Независимо от того, в какой отрасли знания получены числовые данные, они обладают определенными свойствами, для выявления которых может потребоваться особого рода научный метод обработки. Последний известен как статистический метод или, короче, статистика. Дж. Юл. М. Кендал Есть три вида лжи: Обычная ложь, наглая ложь и статистика. Б. Дизраэль

Статистическая информация. Формы представления статистической информации I. Статистика. Предмет статистики 1. Статистика – это научное направление, объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления.Оно включает в себя математическую статистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик (статистика промышленности, статистика финансов, статистика народонаселения и др.). 2.Статистика – это отрасль практической деятельности, направленной на сбор, обработку, анализ статистических данных (например, есть органы государственной статистики). 3. Статистика - это совокупность статистических данных, характеризующих какое-нибудь явление или процесс (например, статистика рождаемости и смертности в России, статистика успеваемости учащихся и т.д.). 4. Статистика - это любая функция результатов наблюдений (например, среднее арифметическое есть статистика, выборочная дисперсия также есть статистика). Основным методом статистики является выборочный метод. Источником статистической информации является реальный опыт, эксперимент, наблюдения, измерения, производимые над реальными объектами. Из совокупности элементов, полученных в результате исследований, выбирают некоторое количество для обследования. Выбранные элементы составляют выборку. Количество элементов в выборке называется объемом выборки. Совокупность, из которой сделана выборка, называют генеральной совокупностью. II. Статистическая информация и формы ее представления Статистическая информация – это числовые данные о массовых явлениях, это значения наблюдаемых признаков объектов, составляющих статистическую совокупность, которые получены в результате статистического наблюдения, таким образом, источником статистической информации является реальный опыт, эксперимент, наблюдения, производимые над реальными объектами и явлениями окружающего мира. Независимо от того, случайные или неслучайные явления исследует статистика, во всех случаях она использует методы исследования, основанные на математическом аппарате теории вероятностей, и важнейшим среди этих методов является выборочный метод. Статистическая информация о результатах наблюдений или экспериментов может быть зарегистрирована и представлена в различных формах. Простейшей из них является запись результатов в порядке их появления (или получения) – запись в ряд: х1, х2, х3, …, хi, …, xn-1, xn – называется простым статистическим рядом, или рядом данных, или выборкой. Отдельные значения xi, составляющие этот ряд, называют вариантами. Количество вариант в ряду n называют объемом выборки. Обычно варианты располагают в порядке их возрастания, т. е. упорядочивают ряд. Например: игральный кубик бросили 12 раз и записали выпавшие числа в порядке их появления: 3, 4, 5, 6, 6, 6, 5, 1, 4, 6, 1, 4 (n=12) 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6 – упорядоченный ряд или вариационный ряд. xj nj Запись статистических данных, оформленная в виде таблицы, называется статистическим распределением ряда. nj – частота значений варианты xi

Решение задач на составление таблиц частот и определение относительной частоты появления события Задача 1. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятиях в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные: 5; 1,5; 0; 2,5; 1; 0; 0; 2; 2,5; 3,5; 4; 5; 3,5; 2,5; 0; 1,5; 4,5; 3; 3; 5; 3,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1; 2; 2; 4,5; 4; 3,5; 2; 5. Представьте этот ряд в виде таблицы частот. Найдите, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

Решение. 1) Задачу решаем в программе Excel. Заносим данные в таблицу. 2) В ячейку В12 заносим сумму данных В2:В11. 3) В ячейку С12 заносим сумму данных С2:С11 4) Тср находим по формуле = С12/В12 Затрачиваем ое время (ч) Количес тво учащихс я Тср 0402, , , ,5517, , Сумма3492,5 Ответ: 2,7 ч.

Задача 2. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два и три и т.д. задания: Число выполненных заданийЧисло учащихся Пользуясь этой таблицей составьте таблицу относительных частот

Задача 2. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два и три и т.д. задания: Число выполненных заданий Число учащихся Пользуясь этой таблицей составьте таблицу относительных частот. Решение. 1) Заносим данные в таблицу. 2) Общее количество учащихся находим, используя автосумму 3) В ячейку С2 заносим формулу для подсчета относительной частоты (в %). 4) Искомая таблица относительных частот: Число выполне нных заданий Числ о учащ ихся Относит ельная частота (%) , , , , , ,24 Сумма625

Использование основных статистических функций для автоматической обработки данных Сбор и анализ статистических данных не является самоцелью; результаты статистических исследований позволяют принимать более правильные управленческие решения, выявлять закономерности и взаимозависимости, скрытые за случайными колебаниями, ошибками и искажениями. Нередко возникает необходимость сравнить между собой две или несколько совокупностей статистических данных. Поскольку сравнение производится по какому-то определенному свойству, то для проведения сравнения нужны показатели, характеризующие то или иное свойство совокупности данных одним числом. Такие показатели в статистике получили название числовых характеристик (их называют также статистическими характеристиками). Простейшими числовыми характеристиками являются характеристиками являются характеристики положения (среднее значение, мода, медиана) и характеристики рассеивания (размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение). Среднее значение ряда наблюдений Х - это центр рассеивания наблюдаемых значений, это расчетное значение, сумма отклонений всех вариант от которого равна нулю. Если варианты в ряду xi являются значениями непосредственно наблюдаемого (первичного) признака, то среднее значение ряда находят по формулам среднего арифметического. В статистике при вычислениях средних ставится задача заменить все индивидуальные наблюдаемые значения некоторой обобщающей величиной Х так, чтобы при этом не изменялась некоторая итоговая величина для всей совокупности. Этой величиной может быть сумма всех вариант (среднее арифметическое), или их произведение (среднее гармоническое), или сумма квадратов вариант (среднее квадратичное) и т. д. Выбор формулы для вычисления среднего определяется решаемой задачей. Формулы среднего, отличные от среднего арифметического, обычно используются при осреднении не первичных, а расчетных значений признаков, т. е. таких, значения которых вычисляются по наблюдаемым значениям первичных. Следующей числовой характеристикой статистических рядов является мода. Мода Мо – это значение вариант, встречающееся в ряду чаще других. В таблице распределения ряда мода – это значение xj, которому соответствует наибольшее значение частоты nj. Статистический ряд может иметь одну, две или несколько мод, может не иметь моды. Медиана Ме – это серединное в вариационном ряду значение варианты.

Решение задач на определение статистических характеристик положения Задача 1. При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 32 восьмиклассников отметить время, которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные: 2,7; 2,5, 3,1; 3,2; 3,4; 1,6; 1,8; 4,2; 2,6; 3,4; 3,2; 2,9; 1,9; 1,5; 3,7; 3,6; 3,1; 2,9; 2,8; 1,5; 3,1; 3,4; 2,2; 2,8; 4,1; 2,4; 4,3; 1,9; 3,6; 1,8; 2,8; 3,9. Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 0,5 ч.

Решение. 1. Занесем данные в таблицу. В ячейку А22 занесем функцию (Вставка-Функция - Статистическая- МИН -А2:А21)для нахождения минимального значения х min, а в ячейку А23 – функцию для нахождения максимального значения xmax. Получим таблицу. 1,52 1,61 1,82 1,92 2,21 2,41 2,51 2,61 2,71 2,83 2,92 3,13 3,22 3,43 3,62 3,71 3,91 4,11 4,21 4,31 1,5 4,3 2. Определим число k = 6. строим таблицу распределения интервального ряда Время выполнения домашнего задания (ч)1,5-2,02,0-2,52,5-3,03,0-3,53,5-4,04,0-4,5 Число учащихся Решение. 1. Занесем данные в таблицу. В ячейку А22 занесем функцию (Вставка-Функция - Статистическая- МИН - А2:А21)для нахождения минимального значения х min, а в ячейку А23 – функцию для нахождения максимального значения xmax. Получим таблицу. 2. Определим число k = 6. строим таблицу распределения интервального ряда Время выполнения домашнего задания (ч) 1,5- 2,0 2,0- 2,5 2,5- 3,0 3,0- 3,5 3,5- 4,0 4,0- 4,5 Число учащихся728843

Задача 2. Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту: возраст, лет Число участников Найдите средний возраст участников похода.

Возрас т, лет Число участнико в Количес тво лет Средний возраст , Решение. 1. Занесем данные в таблицу. Найдем объем выборки. 2. В ячейку С2 занесем формулу = А2*В2, с помощью маркера заполнения заполним ячейки С2:С5. 3. В ячейку D2 занесем формулу = (С2+С3+С4+С5)/50. Получим средний возраст участников похода

Деловая графика. Графическое представление информации I. Практически во всех современных табличных процессорах имеются встроенные средства деловой графики. Для этого существует графический режим работы табличного процессора. В графическом режиме можно строить диаграммы различных типов, что придает наглядность числовым зависимостям. II. Наряду с табличной формой статистических данных (таблицы частот, таблицы относительных частот) широко используется графическая форма. Исходный ряд данных для наглядности может быть представлен столбчатой диаграммой, распределения дискретных рядов изображаются на графиках, называемых полигонами частот или многоугольниками частотами, а распределение интервальных рядов – на диаграммах, называемых гистограммами. Диаграмма – это средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной величины, слежения за изменением их значений и т.п. Широко используются различные графики динамики, а структуру совокупности обычно изображают на круговых диаграммах. III. Далее рассматриваются задачи на графическую обработку информации в электронных таблицах Excel.

Решение задач на графическую обработку информации Задача 1. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице. Тарифный разряд Число рабочих

Решение. 1) Заносим данные в таблицу. 2) Выделим блок клеток А1:G2, содержащие данные для графической обработки. Первая строка А1:G1 является строкой Х-координат; вторая строка А2:G2 выделенного блока содержит Y-координаты. Столбчатая диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Задача 2. В фермерском хозяйстве площади, отведенные под посевы зерновых, распределены следующим образом: пшеница – 63%; овес – 16%; просо – 12%; гречиха – 9%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение площадей, отведенных под зерновые

Решение. 1) Заносим данные в таблицу. Культура % площади пшеница63 овес16 просо12 гречиха9 2) Строим круговую диаграмму.

Статистика и вероятностные модели I. В отличии от статистики, теория вероятностей имеет дело не с реальными явлениями, а с их математическими моделями. Вместо статистических распределений, полученных по результатам наблюдений, в теории вероятностей используются теоретические распределения случайных величин, в которых вместо частот nj указаны вероятности pi каждого возможного значения случайной величины. Поэтому числовые характеристики распределения в теории вероятностей – это постоянные числа, однозначно определяемые видом распределения и его параметрами. В частности, вместо выборочного среднего Хn в теории вероятностей вычисляется величина М(Х), вместо выборочной дисперсии Dвыб(Х) – дисперсия случайной величины Dх и т.д. Нередко случайная величина рассматривается как математическая модель генеральной совокупности, тогда Хn будет точечной оценкой математического ожидания М(Х), а выборочная дисперсия – точечной оценкой дисперсии Dх. Полученные из опыта статистические распределения значений признака могут рассматриваться как приближенные оценки теоретического распределения признака во всей генеральной совокупности. II. Моделирование случайных процессов – мощное направление в современном компьютерном моделировании. Понятие «случайный» - одно из самых фундаментальных как в математике, так и в повседневной жизни. Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайная величина называется дискретной, если набор всех ее значений можно пронумеровать. Дискретными случайными величинами являются: количество забитых голов в футбольном матче; количество лепестков у цветка ромашки; количество видимых звезд на выбранном участке неба и т.д. Дискретная случайная величина Х может принимать набор значений х1, х2, …,хn. Каждый раз при испытании она принимает одно из значений с вероятностями p1, p2, … pn. Если вероятности известны, то говорят, что задано распределение случайной величины Х. Случайная величина может быть не только дискретной, но и непрерывной, если ее возможными значениями являются любые числа из некоторого промежутка [a; b]. примеры: скорость ветра, направление движения дождевой капли, длительность нахождения в любой очереди и др. Важнейшими характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Для дискретной случайной величины Х математическим ожиданием называется число, обозначаемое МХ МХ= p1x1+p2x2+…+pnxn Дисперсией случайной величины Х называется число DX=p1(x1-x)2+p2(x2-x)2+…+pn(xn-x)2

Решение задач на использование выборочного метода в статистике Задача 1. Для определения соотношений размеров рабочих халатов для женщин, работающих на различных предприятиях города, выявили размеры у 49 случайным образом выбранных женщин крупнейшего комбината и составили таблицу: Сколько халатов надо сшить каждого размера, если планируется шить по одному халату для каждой из работающих в производстве города женщин? Построить полигон частот.

Решение. 1. Занесем данные в таблицу. В ячейку С1 запишем формулу для вычисления количества халатов каждого размера =В2*73500/ Числовые характеристики выборки: Мо=48, Ме=50 Размер халата ЧастотаРекомендуемое количество

Задача 2. Деталь по плану должна весить 431 г. Контроль при взвешивании 2000 деталей дал такие результаты: Вес, г Число деталей ) Составьте таблицу распределения частот в процентах. 2) Постройте многоугольник частот.

Решение. 1. Заносим данные в таблицу. Находим процентную частоту. 2. Строим полигон частот. Число деталей Вес, гПроцентная частота , , ,5

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие "...Это дерево - сосна, И судьба сосны ясна..." а) Выпишите ряд данных выборки. б) Найдите объем выборки. в) Определите кратность и частоту варианты "о". г) Какова наибольшая процентная частота вариант выборки? Задача 3. Для натуральных чисел от 1 до 99 включительно найдите частоту появления простых чисел в первом, втором, третьем и т.д. десятке. Сравните относительные частоты для: а) первого и третьего десятков; б) второго и десятого десятков. Задача 4. Новый препарат давался 1000 пациентам, больным одной и той же болезнью. По истечении курса лечения 952 пациента исцелились. Какова относительная частота исцеления в рассмотренном исследовании? Задача 5. Ниже показана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона: 12,0; 13,6; 14,7; 18,9; 17,3; 16,1; 20,1; 16,9; 19,1; 18,4; 17,8; 15,6; 20,8; 19,7; 18,9; 19,0; 16,1; 15,8. Представьте эти данные в виде интервального ряда с интервалами длиной в три единицы. Найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона: а) заменив каждый интервал его серединой; б) используя заданный ряд. В каком случае средняя выработка найдена точнее?

Справочная литература 1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, В.Н. Студенецкая «Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей» классы. Волгоград: Учитель, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.