Базовый курс «Основы автоматизированного проектирования» Семестр : 9 Название части курса: «Параметрический анализ систем».

2 раздел. Математические методы обработки результатов параметрических исследований

2.3. Статистический анализ Первый класс задач параметрического анализа в статистической постановке: анализ в условиях параметрической неопределенности. Задача 1. Исследование влияния внешних параметров : на вход системы поступает стационарный центрированный случайный процесс x(t), имеющий спектральную плотность S x (ω). Требуется определить статистические характеристики выходного процесса (для задач автоматического регулирования регулируемой величины).

Этап 1. Формирование случайного процесса с заданной спектральной плотностью S x (ω). Для этой цели используется формирующий фильтр (см. формулу (8) из «Статистические методы в параметрическом анализе»), на вход которого подается белый шум с характеристиками (7) (та же ссылка). На выходе фильтра получается желаемый процесс со спектральной плотностью (6) (та же ссылка). Для практического моделирования на ЭВМ используется цифровой формирующий фильтр. S вых (z)=|Φ(z)| 2 S вх (z)

Сформировать случайный процесс с автокорреляционной функцией в виде экспоненты, т.е. имеющий спектральную плотность G x (f)=4a/(a 2 +4π 2 f 2 ) Очевидные преобразования : G x (f)=4a/(a 2 +ω 2 )=(2(a)) 2 /(a 2 -(jω) 2) =[2(a)/(a-jω)] [2(a)/(a+jω)=Φ(jω)Φ(-jω) Отсюда передаточная функция аналогового фильтра: Φ(s)=2(a)/(a+s), где s переменная Лапласа.

Сформировать аналоговый фильтр Найти дискретный аналог формирующего фильтра Извлечь информацию о полиномах числителя и знаменателя Сгенерировать входной процесс в виде нормального дискретного белого шума со следующими параметрами: среднее – 0, дисперсия σ2=1, среднеквадратичное отклонение – σ=1. Входной процесс пропустить через формирующий цифровой фильтр Алгоритм a=10 и Ts=0.01 Параметры Создать программный код- см.следующий слайд

Программный код a=10; Fils=tf([2*sqrt(a)],[1 a]) Ts=0.01; Filz=c2d(Fils,Ts) % дискретный аналог формирующего фильтра [ndcell,ddcell]=tfdata(Filz) nd=cell2mat(ndcell) dd=cell2mat(ddcell) bzf=nd; azf =dd X0 = randn(1,1000); X = filter(bzf,azf, X0) Отчет: созданный в виде m-файла программный код с комментариями к операторам

Этап 2. Определение статистических характеристик процесса. Часть 1. Определение статистических характеристик полученного с помощью формирующего фильтра процесса X, который является входным для основной системы. Определить характеристики процесса X с помощью метода Берга с функцией обращения [Pxx,f] = pburg(x,p,nfft,fs) [Pxx,w] = pburg(x,p,nfft) pburg(x,p) Создать программный код- см.следующий слайд

Программный код fs=1/Ts; pburg(X,1,[ ],fs) % график 1 [Pxx,f1]=pburg(X,1,[ ],fs) figure pburg(X,1) [Pxx,w] = pburg(X,1) Отчет: созданный в виде m-файла программный код с комментариями к операторам и графики спектральной плотности

Выполнить расчет спектральной плотности с помощью пакета Simulink. Создать модель, соответствующую рисунку следующего слайда.

Для формирования случайного процесса используются два блока: - блок входного белого шума White Noise; - блок цифрового фильтра All-pole Filter с заданной передаточной функцией Параметры блока приведены на следующем рисунке Настройки параметров: Отчет: График сравнительного анализа расчетов спектральной плотности с помощью блоков пакета Simulink и выводы о точности методов

Провести расчет характеристик случайных процессов: среднее (Mean), дисперсия (Variance), стандартное отклонение (Standard Deviation), а также построение гистограммы (Histogram). Использовать пакет Simulink Создать модель, соответствующую рисунку следующего слайда. Параметры Подать сумму единичного сигнала (блок DSP Constant) и белого шума со средним 0 и дисперсией 0.05.

Отчет: Показатели дисплеев с характеристиками, график с векторного осциллографа - данные моделирования суммарного процесса, график гистограммы по команде hist(yout)

Провести статистические исследования влияния внешних параметров на основную модель model1. Использовать отладочные модели.модифицированную модель model1 сохранить под именем model1stat1.mdl – см. следующий слайд Моделирование произвести при параметрах шума noisemean=0.2; noisevariance=0.1; Отчет: Показатели дисплеев с характеристиками, график моделирования процесса

Оценка времени переходного процесса осуществляется с помощью видоизмененного блока Конец Задачи 1.

Задача 2 Исследование влияния внутренних параметров : дана непрерывная система управления со случайными (неопределенными) параметрами. Требуется определить статистические характеристики выходного процесса (для задач автоматического регулирования регулируемой величины). Исследовать влияние вариаций первой постоянной времени объекта управления, субмодель которого представлена теперь в общем виде на следующем слайде: Базовые параметры модели не изменились: Tpf1=0.3; Tpf2=0.1; Tpf3=0.03;

Создать программный код с именем moddanstat2.m для исследования влияния случайной составляющей в первой постоянной времени Tpf1 на характеристики переходного процесса. Текст кода приведен на следующем слайде Отчет: график значений Tpf1 со случайной составляющей и времени переходного процесса tpp для 20 экспериментов

noisemean=0; noisevariance=0; Tpf1=0.3; Tpf2=0.1; Tpf3=0.03; Tpf1b=Tpf1; Nrand=20; Tpf1var=Tpf1*0.3; Tpf1rand=0+sqrt(Tpf1var)*rand(Nrand,1); for i=1:Nrand Tpf1=Tpf1b+Tpf1rand(i) sim('model1stat2',tmod) [n,m]=size(tpptek1); tppstat(i)=tpptek1(n,1); end; tppmean=mean(tppstat) tppstd=std(tppstat) plot(Tpf1b+Tpf1rand,'r') hold on plot(tppstat,'g') hold off R = corrcoef(Tpf1b+Tpf1rand,tppstat)

Задача 3. Решение первого класса задач в случае задания интервала неопределенности. Задачу исследования критерия качества системы устойчивость свести к исследованию ограниченного числа полиномов наихудшего вида Система имеет характеристическое уравнение s 3 +a 2 s 2 +a 1 s+a 0 =0 границы 4a 0 20; 10a a 2 30

Программный код для исследования наихудших полиномов alfm=[ ] betm=[ ] pol1=[1 alfm(3) betm(2) betm(1)] pol2=[1 betm(3) alfm(2) alfm(1)] pol3=[1 betm(3) betm(2) alfm(1)] pol4=[1 alfm(3) alfm(2) betm(1)] kor1=roots(pol1) kor2=roots(pol2) kor3=roots(pol3) kor4=roots(pol4) Отчет: значения корней для 4 наихудших полиномов и их анализ на устойчивость.