С. В. Грисюк КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В БИЗНЕСЕ Алматы, 2009.

Введение Роль и место математики в процессе познания

1. Человек мыслит не понятиями, не словами, а образами. 2. Поскольку процесс познания осуществляется посредством соединения индивидуального и коллективного (в том числе исторического) опыта, постольку необходима система коммуникации субъектов познания, в качестве которых выступают все люди независимо от уровня их личностного развития; т.е. необходим способ передачи информации, накопленной в процессе познания, - язык.

3. Язык – система знаков (символов), которые являются проекциями образов в пространство меньшей размерности, и совокупности правил оперирования этими знаками (синтаксис). В зависимости от природы символов и знаков различают: язык жестов (так называемая первая сигнальная система), вербальные языки (вторая сигнальная система), математические и языки программирования. Наиболее близкими к образному уровню являются языки искусства.

4. Необходимость выражения образа в знаковой форме приводит к углублению его осознания – эвристическая функция языка. 5. Потребность во все более адекватной передаче информации, содержащейся в образах, с одной стороны, и относительно стабильный уровень адекватности каждого конкретного языка – с другой, обусловливают необходимость совершенствования уже известных и поиска новых языков (обогащение вербальных языков новыми понятиями, создание новых математических языков и т.п.).

6. Математические языки по сравнению с вербальными более адекватны, поскольку позволяют отображать свойства реальных объектов в единстве качественного и количественного; вербальные языки фиксируют преимущественно качественную сторону действительности. 7. Обращение различных областей знания рано или поздно к математическим языкам закономерно, так как человек стремится развивать системы отображения объективной реальности, т.е. языки, в направлении знаковых систем, позволяющих представлять образ объективной реальности во все более адекватной форме.

8. В качестве наиболее развитых математических языков выступают сегодня математические теории, отображающие те или иные объекты исследования. 9. Современная экономическая наука немыслима без математики. Её потребности являются чрезвычайно важным фактором развития самой математики.

1. Математическое моделирование экономических процессов и систем

Математическое моделирование в последние десятилетия выступает в качестве одного из инструментов исследования динамики и направленности экономических процессов, а также структуры и механизмов функционирования экономических систем.

1. Модель (modus – мера, modulus – образец (лат.)) – абстрагированное, обобщённое представление объекта исследования, отображающее его наиболее существенные системные свойства и отношения.

2. Среди бесконечного разнообразия видов и типов моделей выделяются два класса: а) модели сущностно-содержательные – описывающие системные свойства и отношения исследуемого объекта средствами вербального языка; б) формально-количественные (математические) – описывающие системные свойства и отношения исследуемого объекта средствами формального языка.

«Основным формальным языком является язык L 1-го порядка или (1-ой ступени) данной сигнатуры, включающей предикатные символы R i, i I, функциональные символы f j, j J, и константы c k, k K. Модель языка L есть алгебраическая система сигнатуры ». (Математическая энциклопедия, т.3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982, с. 769)

3. Этапы математического моделирования

Первый – формулирование законов, связывающих основные элементы (свойства и отношения) модели. Он заканчивается записью в математических знаках качественных представлений о связях между элементами модели. Второй – решение математических задач, вытекающих из модели. Цель – получение выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

Третий – выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т.е. определение того, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Четвёртый – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизации модели. (Подробнее см. Математическая энциклопедия, т. 3, - с.574.)

4. Эконометрическая модель – «экономико- математическая модель, служащая для анализа и прогнозирования экономических процессов на разных уровнях. Представляет собой систему регрессионных (стохастических) уравнений с зависимыми и независимыми переменными». (Большой экономический словарь/ Под ред. А. Н. Азрилияна. – М.: Институт новой экономики, 2007, с.597.)

Математика современной эконометрики отнюдь не ограничивается математической статистикой, тем более регрессионным анализом. Широко используются дифференциальные и интегральные исчисления, теория графов, теория игр и мн. др.

5. Пример. Количественная модель денег. I вариант – M = pt/v; II вариант – M = kpy/v.

2. Системный анализ

Осознание системных свойств бытия во второй половине ХХ – го века выразилось в формулировании общей теории систем и разнообразных её ответвлений. На её основе сложился так называемый системный анализ как более или менее самостоятельный подход в процессе изучения реальных систем физико-химической, биологической, психологической, социальной природы.

1. Системный анализ – совокупность методов научного исследования (иногда – относительно самостоятельная научная дисциплина), базирующихся на фундаментальном представлении о том, что любой объект исследования является системой и по этой причине обладает системными свойствами.

2. В процессе системного анализа, как правило, учитываются такие системные свойства, как целостность, открытость (закрытость), наличие структуры, организованность (упорядоченность), гомеостазис, наличие интегративного качества и т.д.

3. Одним из важнейших в методологи- ческом отношении постулатов системного анализа является представление об иерархической встроенности объекта исследования в гомологический системный ряд: N ± 1 ± 2 ± 3 ± …, где различающим признаком является топологическое разнообразие пространства бытия системы. Подход, учитывающий данный постулат, обычно называют полисистемным.

4. Наиболее общий формализм системного анализа: e = E – g. Где: E – энергия, потребляемая системой; e – свободная энергия, производимая системой; g – энергия, используемая системой на разрешение внутренних противоречий.

5. Пример. Экономическая система с отрицательной рентабельностью: g > E. При этом e принимает отрицательные значения; самостоятельное воспроизводство системы невозможно. В предельном случае, когда входной поток E принципиально не может быть увеличен по причине системных ограничений, дальнейшее существование системы в рамках данной качественной определённости становится невозможным.

3. Исследование операций

Исследование операций (ИО) – совокупность математических методов и методологических принципов решения оптимизационных задач в сфере человеческой деятельности, прежде всего, в области экономики. Нередко, на наш взгляд, преждевременно и необоснованно ИО определяют как самостоятельную научную дисциплину.

Наиболее интенсивно ИО развивается во второй половине ХХ в. Наибольший вклад внесли: Р.Акофф, Р.Беллман, Г.Данциг, Г.Кун, Т.Саати, Р.Чермен (США), А.Кофман, Р.Форд (Франция) и др. Важная роль в создании современного математического аппарата и развития многих направлений исследования операций принадлежит Л.В.Канторовичу, Б.В.Гнеденко, М.П.Бусленко, В.С.Михалевичу, М.М.Моисееву, Ю.М.Ермолаеву, Н.З.Шору и др. (Подробнее см. ).

1. Методологической основой ИО является общая теория систем, в частности, базирующийся на ней системный подход. В свете этого любой компонент деятельности, а следовательно, и задача его оптимизации, рассматривается в контексте функционирования системы как целостности.

2. Некоторые понятия исследования операций:

операция – относительно обособленный компонент деятельности, представляющий собой системно организованную последовательность действий; оперирующая сторона – субъект деятельности; стратегии оперирующей стороны – возможные способы использования наличных ресурсов в границах качественной определённости системы;

оптимальная стратегия оперирующей стороны – лучшая из возможных; состояние операции – состояние данного компонента деятельности как системы, характеризуемое с точки зрения существенных его параметров;

математическая модель операции – формально-количественное описание сущности и особенностей операции (уравнения и неравенства, их системы, числовые последовательности, таблицы, графы и др.); оптимизационная задача – задача, целью которой является нахождение оптимальной стратегии оперирующей стороны.

3. «Содержанием теоретического аспекта ИО являются анализ и решение математических задач выбора в заданном множестве допустимых решений Х элемента, удовлетворяющего тем или иным критериям оптимальности и называемого оптимальным решением задачи». (Математическая энциклопедия, т.2 - М.: «Советская энциклопедия», 1979, с. 676)

Задачи данного типа, как правило, не могут быть решены аналитически (в общем виде). Их численные решения зачастую сопряжены с большими объёмами вычислений и предъявляют повышенные требования к вычислительным ресурсам.

4. Этапы решения оптимизационной задачи: Первый – нахождение принципа оптимальности (частный случай – принцип максимина, минимакса). Второй – установление реализуемости избранного принципа оптимальности. Третий – собственно получение решения.

5. ИО активно использует аппараты теории множеств, теории вероятностей, теории игр, теории оптимальных решений, теории графов, линейного и нелинейного программирования, теории массового обслуживания и т.д.

6. Пример. Группы наиболее распространённых оптимизационных задач связаны с управлением ресурсами, а также эффективностью функционирования экономических систем.

4. Теория принятия решений

Теория принятия решений (ТПР) – это междисциплинарная область исследования, которая может рассматриваться как фрагментарная проекция особенного уровня ИО. Её целью является нахождение оптимального решения, т.е., по сути, решение оптимизационной задачи.

Термин «теория принятия решений» приписывается Э. Н. Леманну (1950 г.). Наибольший вклад в разработку идей ТПР внесли А. Вальд, Ф. Рамсей, Б. де Финетти, Л. Сэвидж и др.

1. ТПР, будучи методологически производной от ИО, предлагает фактически осмысление процесса нахождения оптимального решения в ином, отличном от ИО семантическом пространстве. Знаками, его задающими, являются:

лицо принимающее решение (сравните с «оперирующая сторона»); регламент – порядок принятия решений; цели – нахождение оптимального решения; ресурсы (ressource – фр. вспомогательное средство) – источники энергии, в широком смысле, производительной силы (материальные, временные, технические, финансовые, личностные, информационные и др.).

2. ТПР, не имея собственного математического аппарата, активно использует теорию множеств, теорию вероятностей, теорию игр, линейное и нелинейное программирование.

3. Примеры. А) Выбор оптимальной технологии производства конкретного товара; Б) Нахождение оптимальной цены товара при продвижении его на рынок; В) Нахождение оптимального соотношения цена-качество товара в процессе его закупки.

5. Линейное и нелинейное программирование

Исследование операций и теория принятия решений в процессе непосредственного решения оптимизационных задач наиболее часто обращается к использованию аппарата линейного и нелинейного математического программирования.

1. «Линейное программирование – математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных неравенств и равенств; ЛП – один из разделов математического программирования.

Типичной задачей ЛП является следующая: найти максимум функции j x j при условиях ij x j b i, i= 1, 2, …, m; x j 0; j= 1, 2, …, n, где c j, a ij и b i – заданные числа». (Математическая энциклопедия, т. 3. – с. 353).

2. В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции f(x 1, x 2, …, x n ). Решение задачи нелинейного программирования на практике сводится к решению системы нелинейных (дифференциальных, интегральных) уравнений или неравенств. Приложения аппарата нелинейного программирования в области исследования реальных экономических процессов дают возможность более адекватного описания и объяснения последних, поскольку в действительности они имеют нелинейную природу.

6. Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой часть теории случайных процессов (нередко квалифицируется как математическая дисциплина или часть ИО) и, на наш взгляд, в настоящее время не может быть признана теорией в контексте понимания Н. Бурбаки, поскольку изучаемые ей случайные процессы до сих пор не удаётся окончательно формализовать.

1. ТМО описывает так называемые системы массового обслуживания, т.е. такие системы, услуги которых востребованы в массовом порядке. 2. Для решения задач массового обслуживания используется математический аппарат теории вероятностей. 3. Цель изучения процессов массового обслуживания состоит в исследовании распределений различных параметров, характеризующих состояние системы массового обслуживания (длины очереди, времени ожидания начала обслуживания, вероятности данному вызову получить отказ и т.д.).

4. Если все заявки однородны (равноправны) и стационарны, т.е. вероятность их появления не зависит от времени t, то их поток называется простейшим. Число n событий такого потока, выпадающих на интервал x, распределено по Закону Пуассона: При этом интенсивность потока равна: Где M(x) равно математическому ожиданию числа событий на интервале x. Многие из потоков массового обслуживания с некоторой долей упрощения могут быть квалифицированы как простейшие.

5. ТМО сегодня широко используется в области телекоммуникаций, в торговле, в системах общественного распределения благ и т.д. Чрезвычайно перспективной, на наш взгляд, может быть интерпретация в терминах ТМО процессов, связанных с трансфером услуг между подразделениями внутри компании.

7. Теория игр

Хотя отдельные теоретико-игровые представления возникали, начиная с XVII века (Б. Паскаль, П. Ферма, Д. Бернулли, П. Лаплас, Д. Бертран и др.), основные постулаты теории игр были сформулированы в работах Дж. Неймана и О. Моргенштерна (Дж. Нейман «К теории стратегических игр», 1928; Дж. Нейман, О. Моргенштерн «Теория игр и экономическое поведение», 1944).

В общем случае теория игр представляет собой набор исходных аксиом и правил вывода, позволяющих находить оптимальные модели поведения субъекта (субъектов) в ситуациях, характеризующихся ограниченностью ресурсов (нередко вследствие этого называемых конфликтными).

1. Игровая ситуация - результат выбора всеми коалициями действия своих стратегий с учётом всех связей между стратегиями различных коалиций действия. Признаки игровой ситуации: множество участвующих действующих начал (называемых коалициями действия); семейство множеств стратегий каждой из коалиций действия; множество ситуаций; множество заинтересованных начал (называемых коалициями интересов); семейство бинарных отношений, выражающих предпочтения между ситуациями для коалиций интересов (подробнее см. Математическая энциклопедия, т. 2, с ).

2. Содержание теории игр состоит в установлении связей между компонентами каждой игры и «оптимальными» её исходами, и прежде всего: в уточнении самого понятия оптимальности, в доказательстве существования оптимальных исходов и в их фактическом определении.

3. По причине качественной неоднородности игровых ситуаций, а также семиотических проблем, общего понятия оптимальности в теоретико-игровом контексте до сих пор не выработано. Зачастую принцип оптимальности реализуется в виде множества ситуаций- оптимумов. Это множество (которое может оказаться пустым) называется решением.

4. Математический аппарат теории игр сегодня образуют, главным образом, теория множеств и теория вероятностей. 5. Приложение аппарата теории игр в области экономики возможно везде, где имеет место взаимодействие (и, прежде всего, противоречие) интересов различных субъектов деятельности: взаимоотношения типа «продавец – покупатель», взаимодействие конкурентов, практически любые задачи управления и т.п.

6. Пример. Теоретико-игровая модель системы налогообложения на макроэкономическом уровне наглядно демонстрирует, что динамика налогооблагаемой базы и совокупных налоговых поступлений может быть оптимизирована лишь в случае кооперации между субъектами хозяйственной деятельности и государством. Иначе говоря, это типичная кооперативная игра.

8. Теория графов

Теория графов – область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Основной объект теории графов – граф и его обобщения. Теория графов, прежде всего, представляет собой формальный язык, позволяющий адекватно описывать структуру системы, в которой элементы могут быть представлены в качестве вершин, а связи – рёбер, дуг и петель графа.

1. Граф можно представить в евклидовом пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими рёбрам (или дугам) графа. Граф с шестью вершинами и семью рёбрами.

2. Некоторые понятия: Вершина, Узел базовое понятие: точка, где могут сходиться/выходить рёбра и/или дуги. Множество вершин графа G обозначается V(G). Ребро графа базовое понятие. Ребро соединяет две вершины графа. Дуга это ориентированное ребро. Петля ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине. Вершины, соединённые ребром или дугой, называются смежными. Рёбра, имеющие общую вершину, также называются смежными. Ребро (дуга) и любая из двух его вершин называются инцидентными.

Полным называется граф, в котором нет петель и каждая пара вершин соединена в точности одним ребром. Граф называется связным, если любая пара его вершин соединена маршрутом. Маршрутом, соединяющим вершины u 0 и u r, называется последовательность рёбер (u 0, u 1 ), (u 1, u 2 ), …, (u i-1, u i ), (u i, u i+1 ), …, (u r-1, u r ). Маршрут замкнут, если u 0 = u r, Маршрут называется цепью, если все его рёбра различны, и простой цепью, если все его вершины различны. Длина маршрута (цепи, простой цепи) равна количеству рёбер в порядке их прохождения. Длина кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины u i и u j в графе G, называется расстоянием d(u i, u j ) между вершинами u i и u j.

Диаметр графа – это его наибольшее расстояние. Степенью вершины u i графа G, обозначаемой d i, называется число рёбер, инцидентное этой вершине. Вершина u i называется изолированной, если d i = 0, и концевой, если d i = 1.

3. Одноместные операции. Наиболее употребимыми являются: удаление ребра (вершины ребра сохраняются); добавление ребра между вершинами графа; удаление вершины вместе с инцидентными ей рёбрами (граф, полученный в результате удаления вершины v из графа G, часто обозначают G – v); добавление вершины (которую можно соединить с некоторыми вершинами графа); стягивание ребра – отождествление пары смежных вершин, т.е. добавление новой вершины, смежной с теми вершинами графа, которые были смежны хотя бы с одной из удалённых вершин; подразбиение ребра – удаление ребра и добавление новой вершины, которая соединяется ребром с каждой вершиной удалённого ребра.

4. Методами теории графов решаются логистические задачи, задачи календарного планирования промышленного производства, построение систем связи и исследование процессов передачи информации, выбора оптимальных маршрутов и др. 5. Пример графа. Схема оптимального распределения информационных потоков внутри компании.