Täiendfüüsika YFR0080 Дополнительный курс физики YFR0080 Tallinna Tehnikaülikool Vladislav-Veniamin Pustõnski Tel:

Физика как наука Физика – наука, изучающая закономерности окружающего мира, его структуру и эволюцию. Законы физики формулируются в математической форме, математика предоставляет аппарат, с помощью которого формулируются физические закономерности. Экспериментальная физика исследует собственно природные закономерности, часто в специально выбранных условиях (физический эксперимент); эти закономерности выражаются в численной форме. Теоретическая физика ставит в соответствие природным закономерностям (определенным экспериментально) математические модели. Изучение этих моделей (физических теорий) должно иметь предсказательную силу: поведение модели должно описывать не только те эксперименты,

на основе которых она была создана, но и другие, еще не поставленные эксперименты. Физическая теория применима к некоторому кругу явлений и не обязана адекватно описывать явления за своими пределами применимости. Более общие теории способны описать более широкий круг явлений, но они могут быть достаточно сложны; поэтому менее общие теории часто применяются там, где их точности достаточно. Зависимость пути S от времени T. Эксперимент (синие точки) и теория (фиолетовая линия, представляет функцию S = aT 2 /2, где a – ускорение)

Пример: общая теория относительности описывает более широкий круг явлений в сравнении с классической механикой, но классическая механика значительно проще и потому используется везде, где нет нужды в высокой точности.

Измерение в физике Получаемые в опыте физические величины имеют некоторое численное выражение, получаемое в результате измерения. Измерение – определение отношения измеряемой величины к другой величине, принятой за единицу (единицу измерения). Измерение проводится с помощью измерительных приборов. Единицы измерения определяются с помощью эталонных величин (эталонов). Исторически существовало и до сих пор существует множество эталонов, например, метр, килограмм, ампер и т. д. Любое измерение имеет определенную точность, характеризуемую погрешностью измерения. В некоторых случаях физическая величина оценивается по условным шкалам, например, шкала твердости Мооса.

Вопросами, связанными с методами и техникой измерения, занимается метрология. Существуют различные наборы эталонов. Совокупность эталонов определяет систему единиц измерения. Сегодня используется несколько систем единиц, основной является международная система единиц СИ. Помимо нее, используется также система СГС и другие. В некоторых разделах физики используются, из соображения удобства, особые системы единиц (например, атомная система единиц). Количество основных единиц измерения в разных системах единиц различно, оно определяется соображениями удобства. Прежде эталононы воспроизводились с помощью легкодоступных предметов, например, длины руки или ноги. Впоследствии возникла потребность в более точных эталонах; тогда в их качестве стали использовать отличавшиеся постоянством величины. Например, в качестве единицы длины

использовалась доля длины Парижского меридиана. Сегодня в роли эталонов все больше используются прецизионные атомные единицы. Например, сегодня метр в СИ определен через секунду скорость света в вакууме, а секунда – через период определенного типа излучения атома цезия-133. Система единиц СИ. В СИ имеется 7 основных единиц: метр– единица длины; секунда– единица времени; килограмм– единица массы; моль– единица количества вещества; ампер– единица силы тока; кельвин– единица термодинамической температуры; кандела– единица силы света.

К этим единицам примыкают единицы измерения угла радиан и телесного угла стерадиан. Используются также кратные и дольные единицы, соответствующие произведению единицы на 10 в некоторой степени: 10 1 – дека – деци – гекто – санти – кило – милли – мега – микро – гига – нано – гига – пико – пета – фемто-

Название килограмм уже содержит приставку кило-, поэтому с приставками используется грамм: миллиграмм и т. п. Помимо основных единиц, используются производные единицы. Например, скорость выражается в единицах длины, отнесенной к единице времени: [v] = м/с. Многие производные единицы имеют свои названия. Например, единица силы [F] = кг·м/с 2 = Н. Единицы, названные в честь людей, пишутся с маленькой буквы, будучи написанными полностью, но их сокращения начинаются с большой буквы, например 5 ватт = 5 Вт. Выражение физической величины через единицы измерения называется размерностью. Так, размерность длины – 1 м, размерность силы – 1 Н. Некоторые величины совершенно разной природы могут иметь

одинаковую размерность (в данной системе единиц), например, размерность работы и момента силы одинакова: 1 Н·м. Существуют безразмерные величины, например, коэффициент трения скольжения. Используются также внесистемные величины, например, 1 час = 3600 с, 1 дюйм = 2,54 см. Анализ размерности. Не имеет смысла сравнивать длину с массой, время с силой. 2 яблока не могут быть больше 2 секунд. То же самое верно для любых физических величин. Отсюда следует, что складываться, вычитаться и сравниваться могут только величины одинаковой размерности. Т. е. только такие величины могут стоять по разные стороны знаков +, -, =,. Проверка размерности получаемых в задаче величин – простой способ нахождения ошибок. Если полученная из решения размерность не совпадает с действительной размерностью величины (например, для длины получен 5 м/с),

то решение содержит ошибку. С другой стороны, правильность полученно размерности не гарантирует верности решения (поскольку могут быть ошибки в безразмерных коэффициентах или случайное совпадение размерности). Иногда анализ размерности позволяет найти общий вид зависимости одной физической величины от других. Например, известно, что период колебаний маятника T зависит от его длины L и ускорения свободного падения g. Период измеряется в с, длина – в м, g – в м/с 2. Из м и м/с 2 составить с можно единственным способом: с = [м/(м/с 2 )] 1/2. Можно заключить, что T ~ (L/g) 1/2. Безразмерный коэффициент пропорциональности (для математического маятника он равен 2 ) таким образом получить невозможно.

Скаляры и векторы Скалярными называются величины, имеющие величину, но не имеющие направления. Скаляные величины определяются одним числом. Примеры: масса, энергия, заряд и т. д. Некоторые скалярные величины могут быть положительными и отрицательными (заряд, работа и др.), другие – только положительными (масса, кинетическая энергия). Векторными называются величины, имеющие величину и направление. Векторные величины определяются (в 3-мерном пространстве) 3 величинами (в 2-мерном пространстве 2 величинами, в 1-мерном – одной). Примеры: скорость, сила, напряженность электрического поля и т. д. Векторная величина не может быть положительной или отрицательной. Вектор обозначается жирным шрифтом или стрелкой: A,

Модуль вектора. Модулем вектора называется его длина, обозначается A = |A|. Сложение векторов. Суммой векторов a и b называтется вектор c = a + b, который можно найти по правилу параллелограмма. Другой способ: перенести один вектор в конец другого и соединить начало первого с концом второго. Этим способом можно найти сумму любого числа векторов. Верно, что a + b = b + a. Вычитание векторов. Разностью векторов c и b называтется вектор a = c – b. Его можно построить, пользуясь тем условием, что для вектора a должно выполняться равенство a + b = с. Следуя рисунку, вектор a можно построить, проведя вектор из конца вычитаемого вектора (c) к концу уменьшаемого (b). Единичный вектор. Единичным вектором e называется вектор, модуль которого равен 1: |e| = 1. Единичный вектор вдоль

выбранной оси называется ортом этой оси. Орты осей декартовых координат x, y, z обозначаются i, j, k. Умножение вектора на скаляр. Если вектор a умножить на скаляр, то результатом будет вектор А = a, модуль (длина) которого в | | раз больше модуля вектора А; если > 0, то вектор A сонаправлен вектору a, если < 0 – противонаправлен. Проекция вектора на вектор. Проекция вектора u на вектор v называтется вектор u ||, параллельный вектору v и равный по длине u = u·cos, где – угол между двумя векторами. Направление проекции зависит от угла. Единичный вектор. Всякий вектор A можно представить как произведение его модуля A на единичный вектор e A, сонаправленный вектору А: A = Ae ||, e || = 1.

Разложение вектора по проекциям на координатные оси. Всякий вектор A можно представить в виде суммы его проекций на декартовы координатные оси x, y и z соответственно: A = A x i + A y j + A z k.

Основы кинематики Кинематика – раздел механики, изучающий движение вне связи с причинами, его вызывающими. Материальной точкой – тело, размером которого можно пренебречь в данной задаче (размер много меньше расстояний до других тел, имеющихся в задаче). Траектория – воображаемая линия в пространстве, описываемая точкой при ее движении. Путь – длина отрезка траектории, пройденного телом (обозначается S или S). Скаляр. [S] = м. Перемещение – вектор, направленный из точки начала движения в точку окончания движения (обозначается r). Будучи вектором, указывает направление перемещения. [r] = м.

Средняя скорость – отношение пройденного пути ко времени его прохождения. Указывает среднюю быстроту перемещения. [V средн ] = м/с. Мгновенная скорость – вектор, равный производной перемещения по времени. Характеризует быстроту и направление перемещения в данный момент времени. [V] = м/с. Равномерное прямолинейное движение – движение по прямой с постоянной скоростью. Если равномерное прямолинейное движение происходит вдоль прямой x, то текущая координата тела определяется формулой (x и x 0 – текущая и начальная координаты, t и t 0 – текущий и начальный моменты времени, V – скорость)

Среднее ускорение – отношение изменения модуля скорости ко времени его изменения. Указывает среднюю быстроту изменения скорости. [a средн ] = м/с 2. Мгновенное ускорение – вектор, равный производной скорости по времени. Характеризует быстроту и направление изменения скорости в данный момент времени. [a] = м/с 2. Равноускоренное приямлинейное движение – движение по прямой с постоянным ускорением, сонаправленным вектору скорости. Равнозамедленное прямолинейное движение – частный случай равноускоренного прямолинейного движения, когда направление ускорения противоположно направлению скорости.

Если равноускоренное/равнозамедленное прямолинейное движение происходит вдоль прямой x, то текущая скорость тела определяется формулой (V и V 0 – текущая и начальная скорости, a – ускорение, положительное или отрицательное, остальные обозначения прежние). Координата x при этом определяется формулой (обозначения прежние).

Движение в поле тяжести Земли На все тела в поле тяжести Земли действует сила, сообщающая им ускорение, направленное к центру Земли. Это ускорение называется ускорением свободного падения. Если тело находится на небольшой высоте над поверхностью (много меньшей радиуса Земли R З 6400 км), то поле тяжести можно считать плоским (т. е. пренебрегать шарообразностью Земли). Если в первом приближении также пренебречь вращением Земли, то ускорение свободного падения можно считать одинаковым для всех тел и равным около g 9,81 м/с 2. Благодаря вращению Земли эта величина на экваторе немного меньше, чем на полюсе (примерно на 0,03 м/с 2 ). Таким образом, в отсутствие прочих сил тело, свободно движущееся в поле тяжести Земли, движется с направленным вниз ускорением g. Горизонтальная скорость тела не изменяется,

поскольку горизонтальных сил и ускорений нет. Если тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью V 0, ее можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющую. Со временем горизонтальная скорость не меняется, вертикальная меняется по закону (направление вверх принято за положительное, начальный момент времени принят равным 0). Следовательно, горизонтальная и вертикальная координаты изменяются по законам Траектория тела при этом – парабола с направленными вниз ветвями. Максимальная высота подъема тела определяется тем условием, что в точке наивысшего подъема вертикальная скорость тела равна 0 (при V 0v > 0):

Вращательное движение Вектор угла поворота – вектор, направленный вдоль оси поворота, равный по модулю величине угла поворота (измеряемого в радианах) и направленный согласно правилу правого винта (буравчика): если вращать правый винт в направлении поворота, винт перемещается в направлении вектора угла поворота. Средняя скорость вращения – отношение угла поворота ко времени поворота. Указывает среднюю быстроту вращения. [ средн ] = рад/с. Мгновенная скорость вращения (или угловая скорость вращения) – вектор, равный производной вектора угла поворота по времени. Характеризует быстроту и направление вращения в данный момент времени. [ ] = рад/с.

Равномерное вращение – вращение вокруг одной оси с постоянной скоростью. При равномерном вращении текущий угол поворота определяется формулой ( и 0 – текущая и начальная координаты, t и t 0 – текущий и начальный моменты времени, – скорость.) Полный оборот вокруг оси равен полн = 2. Время совершения полного оборота T называется периодом: Обратная периоду величина называется частотой, она равна числу оборотов, совершенных в едиинцу времени (за 1 секунду): Среднее угловое ускорение – отношение изменения модуля угловой скорости ко времени его изменения.

Указывает среднюю быстроту изменения угловой скорости. [ средн ] = рад/с 2. Мгновенное угловое ускорение – вектор, равный производной угловой скорости по времени. Характеризует быстроту и направление изменения угловой скорости в данный момент времени. [ ] = рад/с 2. Равноускоренное вращение – вращение вокруг одной оси с постоянным ускорением. Равнозамедленное вращение – частный случай равноускоренного вращения, когда направление ускорения противоположно направлению угловой скорости.

При равноускоренном/равнозамедленном вращении текущая скорость тела определяется формулой ( и 0 – текущая и начальная скорости, – ускорение, положительное или отрицательное, остальные обозначения прежние). Угол при этом определяется формулой (обозначения прежние). Точка, обращающаяся вокруг оси на расстоянии R с угловой скоростью, имеет линейную скорость (направленную по касательной к описываемой точкой окружности), равную Такая точка постоянно изменяет направление вектора скорости своего движения (даже если вращение равномерное и, таким образом, модуль

вектора не меняется). Следовательно, точка движется с ускорением, которое называется центростремительным. Вектор этого ускорения направлен к оси вращения, его модуль равен Если вращение точки равноускорено, то дополнительно к центростремительному ускорению на точку действует тангенциальное ускорение, направленное вдоль вектора скорости, равное Так как центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу, то модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

Основные законы динамики Динамика – раздел механики, изучающий движение тел в связи с причинами, его вызывающими. Основой динамики являются три закона Ньютона. Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, где свободное тело (т. е. тело, на которое не действуют другие тела) движется равномерно прямолинейно или покоится. Такие системы отсчета называются инерциальными (инерциальные системы отсчета, ИСО). Важно подчеркнуть, что 1-й закон Ньютона декларирует существование ИСО, а не описывает, как двигаются свободные тела в них (покоятся или движутся равномерно прямолинейно). Можно показать, что существует бесконечное множество ИСО, любая из них движется равномерно прямолинейно относительно других.

Будем обозначать координаты, скорости и ускорения в первой ИСО x, v, a, а во второй ИСО – x, v, a. Пусть вторая ИСО движется вдоль оси абсцисс первой ИСО со ск x, v, a оростью V. Тогда Преобразования Галилея устанавливают связь координат, скоростей и ускорений в двух ИСО, одна из которых движется со скоростью V относительно другой. Механическая сила – векторная величина, характеризующая взаимодействие тел. Модуль силы указывает величину этого взаимодействия, направление указывает, в какую сторону двигалось бы тело под воздействием одной этой силы (при отсутствии других сил). Если на тело действует несколько сил, то их действие равнозначно действию равнодействующей силы, равной векторной сумме этих сил:

Второй закон Ньютона: ускорение тела, умноженное на его массу, равно векторной сумме приложенных к нему сил. Масса тела – мера его инертности, ускорение, приобретаемое телом, обратно пропорционально его массе: чем больше масса тела, тем меньше его ускорение, приобретаемое под воздействием заданной силы. Масса измеряется в килограммах: [m] = килограмм (кг). Единица измерения силы: [F] = кг·м/с 2 = Н (ньютон). Третий закон Ньютона: два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны: В общем случае, если на тело конечных размеров действует некоторая сила F, то тело не только движется с ускорением, но и вращается. Однако одна из его точек движется по закону M·a = F, где M – полная масса тела. Эта точка называется центром масс.

Сила тяжести, вес Сила тяжести – сила, действующая со стороны Земли (или другой планеты) на тело, находящееся в ее поле тяжести. Поскольку Земля сообщает всем телам ускорение, приблизительно равное g 9,81 м/с 2 (в приближении плоского поля тяжести), то на тело массой m со стороны Земли действует направленная вниз сила, равная

Центр масс Для любой системы материальных точек, а также для любого сплошного тела всегда можно найти точку, ускорение которой определяется формулой, где M – полная масса системы, сумма справа – векторная сумма всех сил, приложенных ко всем материальным точкам/ко всему телу. Такая точка называется центром масс, или, иначе, центром инерции (она совпадает с центром тяжести в случае однородного поля тяжести). Для системы материальных точек радиус-вектор r центра масс можно найти через радиус-векторы r i отдельных точек как Центр масс не обязан находится внутри самого тела, это некоторая точка в пространстве. Например, центр масс бублика находися в пустом пространстве в его центре.

Движение под воздействием сил При решении задач динамики «на силы», то есть задач, где по заданным силам/ускорениям/положениям нужно найти другие силы/ускорения/положения разумно следовать описанному ниже шаблону, последовательно выполняя шаг за шагом (поначалу, до приобретения опыта решения задач, не пропуская ни один из шагов). 1.Сделать рисунок. 2.Найти все тела в системе, движения/положения которых требуется определить. 3.Для каждого из тел найти все другие тела, воздействующе на него. Сколько тел воздействует на данное тело – столько к нему приложено сил (кроме случаев, когда со стороны одного тела действует несколько сил, например, сила упругости и электрическая сила).

4.Нарисовать все силы, приложенные к каждому из тел. 5.Написать для каждого из тел уравнение 2-го закона Ньютона: векторная сумма всех приложенных к нему сил равна произведению его массы на его ускорение. Уравнение выписывается в векторном виде! 6.Выбрать удобную систему координат (обычно такую, чтобы большинство сил было параллельно или перпендикулярно ее осям). Вообще выбор системы координат произволен. 7.Спроецировать все выписанные уравнения 2-го закона Ньютона на координатные оси. Удостовериться, что число уравнений равно числу неизвестных. 8.Решить полученную систему уравнений.

Равновесие под воздействием сил Система находится в равновесии, если ее тела сохраняют состояние покоя неограниченное время. Раздел динамики, изучающий условия равновесия системы тел, находящейся под воздействием сил, называется статикой. Уравнения статики отличаются от уравнений динамики тем, что ускорения всех тел равны нулю, соответственно уравнения 2-го закона Ньютона упрощаются: сумма приложенных к телу сил равна нулю. Если в системе тела не находятся в состоянии покоя, однако движутся без ускорения (то есть равномерно прямолинейно), то такая система также описывается уравнениями статики. Задачи статики решаются точно так же, как задачи динамики (см. предыдущий раздел) с той разницей, что все ускорения приравниваются к нулю.

Импульс Импульс материальной точки – вектор, сонаправленный ее скорости и с модулем, равным произведению массы точки на модуль ее скорости: p = mv. [p]=кг·м/с. Импульс системы материальных точек – вектор, равный сумме импульсов входящих в систему материальных точек: Импульс сплошного тела – вектор, равный произведению скорости центра масс тела V на массу тела M: P = mV. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы есть величина постоянная. Из закона сохранения импульса тела следует, что центр масс движется с ускорением, определяемым суммой приложенных к системе сил и ее полной массой,

Механическая работа Пусть на некоторое тело действует сила F, и пусть это тело проходит прямой отрезок r. Механическая работа – скаляр (число), определяемое скалярным произведеием действующей на тело силы и пройденного телом вектором перемещения: (здесь – угол между вектором силы и вектором перемещения). Очевидно, что работа равна нулю, если угол между силой и перемещением прямой, т. е. если сила перпендикулярна перемещению. Если угол острый, то работа положительна, если тупой – отрицательна. Положительная работа означает, что работа совершается над телом; отрицательная работа значит, что само тело совершает работу над телами, со стороны которых на него действуют силы. Работа максимальна, когда сила параллельна перемещению, при этом A = F r.

Если на тело действует несколько сил, то их полная работа определяется той же формулой, однако под F в ней следует понимать тогда векторную сумму всех с 2 л, приложенных к телу. Единицы измерения: [A]= кг·м 2 /с 2 = 1 Дж (джоуль). Мощность – отношение работы A, совершенной за промежуток времени t, к этому промежутку: N = A/ t. Таким образом, мощность – это, в некотором смысле, скорость совершения работы. Мощность тем выше, чем больше работы совершается за данное время (или, иными словами, чем за более короткий промежуток времени совершается работа). Единицы измерения: [N]= кг·м 2 /с 3 = Дж/с = 1 Вт (ватт).

В задачах «на импульс» обычно какое-либо тело (например, граната) разрывается на части, либо какие-то тела объединяются в одно (снаряд попадает в платформу). При решении таких задач можно следовать такому алгоритму: 1.Сделать рисунок «в начале» и «в конце». 2.Найти импульсы всех тел «в начале» и векторно сложить их, получив полный начальный импульс. 3.Найти импульсы всех тел «в конце» и векторно сложить их, получив полный конечный импульс. 4.Векторно приравнять конечный импульс к начальному. 5.Выбрать удобную систему координат. 6.Спроецировать уравнение закона сохранения импульса на координатные оси. Удостовериться, что число уравнений равно числу неизвестных. 7.Решить полученную систему уравнений.

Кинетическая энергия Энергия – мера способности тела совершать механическую работу. Тело может совершать работу благодаря наличию у него скорости и благодаря его взаимодействию с другими телами. Кинетическая энергия – мера способности тела совершать работу благодаря имеющейся у него скорости. Тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией, определяемой формулой Если в системе имеется несколько тел, то полная кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий отдельных тел, составляющих систему. Для сплошного тела массой M кинетическая энергия находится по формуле (V – скорость центра масс тела). Единицы: [T]= кг·м 2 /с 2 = 1 Дж.

Потенциальное поле Если в некоторой области пространства на тело в каждой точке действуют какие-то силы, то говорят, что тело находится в поле сил. Если при перемещении тела из некоторой точки 1 в другую точку 2 силами поля совершается работа, которая зависит только от положения точек 1 и 2, но не зависит от траектории перемещения тела между этими двумя точками, то такое поле назвается потенциальным, или консервативным; силы этого поля также называются потенциальными, или консервативными. Можно показать, что при перемещении по замкнутой траектории в потенциальном поле полная механическая работа сил поля равна нулю. Потенциальными полями являются, например, поле сил тяжести, электростатическое поле, поле сил упругой пружины или резинового жгута. Потенциальная энергия – мера способности тела совершать работу благодаря нахождению в потенциальном поле сил.

Потенциальная энергия тела в данной точке поля равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из некоторой заранее договоренной точки поля (в которой потенциальная энергия принята равной нулю) в данную точку. Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до некоторой (аддитивной) постоянной: произвол в ее определении связан со свободой выбора точки поля, где потенциальная энергия считаеся равной нулю (так называемый нулевой уровень потенциальной энергии). Этот произвол не имеет физического значения, поскольку во всех задачах физики мы имеем дело не с самим значением потенциальной энергии, а с разностями потенциальных энергий; а при вычислении разности аддитивная постоянная исчезает. Если в точке 1 тело имеет потенциальную энергию U 1, а в точке 2 оно имеет потенциальную энергию U 2, то при перемещении тела из точки 1 в точку 2 силы поля совершают над телом работу U 1 – U 2. Единицы измерения: [U]= кг·м 2 /с 2 = 1 Дж.

Закон сохранения энергии Полная энергия тела – сумма его кинетической и потенциальной энергии: E = T + U. Полная энергия системы – сумма полных энергий всех тел в системе: Закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы есть величина постоянная. Из закона сохранения энергии следует, что при движении тела в потенциальном поле его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную или наоборот, так что полная сумма энергий остается неизменной. Совершаемая над телом работа (положительная) идет на увеличение его потенциальной и/или кинетической энергии; работа, которую совершает само тело над другими телами, производится за счет его кинетической и/или потенциальной энергии.

Основы молекулярной физики Все тела состоят из молекул, молекулы состоят из атомов. Имеется 4 агрегатных состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное, плазма. А) В газе молекулы могут достаточно свободно перемещаться и занимать все доступное им пространство. Б) В жидкости молекулы имеют ограниченную свободу – они расположены достаточно плотно и сильно взаимодействуют друг с другом, но при этом могут перемещаться и меняться местами. В) В твердом теле молекулы занимают фиксированные положения и практически не могут его покинуть, но лишь колеблются около этого положения (образуют кристаллическую решетку. Г) Плазма представляет собой сильно ионизованное вещество, где отдельные атомы «разбиты» на ионы и электроны.

Физические свойства вещества изучаются рядом достаточно сложных теорий: статистическая физика, квантовая механика, теория твердого тела. Мы ограничимся рассмотрением самых простых моделей, в основном ограничившись упрощенной физической моделью газа, а именно идеального газа. Идеальный газ – газ, молекулы которого: не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, но лишь мгновенно соударяются и снова разлетаются; имеют пренебрежимо малый размер в сравнении с предоставленным им пространством. Идеальный газ можно изучать с помощью молекулярно- кинетической теории – упрощенной теории, рассматривающей молекулы газа как классические частицы и игнорирующей их микроскопический размер (который, вообще говоря, требует использования квантовой механики). Однако даже такое простое рассмотрение позволяет получить ряд важных результатов.

Количество вещества Атомная единица массы (а. е. м.) – масса, равная 1/12 массы атома углерода-12 ( 12 С). Атомный/молекулярный вес вещества – отношение массы его атома/молекулы к массе молекулы 12 С. Таким образом, атомный вес 12 С равен 12; атомный вес атома кислорода равен 16; молекулярный вес молекулы кислорода O 2 равен 32. Постоянная Авогадро – число, равное количеству атомов в 0,12 кг 12 С. N a 6,02· Количество вещества – отношение количества структурных единиц вещества к числу Авогадро. Выражается в молях. Под структурными единицами понимаются не только молекулы и атомы, но и ионы, свободные электроны и т. п. Молярная масса вещества – масса одного моля вещества. Очевидно, что для углерода-12 = 0,012 кг/моль.

Если известна масса вещества M и его молярная масса, то количество вещества (в молях) можно найти как = M/. Количество вещества можно найти также через количество молекул N: = N/N a.

Законы идеального газа Идеальный газ характеризуется давлением, температурой и объемом. Давление – отношение силы F к площади перпендикулярной площадки S, на которую она действует: P = F/S. Единицы измерения: [P]= H/м 2 = 1 Па. Температура – мера нагретости тела. Измеряется в Кельвинах (К). Шкала Кельвина (так называемая термодинамическая шкала температур) отличается от шкалы Цельсия тем, что ее 0 соответствует –273,15 ºC. 1 К = 1 ºC. Таким образом, температура в шкале Кельвина T связана с температурой в шкале Цельсия tº соотношением Закон Менделеева-Клайперона: давление, объем и температура молей идеального газа связаны формулой Это соотношение называется также уравнением состояния

идеального газа. В этом уравнении R = 8,31 Дж/(К·моль) – универсальная газовая постоянная. Если обозначить N – число молекул в данной массе газа, = M/V – плотность молекул и n = N/V – концентрацию, а также воспользоваться с, то можно получить уравнение состояния в альтернативных видах: Здесь k = R/N a = 1,38 · – так называемая постоянная Больцмана. Из уравнения Менделеева- Клайперона в частных случаях получаются законы Бойля- Мариотта, Шарля и Гей-Люссака (изотермический, изохорический, изобарический процессы):

Первое начало термодинамики Внутренняя энергия газа – энергия, которой газ обладает благодаря относительному движению и взаимодействию своих молекул. Энергия газа как целого (кинетическая, потенциальная) не вносят в нее вклада. Единицы: [U] = 1 Дж. В случае идеального газа энергия взаимодействия молекул отсутствует (т. к. молекулы не взаимодействуют на расстоянии), имеется только кинетическая энергия их движения. Первое начало термодинамики – соотношение между сообщаемым газу количеством теплоты Q, изменением его вутренней энергии U и совершаемой газом работой A: Q = U + A. Таким образом, первое начало термодинамики утверждает, что сообщаемая газу теплота идет на изменение его внутренней энергии и совершение газом работы (над внешними телами).

Работа идеального газа Изохорический процесс: A = 0. Если объем не меняется, то работа не совершается. Изобарический процесс: если объем меняется в пределах [V 1 V 2 ], то при постоянном давлении P = const работа, совершаемая газом, есть A = P(V 2 –V 1 ). Изотермический процесс: если объем меняется в пределах [V 1 V 2 ], то при постоянной температуре T = const работа, совершаемая молей газа, есть A = RT·ln(V 2 /V 1 ). В других процессах A может определяться другими формулами. Для бесконечно малых изменений объема dA = PdV, и первое начало термодинамики может быть записано как Q = dU + PdV ( указывает на то, что Q – не полный дифференциал).

Теплоемкость Теплоемкость – отношение сообщенного газу количества теплоты Q к изменению его температуры при этом процессе dT: C = Q/dT. В разных процессах изменение температуры при сообщении одного и того же количества теплоты различно, поэтому в разных процессах теплоемкость различна. Например, при изотермическом процессе dT = 0, поэтому C бесконечна. Теплоемкость разных количеств газа различна. Обычно оперируют молярными теплоемкостями (теплоемкость 1 моля) и удельными теплоемкостями (теплоемкость 1 килограмма). Если теплоемкость некоторой системы (массой M) есть C, то ее удельная теплоемкость есть C/M, молярная теплоемкость c = C/. В физике очень важны теплоемкость при постоянном объеме c v и теплоемкость при постоянном давлении c p. Число степеней свободы молекулы – целое число i, которое

показывает, сколько независимых координат нужно для определения ее положения в пространстве. Зависит от того, может ли вращаться и колебаться молекула. Для одноатомных молекул идеального газа i = 3, для двухатомных i = 5, для трехатомных и более – i = 6. Для реальных газов с двухатомными молекулами и более число степеней свободы в некоторой степени зависит от температуры и может быть (в среднем) дробным. Можно показать, что c v = Ri/2, c p = R(i+2)/2. Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой U = c v T.

Удельная теплота сгорания топлива Удельная теплота сгорания топлива – величина, показывающая, какое количество теплоты (часто выражается в МДж) выделяется при сгорании 1 кг (реже – 1 кубометра) данного топлива. Единицы: [H] = 1 Дж/кг. Примеры (цифры округлены): Тротил –4,2 МДж/кг Дрова –10 Каменный уголь –22 Спирт–25 Нефть, мазут, керосин–40 Метан–50

Удельная теплота плавления Удельная теплота плавления (также: удельная теплота кристаллизации) – величина, показывающая, какое количество теплоты (часто выражается в кДж) требуется для изотермического плавления 1 кг (а также 1 моля) вещества. В случае кристаллизации этого вещества из жидкой фазы выделяется такое же количество теплоты Единицы: [ ] = 1 Дж/кг и 1 Дж/моль. Примеры (цифры округлены): Лед –330 кДж/кг Железо–280 Медь –210 Золото–66 Свинец–25

Удельная теплота испарения Удельная теплота испарения – величина, показывающая, какое количество теплоты (часто выражается в кДж) требуется для изотермического плавления 1 кг (а также 1 моля) вещества. В случае конденсации этого вещества из газообразной фазы выделяется такое же количество теплоты Единицы: [ ] = 1 Дж/кг и 1 Дж/моль. Примеры (цифры округлены): Бутан –320 кДж/кг Водород–450 Этанол–840 Метанол–1100 Вода–2260

Баромтрическая формула Давление атмосферы падает с высотой. Если считать в первом приближении, что температура атмосферы неизменна, а ускорение силы тяжести не меняется с высотой h, то давление можно считать изменяющимся по закону P(h) = P 0 exp(- gh/RT), где P 0 – давление на уровне моря, 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха, T – температура воздуха, g 9,81 кг·м/с 2 – ускорение свободного падения. Можно написать также P(h) = P 0 exp(-h/H), где H = RT/ g 8,31·273/(0,029·9,81) 8000 м – характеристическая высота атмосферы. На этой высоте давление падает в e 2,72 раза по сравнению с уровнем моря.

Распределение молекул по скоростям Все молекулы в газе движутся с разными скоростями и в разных направлениях. Однако молекул, имеющих очень маленькие и очень большие скорости, мало. Значительная часть молекул имеет скорости, близкие к средним. Среднеквадратическая и средняя скорость молекул определяются формулами (угловые скобки означают средние значения).

КПД теплового двигателя Любой тепловой двигатель получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q 1, отдает холодильнику количество теплоты Q 2, а их разность преобразует в работу: A = Q 1 -Q 2. Отношение полученной в результате работы к полученному количеству теплоты Q 1 называется коэффициентом полезного действия (КПД): = A/Q 1 = 1-Q 2 /Q 1. Ни один тепловой двигатель не может работать, не отдавая холодильнику некоторого количества теплоты (этим было бы нарушено т. н. второе начало термодинамики), поэтому КПД всегда меньше единицы: < 1. Обычно КПД выражают в %, так что < 100 %. Цикл Карно – цикл с наибольшим КПД, осуществляемый между данным нагревателем и холодильником. Это обратимый (равновесный) цикл – цикл, который можно провести в обратном

направлении без изменения в окружающих телах. Для машины, работающей по циклу Карно, КПД определяется формулой = 1-T 2 /T 1, где T 1 и T 2 – температуры нагревателя и холодильника соответственно.

Электрическое и магнитное взаимодействия В природе существуют электрические заряды и их носители. Существуют два вида электрических зарядов, положительный и отрицательный. Электрический заряд неуничтожим, алгебраическая сумма зарядов в замкнутой системе постоянна (закон сохранения электрических зарядов). Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются. Взаимодействие между зарядами осуществляется посредством электрического поля. Электрическое взаимодейтствие в вакууме распространяется со скоростью света c 300 тыс. км/с. Существует элементарный заряд – минимальный заряд, существующий в свободном виде; элементарный заряд неделим (в квантовой хромодинамике рассматриваются заряды, кратные 1/3 элементарного, но они всегда связаны внутри элементарных частиц). Носителями элементарного заряда являются некоторые

элементарные частицы. Протон несет положительный элементарный заряд, электрон – отрицательный. В системе СИ элементарный заряд равен e 1,62· кулонов. Единица элекртического заряда – кулон – устанавливается с помощью магнитных взаимодействий. Помимо электрического, существует магнитное взаимодействие. Магнитное поле действует на электрические заряды. В электродинамике показывается, что магнитное и электрическое поле суть две формы единого электромагнитного взаимодействия, которое по-разному проявляет себя для наблюдателей, движущихся с разными скоростями. Одна и та же электромагнитная сила в разных системах отсчета может рассматриваться как чисто электрическая, чисто магнитная или состоящая из электрической и магнитной.

Закон Кулона. Напряженность Два неподвижных электрических заряда величиной q 1 и q 2, находящиеся на расстоянии r 12 друг взаимодействуют между собой с силой, которая в системе СИ определяется формулой – закон Кулона Здесь 0 8,85· вольт/метр – электрическая постоянная. Ее величина определяется выбором единиц измерения. Сила взаимодействия зарядов направлена вдоль прямой, соединяющей их, и действует на оба заряда. Если заряды погружены в диэлектрик, сила ослабляется в раз, где – диэектрическая проницаемость среды, величина, характеризующая диэлкектрик. Если заряды движутся, сила взаимодействия между ними определяется более сложной формулой, куда входит зависимость от взаимной скорости зарядов. Однако на скоростях, много меньших скорости света, можно этой зависимостью пренебречь.

Если на точечный заряд действует несколько других точечных зарядов, то полная сила воздействия находится как векторная сумма сил со стороны отдельных зарядов. Иными словами, заряды действуют друг на друга независимо: сила действия одного заряда не меняется в присутствии других зарядов: принцип суперпозиции электрических полей. Сила взаимодействия тел сложной формы более сложна и зависит от формы и ориентации тел. Ее находят, разбивая тела на бесконечно малые элементы и суммируя силы взаимного действия элементов между собой. Если в некоторой точке пространства на некоторый точечный заряд q действует сила F со стороны других зарядов (или тел конечного размера), то эта сила прямо пропорциональна заряду q (это следует из закона Кулона и принципа суперпозиции). Поэтому отношение E = F/q не зависит от величины заряда q и может служить (векторной) характеристикой поля в этой точке.

Эта характеристика называется напряженностью электрического поля. Очевидно, что если известна напряженность в некоторой точке, то можно определить силу, которая будет действовать на любой заряд q, помещенный в эту точку: F = qE. Из закона Кулона ясно, что напряженность поля точечного заряда определяется формулой (где r – расстояние от заряда q до точки, где определяется напряженность E). Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоской пластины находится по формуле ( – поверхностная плотность заряда, т. е. величина заряда на участке площадью 1 кв. м.) Поле направлено перпендикулярно пластине. Как видно, напряженность не зависит от расстояния до пластины. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной прямой нити (или цилиндра) находится по формуле ( – линейная плотность заряда, т. е. величина заряда на участке площадью 1 погонный метр). Поле перпендикулярно нити.

Напряженность поля двух параллельных бесконечных плоских пластин, равномерно заряженных с противоположным знаком пластин (плотность заряда на пластинах одинакова), находится по формуле ( – поверхностная плотность заряда, т. е. величина заряда на участке площадью 1 кв. м.) Поле направлено перпендикулярно пластинам и сосредоточено между ними. Вне пластин поле отсутствует. Такая система называется плоским конденсатором.

Потенциал Потенциал – скалярная характеристика электрического поля, указывающая его потенциальную энергию. Если в некоторой точке потенциал поля равен, то потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту точку, равна W = q. Если заряд проходит некоторую разность потенциалов, его потенциальная энергия при этом меняется. Согласно закону сохранения энергии, разность потенциальных энергий идет на совершение работы над зарядом: A = W 1 –W 2 =q( ). Разность потенциалов называют напряжением: U На бесконечном удалении от зарядов потенциал равен 0. Потенциал аддитивен: потенциал системы зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами. Потенциал поля точечного заряда: (здесь q – величина заряда, r – расстояние до точки, где определяется потенциал). Единица измерения потенциала – вольт: [ ] = Дж/Кл = 1 В.

Разность потенциалов между двумя точками в поле заряженного конденсатора определяется формулой U 12 = Ed, где E – напряженность поля внутри конденсатора, d – расстояние между точками. Электрон-вольт – мера энергии, равной работе, производимой силами поля при перемещении единичного заряда e между точками с разностью потенциала 1 В: 1 эВ 1,62· К · 1 В 1,62· Дж. Разность потенциалов между двумя точками в поле заряженного цилиндра или нити определяется формулой где E – напряженность поля внутри конденсатора, R 1 и R 2 – расстояния от начальной и конечной точки до центральной оси.

Электрический ток Электрический ток – направленное движение носителей зарядов. За положительное направление движения зарядов считается направление, куда движутся положительные заряды. Ток обычно возникает в проводниках – веществах, где имеется большое количество свободных зарядов, т. е. зарядов, не связанных с молекулами и способных свободно двигаться при воздействии электрического поля. В металлах свободными зарядами являются электроны, в плазме – электроны и ионы. Сила тока характеризует интенсивность движения электрических зарядов. Она определяется выражением, то есть отношением заряда, прошедшего через сечение проводника, к времени прохождения. Для мгновенной силы тока отношение конечных величин переходит в отношение бесконечно малых: i = dq/dt. Единица измерения – ампер: [i] = 1 A. Ампер является основной единицей СИ, кулон определяется как 1 Кл = 1 А · 1 с.

Сопротивление, закон Ома Согласно закону Ома ток, сила тока i в проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов (напряжению) U на его концах: i ~ U. Это верно для широкого класса проводников. Таким образом, можно ввести коэффициент пропорциональности, называемый проводимостью: i = U, где – проводимость проводника. Однако вместо проводимости чаще пользуются обратной величиной, называемой сопротивлением: R= 1/, где R – сопротивление проводника. Таким образом, связь между силой тока в проводнике и напряжением на его концах имеет вид Это соотношение и выражает закон Ома. Единицы измерения: [R] = В/А = 1 ом. Расчет сопротивления для проводников сложной формы может быть довольно сложной задачей. Однако для одного частного случая этот расчет прост. А именно: если имеется сплошной цилиндр из однородного материала длиной l и площадью поперечного сечения s, то сопротивление такого цилиндра между

его крышками может быть найдено по формуле Здесь – характеристика материала, называемая удельным сопротивлением. Удельное сопротивление находится по таблицам. Чем оно меньше, тем лучше Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью. Удельное сопротивление зависит от температуры. Для большинства веществ оно растет приблизительно линейно с этот материал проводит электрический ток. Единицы измерения: [ ] = 1 ом · м. Примеры (при t = 20 градусов Цельсия; цифры округлены): Серебро–0,016 ·10 -6 ом · м Медь–0,017 ·10 -6 ом · м Алюмиинй–0,027 ·10 -6 ом · м Железо–0,098 ·10 -6 ом · м Нихром–~1,2 ·10 -6 ом · м

ростом температуры. В области очень низких температур падение сопротивления замедляется, и при абсолютном нуле (0 кельвинов) вещества сохраняют некоторое т. н. Остаточное сопротивление. Однако у ряда веществ – сверхпроводников – в области очень низких температур сопротивление падает до нуля: этот эффект называется сверхпроводимостью. Температура, при которой эффект проявляется, зависит от внешнего магнитного поля: в присутствии достаточно сильного магнитного поля сверхпроводимость разрушается. Высокотемпературная сверхпроводимость была бы полезна, т. к. позволила бы снизить потери энергии в проводниках (полезно при передаче энергии на расстоянии) и уменьшить тепловыделение в них (полезно для дальнейшей миниатюризации микросхем). В области температур порядка комнатных зависимость удельного сопротивления от температуры можно с высокой точностью считать по формуле где 0 – удельное сопротивление при 0 градусах Цельсия, α – температурный коэффициент удельного сопротивления.

Единицы измерения: [α] = 1/К. Для многих веществ порядок величины α – 1/300 1/К. Для некоторых сплавов (например, константан) α близко к нулю; это полезно в случае, когда сопротивление прибора должно оставаться постоянным в широких пределах температур.

ЭДС, закон Ома в контуре с ЭДС Благодаря наличию сопротивления электрический ток в замкнутом контуре не может течь непрерывно: энергия поступательного движения носителей зарядов рассеивается при соударениях с атомами и между собой, и ток затухает. Для поддержания постоянной силы тока в контуре необходимо иметь источник электродвижущей силы (ЭДС), или просто ЭДС. Такой источник имеет на своих клеммах постоянное напряжение Ę, которое поддерживается благодаря действию внутри него сторонних сил – сил неэлектростатической природы, переносящих заряды из области более низкого потенциала в область более высокого потенциала. Единицы измерения: [Ę] = 1 вольт. Во всех частях замкнутого контура течет один и тот же ток i, который можно найти с помощью закона Ома для контура с ЭДС: Здесь R – полное сопротивление замкнутого контура,

которое включает в себя как собственное (внутреннее) сопротивление источника ЭДС, так и сопротивление всех элементов контура. Ę – алгебраическая сумма всех ЭДС в контуре. Полное сопротивление двух последовательно (один за другим) подкюченных сопротивлений R 1 и R 2 можно найти как сумму отдельных сопротивлений: R = R 1 + R 2. Аналогичная формула верна и для большего количества последовательно подключенных сопротивлений. Полное сопротивление (точнее, его обратную величину) параллельных сопротивлений (т. е. подключенных к двум общим шинам) R 1 и R 2 можно найти через сумму обратных величин отдельных сопротивлений: 1/R = 1/R 1 + 1/R 2. Такая же формула верна и для большего количества параллельных сопротивлений. Произведение сопротивления на силу текущего через него тока называется падением напряжения на этом сопротивлении Таким образом, закон Ома для контура с ЭДС состоит в том, что сумма всех падений напряжения в контуре равно алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре.

Закон Джоуля-Ленца При протекании тока через сопротивление энергия движения носителей зарядов переходит в тепловую энергию: носители сталкиваются с атомами вещества, их собственная энергия уменьшается, а атомы приобретают дополнительную энергию, которая представляет собой энергию хаотического движения, т. е. тепловую энергию. Мощность тепловой энергии, выделяемой в проводнике с сопротивлением R, можно рассчитать по формуле P = i 2 R. Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца. Воспользовавшись законом Ома iR = U, можно переписать эту же формулу в двух других видах: P = iU = U 2 /R. Чтобы получить выделяющееся за вермя t количество теплоты, нужно мощность умножить на время выделения теплоты: Q = P t (предполагается, что мощность постоянна во времени).