Проектная работа на тему: Приходько. Н и Есенова. А 10 а класс МОУ « СОШ 3 г Соль - Илецка »

Цель: воспользовавшись различной литературой по геометрии, по черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме.

1. «Золотое сечение» (немного об истории). 2.Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения» 3. Применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции. 4.Понятие золотой спирали в живой природе.

Алгебраическое нахождение и геометрическое построение «золотого сечения». «Золотое сечение» деления в крайнем и среднем отношении- деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ = а сводится к решению уравнения а:x=x:(а-x)

(где x=АС), откуда (где x=АС), откуда Отношение x к а может быть также выражено приближенно дробями Отношение x к а может быть также выражено приближенно дробями где 2,3,5,8,13,21,… где 2,3,5,8,13,21,…Фибоначи числа. Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ, на нем числа. Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ, на нем

Откладывают отрезок ВЕ=1/2АВ, соединяют А и Е, откладывают ЕD=ЕВ и, наконец АС=АD, тогда будет АВ:АС(рис.1).

В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида,где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида Евклид применял «золотое сечение» при построение правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида. Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена еще пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5- угольника и геометрического построения, равносильное решению квадратных уравнений.

Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза- религиозной секты во главе с Пифагором (ок до н.э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Пифагорейцев отличало от других то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза- религиозной секты во главе с Пифагором (ок до н.э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Пифагорейцев отличало от других то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства.

Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме1) –мужскими. Число 5- как сумма первого женского числа(2) и первого мужского(3)- считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием «золотого сечения»занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп Александрийский (III в. н.э.) и др. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме1) –мужскими. Число 5- как сумма первого женского числа(2) и первого мужского(3)- считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием «золотого сечения»занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп Александрийский (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (XIII в.) добавил к 13 книге «Начал» предположение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения» В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (XIII в.) добавил к 13 книге «Начал» предположение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения»

«Золотое сечение» и законы искусство в древней Греции. Парфенон. Парфенон. «Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя

искали и находили в соотношении его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за ширину торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно ф, между третьей и шестой-,между четвертой и пятой- Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию:1, искали и находили в соотношении его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за ширину торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно ф, между третьей и шестой-,между четвертой и пятой- Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию:1,

Здесь поучительно вспомним о пропорциях человеческого тела, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела: 1/ф. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как Здесь поучительно вспомним о пропорциях человеческого тела, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела: 1/ф. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как т.е. так же, как отрезок ВС относится к отрезку ЕС. т.е. так же, как отрезок ВС относится к отрезку ЕС.

Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела. Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела. Чем же интересен этот символ с точки зрения математики? Чем же интересен этот символ с точки зрения математики? Посмотрим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Посмотрим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности.

Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т.е знаменуют пентаграмму (рис.2). Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т.е знаменуют пентаграмму (рис.2). Из центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные стороны углов пересекут окружность в точках А,В,С,D,Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. окружность в точках А,В,С,D,Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали.

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построение новой пентаграммы. И так далее до бесконечности. Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построение новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций» При n=5 имеем В пятиугольнике АВСDE,

ЕВ:KB=PB:FB. (1) ЕВ:KB=PB:FB. (1) Обозначим ЕВ = а и КВ = x, перепишем пропорцию (1) иначе: а:x=x:(а-x) Мы получим то же самое уравнение, решением которого является Обозначим ЕВ = а и КВ = x, перепишем пропорцию (1) иначе: а:x=x:(а-x) Мы получим то же самое уравнение, решением которого является Значит, КВ:ЕВ=Ф. Значит, КВ:ЕВ=Ф. Вывод: Таким образом доказано, что стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины, которых образуют «золотую пропорцию». Вывод: Таким образом доказано, что стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины, которых образуют «золотую пропорцию».

Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер ( ). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер ( ). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно

Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами- ветками обозначим через,а угол, дополняющий его до,- через. Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол -большая часть этой величины: Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами- ветками обозначим через,а угол, дополняющий его до,- через. Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол -большая часть этой величины: Отсюда получаем уравнение Отсюда получаем уравнение и находим положительный корень

Тогда Тогда Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при «золотом сечении» Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, а в другую-21. В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов. Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, а в другую-21. В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения: Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения: Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число,с каждым новым шагом выражаемое все более точно: Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число,с каждым новым шагом выражаемое все более точно:

Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков; даже пауки, сплетая паутины, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали. Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков; даже пауки, сплетая паутины, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали. Таким образом, человеческие представления о красивом формируется явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. Таким образом, человеческие представления о красивом формируется явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения.

Золотое сечение в шрифтах и предметах Золотые пропорции в фигуре человека Альбрехт Дюрер »пропорции человеческого тела»

Боттчили «Венера» Пирамида Хеопса в Египте Пирамида»Золотое деление использовали египтяне при строительстве пирамид Рафаэль»Афинская школа»

Мы думаем, что наша работа является минипособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не подробно, но в проекте затронуты все опорно-полагающие аспекты. Также мы рассмотрели применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. «Золотое сечение»- один из основополагающих принципов приорды. Мы думаем, что наша работа является минипособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не подробно, но в проекте затронуты все опорно-полагающие аспекты. Также мы рассмотрели применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. «Золотое сечение»- один из основополагающих принципов приорды.

1.Большой энциклопедический словарь: математика. –М.: Большая Российская энциклопедия. 2.Энциклопедический словарь юного математика. –М.: Педагогика. 3.Квант: научно-популярная физико- математическая энциклопедия. –М.: Бюро «Квантум» 4.Математический энциклопедический словарь. –М.: Советская энциклопедия.