d d 2 2 = 2(a 2 + b 2 ); 2. d 1 2 = a 2 + b 2 – 2abcos α. 3. S = ab sin α; 4. S = а h a ; 5. S = 0,5d 1 d 2 sin φ

Геометрия приближает разум к истине Платон

Задача 2.1. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины острого угла равен 112,5. Величина этого острого угла равна Варианты ответа: 1) 70 ; 2) 59,5 ; 3)63 ; 4) 67,5 ; 5) 64,5. A H 1 α B H 2 C ? D

Задача 2.2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК= 4 и КС=3. Периметр параллелограмма равен Варианты ответа: 1) 22; 2) 20; 3) 24; 4) 28; 5) 26.

Задача 2.3. В параллелограмме, периметр которого равен 84, а высоты относятся как 3:4, меньшая сторона равна Варианты ответа: 1) 12; 2) 18; 3) 15; 4) 30; 5) 8. A H 1 α B H 2 C D

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными. Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 13, а изображён выпуклый четырехугольник, а на рисунке 13, б – невыпуклый. Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника.

Задача 3.1. Если в четырехугольнике ABCD известны углы CBD=58, ABD=44, ADC=78, то угол CAD равен Варианты ответа: 1) 29 ; 2) 58 ; 3) 44 ; 4) 78 ; 5) 39. В С ? АD

Задача 3.2. Длины трех меньших сторон четырехугольника, в который можно вписать окружность, относятся как 1:2:2, а его периметр равен 48. Тогда большая сторона равна Варианты ответа: 1) 18; 2) 8; 3) 12; 4) 16; 5) 20.

Задача 3.3. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2, 3 и 4, вписана окружность радиуса 1,2. Тогда его площадь равна Варианты ответа: 1) 8,4; 2) 7,2; 3) 6,8; 4) 7; 5) 9,4.

Задача 3.4. Стороны четырехугольника относятся как 2:4:3:6. Периметр подобного ему четырехугольника, у которого большая из сторон составляет 30, равен Варианты ответа: 1) 150; 2) 90; 3) 75; 4) 60; 5) 120.

a, b – стороны прямоугольника; d – диагональ; φ – угол между диагоналями; R – радиус описанной окружности. Для прямоугольника справедливы формулы: 1) S = ab; 2) S = 0,5d 2 sinφ.

Свойства прямоугольника 1. диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; 2. в прямоугольнике противолежащие стороны и противолежащие углы равны; 3. сумма внутренних односторонних углов прямоугольника, прилежащих к одной стороне равна 180 ; 4. диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника; 5. у прямоугольника диагонали равны; 6. около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине диагонали.

Мало знать, надо и применять. Мало хотеть, надо и делать. И. Гёте

a – сторона ромба; d 1, d 2 – диагонали; α – угол между смежными сторонами; r – радиус вписанной окружности; h – высота. Для ромба справедливы формулы: 1. r = 0,5h; 2. d d 2 2 = 4а 2.

Свойства ромба 1.диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; 2.в ромбе противолежащие стороны и противолежащие углы равны; 3.сумма внутренних односторонних углов ромба, прилежащих к одной стороне равна 180 ; 4.диагональ ромба делит его на два равных треугольника; 5.диагонали ромба взаимно перпен- дикулярны и являются биссектрисами углов; 6.в ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты ромба.

Математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного. Аристотель.

Задача 5.1. Если площадь ромба равна 18 см 2, а острый угол равен 30, то длина стороны ромба равна ( в см ) Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 3; 4) 6; 5) 2.

Задача 5.2. Если длины диагоналей ромба относятся как 3:4, а его площадь равна 384 см 2, то длина стороны ромба равна ( в см ) Варианты ответов : 1) 11; 2) 40; 3) 12; 4) 24 ; 5) 20.

Задача 5.3. Если длины диагоналей ромба равны 6 см и 8 см, то длина стороны ромба равна ( в см ) Варианты ответов : 1) 4; 2) 5; 3) 3; 4) 6; 5) 2.

Геометрия – витамин для мозга. И. Шарыгин

a – сторона квадрата; d – диагональ R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности. Для квадрата справедливы формулы: 1. R = d : 2; 2. r = a : S = a 2 ; 4. S = 0,5d 2 ; 5. S = 4r 2 ; 6. S = 2R 2.

Свойства квадрата 1.диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; 2.в квадрате противолежащие стороны и противолежащие углы равны; 3.сумма внутренних односторонних углов квадрата, прилежащих к одной стороне равна 180 ; 4.диагональ квадрата делит его на два равных треугольника; 5.у квадрата диагонали равны и взаимно перпендикулярны; 6.диагонали квадрата являются биссектрисами углов; 7.около квадрата можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине диагонали; 8.в квадрат можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине стороны.

Задача 6.1. Если площадь квадрата равна 338 см 2, то диагональ квадрата равна ( в см) Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 26; 4) 6; 5) 2.

Задача 6.2. В квадрате, сторона которого равна 4 см, середины двух смежных сторон соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата. Найти площадь полученного треугольника (в см 2 )? Варианты ответа: 1) 4; 2) 5; 3) 3; 4) 6; 5) 2.

Задача 6.3. В треугольник с основанием 2 и высотой, проведенной к этому основанию, равной 3, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие на боковых сторонах. Чему равна часть площади треугольника, не накрытого квадратом? Варианты ответа: 1) 1,22; 2) 1,36; 3) 1,5; 4) 1,44; 5) 1,56.

Задача 6.4. В квадрате ABCD со стороной, равной 10, точки М и Т – середины сторон AD и DC соответственно. Отрезки АТ и ВМ пересекаются в точке К. Найти S АМК. Варианты ответа: 1) 5; 2) 5,5; 3) 7,5; 4) 6 ; 5) 12.

Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий. А.И.Маркушевич.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны ( рис. 14) Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной ( рис. 15 ).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. На рисунке 16 отрезок EF – средняя линия трапеции ABCD. Т е о р е м а. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Крупное математическое открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Д. Пойа.

Задача 7.1. Большее основание трапеции равно 24. Найдите ее меньшее основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 4. Варианты ответа: 1) 8; 2) 12; 3) 16; 4) 24; 5) 32.

Задача 7.2. Основания трапеции равны 8 и 14. Найдите расстояние между серединами диагоналей. Варианты ответа: 1) 1,5; 2) 2; 3) 1,6; 4) 4; 5) 3.

Задача 7.3. В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 4, а боковая сторона относится к высоте трапеции как 5:4. Найти площадь трапеции. Варианты ответа: 1) 56; 2) 28; 3) 21; 4) 35; 5) 42.

Задача 7.4. Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а длина средней линии равна 10, то площадь этой трапеции Варианты ответа: 1) 100; 2) 90; 3) 110; 4) 80; 5) 120.

Задача 7.5. В равнобедренную трапецию с острым углом 30 вписана окружность радиуса 2. Найти площадь трапеции. Варианты ответа: 1) 8; 2) 12; 3) 16; 4) 24; 5) 32.

Задача 7.6. Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 20, а центр описанной окружности лежит на большем основании. Вычислить площадь этой трапеции. Варианты ответа: 1) 64; 2) 132; 3) 148; 4) 128; 5) 96.

Задача 7.7. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 7,5. Длина боковой стороны трапеции равна 17. Найти длину большего основания трапеции. Варианты ответа: 1) 20; 2) 22; 3) 25; 4) 27; 5) 30.

Задача 7.8. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 6. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми равна 5, то средняя линия трапеции равна Варианты ответа: 1) 13; 2) 12; 3)16; 4) 14 ; 5) 12,5.

Задача 7.9. В трапеции ABCD дано: ВС и AD – основания, точка О – точка пересечения диагоналей. S AOD =8, S BOC =2. Найти площадь трапеции. Варианты ответа: 1) 16; 2) 13; 3)14; 4) 28; 5) 19.

Задача В трапеции ABCD основания ВС=3, AD=6, а SAOВ =6, где О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки О до большего основания. Варианты ответа: 1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 2,5.

Задача Окружность проходит через вершины В, С и D трапеции ABCD и касается боковой стороны АВ в точке В. Если основания трапеции равны 2 и 8, то длина диагонали BD равна Варианты ответа: 1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 2,5.

Математика – гимнастика ума. М.В. Суворов

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центром окружности является точка пересечения серединных перпен- дикуляров к сторонам треугольника. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис. Д. Пойа.

Задача 8.1. Если из точки В, взятой на окружности, проведены диаметр ВС и хорда ВА, которая стягивает дугу в 46, то угол между диаметром и хордой равен Варианты ответа: 1) 45 ; 2) 23 ; 3) 72 ; 4) 67 ; 5) 60.

Задача 8.2. Если в круге, площадь которого равна 6,25, проведена хорда длиной 3, то расстояние от центра круга до хорды равно Варианты ответа: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 5; 5) 2,5.

Задача 8.3. Окружность радиуса 2см разогнута в дугу радиуса 5 см. Градусная мера этой дуги равна Варианты ответа: 1) 165 ; 2) 140 ; 3) 120 ; 4) 144 ; 5) 135.

Задача 8.4. Если в окружности централь- ный угол на 30 больше вписанного в окружность угла, опирающегося на ту же дугу, то эта дуга содержит Варианты ответа: 1) 90 ; 2) 63 ; 3) 70 ; 4) 100 ; 5) 60.

Задача 8.5. В ромб, который делится диагональю на два равно- сторонних треугольника, вписан круг. Найти площадь круга, если сторона ромба равна 4. Варианты ответа : 1) ; 2) 1,5 ; 3) 2 ; 4) 2,5 ; 5) 3.

Задача 8.6. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 8:15. Если радиус этой окружности равен 34, то большая сторона прямоугольника равна Варианты ответа: 1) 44 ; 2) 56; 3) 64; 4) 72; 5) 60.

Задача 8.7. Если радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен 5, а радиус вписанной окружности равен 2, то его периметр равен Варианты ответа: 1) 24; 2) 14; 3) 28; 4) 18; 5) 26.

Задача 8.8. В треугольнике со сторонами 6, 8 и 10 найдите радиус вписанной окружности Варианты ответа: 1) 0,5; 2) 1; 3) 1,5; 4) 2; 5) 0,75.

Задача 8.9. Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О, причем точка О лежит внутри треугольника. Если АОС=130, АОВ=140, то ВАС равен Варианты ответа: 1) 65 ; 2) 70 ; 3) 90 ; 4) 45 ; 5) 35.

Задача Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а радиус вписанной окружности равен 2. Найти площадь треугольника. Варианты ответа: 1) 8; 2) 12; 3) 16; 4) 24; 5) 32.

С тех пор, как существует мирозданье, Такого нет, кто б не нуждался в знанье. Какой мы не возьмем язык и век, - Всегда стремился к знанью человек. Рудаки

Тема / Номер задачи Треугольник Параллелограмм412 3.Четырехугольни к Ромб452 6.Квадрат Трапеция Окружность и круг

Учение – процесс подчас малоприятный и малоинтересный, но высокие цели, увлекательное содержание и широкий набор эффективных способов учебной деятельности радикально его меняет. Эти три компонента, отвечая на вопросы зачем, чему и как учиться?, являются постоянным предметом совершенствования, точками роста качества образования.

1. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина - М.: Просвещение, с. 2. Шлыков В.В. Задачи по планиметрии: Учеб. пособие для кл. общеобразоват. шк./Рис.В.В.Шлыков. - Мн.: Асар, с.: ил. 3. Математика: Сборник задач для подготовки к централизованному тестированию и вступительным экзаменам в ВУЗы: Справочное пособие/ В.В. Веременюк, В.В Кожушко.- Мн.: УП «Технопринт» с. 4. Храпко Н.Н. Экзаменационные материалы по математике для поступающих в техникумы: Материалы вступительных экзаменов на базе 9, 11 классов ( задачи, решения, ответы)/ Н.Н. Храпко, М.П. Тульева, М.В. Тульева.-Мн.: «ТетраСистемс», Шлыков В.В., Шлыкова В.В., Храпко Н.Н. Математика: учеб.пособие для поступающих в техникумы. - Мн.: «БЕРВИТА», с. 6. Сборник задач по математике для поступающих во втузы/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави.-Мн.: Выш. шк., с.:ил.

Управляющие кнопкиНазвание управляющей кнопки Действия назадПереход к предыдущему слайду далееПереход к следующему слайду сведенияПереход к слайду «Сведения о работе с программным продуктом « Планиметрия в тестах»» в конецПереход к слайду «Таблица правильных ответов » возвратВозврат к последнему показанному слайду домойПереход к слайду « Содержание»