Некоторые аспекты моделирования древовидных властных структур Дипломная работа студента 505 группы, ф-та ВМиК МГУ, Черных А.В., научный руководитель д.ф.-м.н., профессор зав. отд. ИММ РАН Михайлов А.П.

Основные понятия и определения Иерархия – упорядоченная совокупность институтов (инстанций, должностей) наделенных властными полномочиями от имени государства (может быть как цепочкой, так и иметь более сложную топологию) Гражданское общество – часть общества, непосредственно не обладающая государственной властью Реакция общества – ответ гражданского общества на действия того или иного института власти Власть – некая положительная функция от координаты в иерархии и от времени, которая отражает количество властных полномочий реализуемых каждой инстанцией в каждый момент времени Властные полномочия – рамки, установленные законодательством и ограничивающие власть каждой инстанции сверху и снизу

Основные принципы, на которых строится модель Иерархия Высшие инстанцииНизшие инстанции КонституцияГражданское общество Обмен властью между гражданским обществом и иерархией посредством Конституции и перераспределение власти в иерархии. Два механизма перераспределения : близкодействие (власть передается от начальника к прямому подчиненному) и дальнодействие (власть передается от начальника к непрямому подчиненному). Локальный закон сохранения власти - скорость изменения величины власти инстанции определяются потоками власти (перераспределением внутри иерархии) и реакцией системы (взаимодействием с обществом).

Непрерывная модель цепочечной иерархии 0 < x < l – координата в иерархии (0 соответствует высшей инстанции, l – низшей инстанции, считаем что инстанций очень много) p(x,t) – искомая функция распределения власти в иерархии Дифференциальный член в правой части определяет передачу власти по команде (близкодействие) в иерархии. Интегральный член в правой части определяет передачу власти через голову (дальнодействие) в иерархии. Коэффициенты при дифференциальном и интегральном членах трактуются как мера безответственности (сами эти члены работают в сторону сглаживания различий в величине власти в разных инстанциях системы). Свободный член в правой части – реакция системы равная сумме реакции общества и реакции иерархии (как правило свободный член работает в сторону удержания власти в рамках властных полномочий). Выводится из локального закона сохранения власти для дискретного случая и обобщается на непрерывный случай

Постановка задачи Реально существующие иерархии имеют сложную древовидную топологию. Цель – изучить аналогичную модель для произвольной властной структуры и сравнить ее поведение с поведением цепочечной структуры. …… Также необходимо исследовать явления, которые могут описываться с помощью модели древовидной структуры, например наличие кланов в иерархии. Для этого необходимо предложить алгоритм реализации дискретной модели древовидной структуры и создать программный продукт, позволяющий находить распределение власти в произвольной (как по топологии, так и по характеристикам вершин) иерархии.

Формулировка модели В основу модели положено уравнение «баланса власти» в каждой вершине дерева: - изменение искомой величины власти за небольшое время - поток власти приходящий от начальника (1) - поток власти уходящий к i-ому подчиненному (2) - прибавка власти за счет взаимодействия с обществом (3) Записав таким образом все уравнения (и учтя краевые условия – в высшей вершине нет потока сверху, в низшей вершине нет потока вниз), получим систему нелинейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу вершин в дереве, описывающую изменение власти в каждой вершине за небольшое время. (1) (2) Общество (3)

Решение задачи Задача решалась явным методом. Для нахождения решения на следующем шаге по времени бралось уже найденное на предыдущем шаге решение и подставлялось в уравнение баланса для каждой вершины, таким образом находилось изменение власти в каждой точке на каждом шаге и, следовательно, распределение власти на новом шаге. Использование явного метода вполне уместно, так как: 1)в реальных иерархиях (и тем более исследуемых модельных случаях) число вершин сравнительно невелико (порядка нескольких тысяч) и современные компьютеры проводят расчеты быстро 2)Основная техническая трудность при расчетах на очень больших деревьях – нехватка памяти (из-за большого объема информации о каждой вершине), а не падение быстродействия

Описание программного обеспечения Для исследований модели был создан программный продукт, удовлетворяющий следующим требованиям: 1.Программа должна быть проста в использовании, иметь доступный интерфейс. 2.Необходимо наличие удобного в использовании редактора дерева. Должна быть возможность создания произвольной топологии дерева и задания характеристик как для всего дерева в целом, так и для каждой вершины в отдельности. 3.Необходим модуль, который по сконструированному дереву строит и решает систему уравнений. 4.Необходимо визуализировать результаты расчета в виде графика. Желательно иметь возможность наблюдать динамику изменения распределения власти во времени и сравнивать распределение власти в разных ветвях дерева. 5.Желательно наличие возможности вывода некоторой информации о выбранной вершине, слое, в котором она находиться, и ее поддереву.

Описание программного обеспечения

Работа программы, предварительные выводы Для тестирования корректности работы программы был проведен ряд вычислительных экспериментов с «цепочечным» деревом, а результаты сравнивались с аналитическим решением для непрерывной «цепочечной» модели. Приблизительное решение, полученное с помощью программы, совпало с аналитическим решением, что позволяет быть уверенным в корректности работы программного продукта. Вычислительные эксперименты позволили сделать несколько важных выводов относительно модели «древовидной» властной структуры. Во-первых, было показано, что даже в случае регулярной топологии иерархии (т.е. древо симметрично, характеристики вершин всюду одинаковы), решение задачи для древа качественно отличается от решения задачи для цепочки. Во-вторых, было показано, что распределение власти сильно зависит от топологии иерархии. Удаление одной или нескольких вершин или поддерева может сильно качественно изменить распределение власти в некоторой ветви дерева.

Описание дискретной 5-ти точечной модели (простейшее древо) Для исследования клановых отношений рассмотрим пятиточечное дерево, представляющее собой две трехточечные ветви с общей корневой вершиной: Будем считать, что правое поддерево является кланом. Клан пытается доступными ему способами максимизировать отношение своей суммарной власти к суммарной власти левого поддерева или к власти иерарха. Иерарх пытается доступными ему способами парировать такие тенденции. Левое поддерево пассивно. Рассмотрим две стратегии клана для увеличения своей относительной власти, сравним их и покажем как, пользуясь теми же методами эти стратегии парировать.

Клан может добиваться своей цели двумя способами: 1) Увеличение суммарной реакции системы путем увеличения своего властолюбия - ось ординат - ось абсцисс При этом увеличивается власть по всему дереву, но клан получает больше всего. При «реальных» значениях властолюбия максимальный выигрыш клана (при всевозможных значениях прочих параметров) составляет 40-50%. Иерарх при этом не может никакими средствами парировать увеличение власти клана относительно левого поддерева. Он может лишь парировать увеличение власти клана относительно своей собственной путем изменения своего властолюбия, но должен для этого затратить более чем в 2 раза больше усилий чем каждый член клана., где- степень властолюбия инстанции

2) Изменение коэффициента безответственности между вершинами 12 и 22 - Как видим, власть одного из членов клана уменьшается, другого – увеличивается, тем не менее, суммарная власть клана и относительная власть клана увеличивается. При любых изменениях коэффициента безответственности (при всевозможных значениях прочих параметров) максимальный выигрыш клана не превышает 10% (чаще всего составляет 1-6%). Для парирования этой тенденции иерарху достаточно изменять коэффициент безответственности по отношению к клану (или по отношению к не-клану, но в обратную сторону) пропорционально изменению этого коэффициента внутри клана. Это исследование показало, что для клана наилучшей является первая стратегия. Графики показывают последствия изменения этого коэффициента (обычное его значение, не изменяемое для остальной части древа, равно 0.1)

Множество вершин кланаПассивные вершины Серия вычислительных экспериментов, сделанных на большем числе точек с применением программных средств, подтвердила утверждение о наилучшей стратегии клана, и кроме того показала, что еще лучшей стратегией является комбинация двух вышеприведенных.

Результаты 1)Предложен простой алгоритм численной реализации модели древовидной властной иерархии. 2)Создано программное средство для компьютерного моделирования произвольной (как по топологии так и по характеристикам вершин) властной иерархии. 3)Проведены тестовые расчеты, свидетельствующие об адекватности алгоритма и правильности работы программы. 4)Проведены аналитические исследования и серии вычислительных экспериментов с целью моделирования клановых отношений в древовидной иерархии. Изучены последствия различных стратегий достижения кланами своих целей и способы парирования клановых тенденций во властных структурах. 5)Тем самым, показано, что математическое моделирование древовидных властных структур позволяет изучать ряд актуальных явлений существующих в реальных властных иерархиях.

Литература 1.А.П. Михайлов, «Математическое моделирование динамики распределения власти в иерархических структурах», статья, «Математическое моделирование», 1994, т. 6, N 6, стр А.А. Самарский, А.П. Михайлов «Математическое моделирование», Москва, Физматлит, 2001, стр , А.П. Михайлов, А.В. Савельев «Обоснование макромоделей властных иерархий через их микроописание», статья, «Математическое моделирование», 2001, т.13, N. 4, стр А.В. Чернецова, «Актуальные проблемы социологической науки и социологической практики», статья, сб. научных докладов «Сорокинские чтения», т.3, под ред. Академика РАН А.А. Самарского, проф д.ф.н, В.И. Добреньковой, проф. д.ф.-м.н. А.П. Михайлова. 5.А.В. Черных, «Программная реализация математических моделей древовидных властных структур», статья, «Математическое моделирование», 2005, т. 7.