7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. Лекция 7. Случайные величины 7-1. Понятие случайной величины 7-2. Распределение случайной величины 7-3. Математическое ожидание 7-4. Дисперсия, стандартное отклонение

2 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Ключевые понятия В курсе высшей математики ключевыми понятиями были: Предел Производная Дифференциал Неопределенный интеграл Определенный интеграл

3 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Ключевые понятия В наш курс войдут следующие ключевые понятия из теории вероятностей: Вероятность Случайная величина Распределение случайной величины Математическое ожидание и дисперсия Нормальное распределение

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. Примеры про вероятность Рейтинг Президента Клинтона Уволить Кузнецова или Сорокина? Приз за тремя замками

5 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 1. Рейтинг Президента Клинтона В момент скандала рейтинг Президента Клинтона был таким. 36% одобряли его как личность, 63% одобряли его как президента, 30% одобряли его как президента, но не как личность. Найдите процент людей, которые одобряли его как личность, но не как президента.

6 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Решение Используем диаграмму Венна. Процент людей, которые одобряли его как личность, но не как президента, 36% - 33% = 3% 33% 36% 63% 100%

7 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 2. Кого следует уволить В последнее время на вашем предприятии вырос процент дефектной продукции. Вам поручили разобраться в проблеме. Три менеджера отвечают за производственную линию – Кузнецов, Сорокин и Васильев. Васильев принес отчет и сказал, что виноват Кузнецов. Кузнецов сказал, что Васильев – …, и ему верить нельзя. Вам известно, что Кузнецов на хорошем счету, и поэтому вы решили проанализировать данные по всем трем менеджерам. Менеджер Процент дефектной продукции Кузнецов Иван14,35% Васильев Сергей7,84%

8 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 2. Кого следует уволить Данные о производственных результатах трех менеджеров. МенеджерС дефектамиБез дефектов Экспорт Кузнецов Иван3293 Сорокин Петр12307 Васильев Сергей Внутренний рынок Кузнецов Иван Сорокин Петр75359 Васильев Сергей81123

9 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 2. Общие результаты МенеджерС дефектамиБез дефектовВсегоПроцент Экспорт Кузнецов Иван ,01% Сорокин Петр ,76% Васильев Сергей ,24% Внутренний рынок Кузнецов Иван ,98% Сорокин Петр ,28% Васильев Сергей ,71% Всего Кузнецов Иван ,35% Сорокин Петр ,55% Васильев Сергей ,84%

10 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 2. Вывод Уволить надо Васильева!

11 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Пример 3. Приз за тремя замками Телевизионная игра с открыванием трех дверей. За одной дверью – приз. Участнику предлагается выбрать дверь. Затем ведущий, не открывая двери, выбранной участником, открывает другую дверь, за которой ничего нет. Затем предлагает участнику сделать выбор: либо открыть уже выбранную дверь, либо поменять свой выбор и открыть оставшуюся дверь. Какая стратегия лучше?

12 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Вместо дверей используем игральные карты.

13 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Шестерка червей означает приз, крести и пики – проигрыш.

14 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Делаем случайный выбор.

15 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Ведущий открывает одну черную карту.

16 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Нам надо делать выбор: либо оставляем среднюю, либо выбираем правую.

17 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Выбираем правую. Мы проиграли.

18 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Иллюстрация на картах Выбираем правую. Мы проиграли. Червы были в центре.

19 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вопрос Какая стратегия лучше: менять первоначальный выбор или не менять? Многие думают, что вероятность выигрыша для обеих стратегий одинакова. Это не так.

20 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Дерево вероятностей Где находится приз Что выбрал игрок ВыигралПроиграл ПроигралВыиграл Не меняетМеняет ПроигралВыиграл ВыигралПроиграл /3 1/9

21 Иванов О.В., Соколихин А.А., Ответ Стратегия «не менять» имеет вероятность выигрыша 1/3, стратегия «менять» имеет вероятность 2/3. Какую стратегию выберете вы?

22 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Для тех, кто не верит Получите свои эмпирические данные. Проанализируйте. В качестве эксперимента было сыграно 25 игр. Из них:Менял6 разВыиграл4(4/6) Проиграл2 Не менял19 разВыиграл6(6/19) Проиграл13

23 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Дальше… Изучаем важнейшее понятие в теории вероятностей: Случайная величина

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Случайная величина ОпределениеПример

25 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Случайная величина Случайной величиной называют переменную, которая в результате испытания принимает единственное значение, которое зависит от случая и не может быть известно заранее. Обозначаем X, а ее значения x.

26 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Мальчики среди шести новорожденных Случайная величина – число мальчиков среди шести новорожденных. Принимает значения от 0 до 6. Значения 0 и 6 менее вероятны, чем значение 3. Как вычислены эти вероятности, поймем позже. Мальчики, x Вероятность, P(x) 00,016 10,094 20,234 30,313 40,234 50,094 60,016

27 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Дискретная случайная величина Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное количество значений. Счетное количество может быть бесконечным, но, тем не менее, может быть подсчитано при помощи определенной процедуры. Счетными являются, например, целые числа Число новорожденных

28 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина, в противоположность дискретной, принимает бесконечное количество значений из определенного непрерывного множества на числовой прямой. Множество значений непрерывной случайной величины несчетно. 06 месяцев Срок службы лампочки

29 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Зачем нужны случайные величины? Случайные величины являются математическим инструментом для изучения случайных событий и явлений.

30 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Цель - строим теоретическую модель Подбрасываем кость Описательная статистика Собираем данные, строим графики, вычисляем статистики Вероятность Находим теоретические вероятности для каждого исхода Лекции 1-4 Лекции 5-6 Вероятностные распределения Строим теоретическую модель для случайных событий, задаем случайные величины, обсуждаем их распределения, вычисляем параметры

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Распределение случайной величины ОпределениеПример

32 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Распределение случайной величины Вероятностное распределение случайной величины это график, таблица или формула, которые указывают на соответствие между принимаемыми значениями и их вероятностями. Соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения случайной величины.

33 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вероятностное распределение - таблица Таблица указывает на соответствие между принимаемыми значениями случайной величины и их вероятностями. Таблица задает закон распределения случайной величины. Мальчики, x Вероятность, P(x) 00,016 10,094 20,234 30,313 40,234 50,094 60,016

34 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вероятностное распределение - график Гистограмма также указывает на соответствие между принимаемыми значениями случайной величины и их вероятностями. Распределение числа мальчиков среди шести новорожденных

35 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вероятностное распределение - формула Вероятностное распределение случайной величины может быть задано аналитически – формулой. Пример. Формула для нахождения вероятности k мальчиков среди 6 новорожденных:

36 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Необходимое условие Для любой дискретной случайной величины сумма вероятностей должна быть равна единице:

37 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Проверка необходимого условия Задана случайная величина: Проверим необходимое условие: P(X) = 0, , , ,500 = 1,100 1,000 Условие не выполнено. Вывод. Такой случайной величины не существует. X0135 P0,100,300,200,50

38 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Лотерея На корпоративной вечеринке выпущено 100 билетов лотереи. Предусмотрены следующие выигрыши: 1 билет 1000 руб. 10 билетов100 руб. 89 билетовбез выигрыша 1. Построить закон распределения случайной величины X – суммы выигрыша одного билета. 2. Если билет стоит 30 руб., то построить закон распределения случайной величины Y – суммы чистого выигрыша одного билета.

39 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Лотерея 1. Закон распределения суммы выигрыша: 2. Закон распределения чистого выигрыша: X P0,890,100,01 Y P0,890,100,01

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Математическое ожидание ОпределениеПример

41 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Математическое ожидание Математическое ожидание (expected value) случайной величины есть ее среднее значение. Для дискретной случайной величины находится по формуле:

42 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: MC=C. Свойство 2. Постоянную можно выносить: M(CХ)=CM(Х). Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)= M(X)+M(Y). Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M(X · Y)= M(X) · M(Y).

43 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Математическое ожидание выигрыша 1. Закон распределения суммы выигрыша: Математическое ожидание суммы выигрыша: X P0,890,100,01

44 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Математическое ожидание выигрыша 2. Закон распределения чистого выигрыша: Математическое ожидание чистого выигрыша: Y P0,890,100,01

45 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Интерпретация Математическое ожидание есть точка равновесия: Примечание. Масштаб не сохранен Математическое ожидание

46 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Интерпретация Если математическое ожидание равно -10, это означает, что в среднем каждый участник проигрывает -10 руб. Такую лотерею можно считать несправедливой, поскольку в ней предусмотрен выигрыш организатора. Если бы математическое ожидание было равно нулю, то выигрыши одних участников брались бы из проигрышей других участников.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Дисперсия и стандартное отклонение ОпределениеПример

48 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Дисперсия Дисперсия (variance) случайной величины характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения. Для дискретной случайной величины находится по формуле:

49 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Свойства дисперсии Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)=0 Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя в квадрат: D(Сx)=C 2 D(x) Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D(x+y)= D(x)+D(y)

50 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вторая формула для дисперсии Имеется вторая формула для дисперсии: Удобнее использовать для вычислений вручную.

51 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Стандартное отклонение Стандартное отклонение (standard deviation) случайной величины есть квадратный корень из дисперсии:

52 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вычисление дисперсии чистого выигрыша Закон распределения чистого выигрыша: Дисперсия чистого выигрыша: Y P0,890,100,01

53 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вычисление стандартного отклонения Закон распределения чистого выигрыша: Стандартное отклонение: Y P0,890,100,01

54 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Вычисление дисперсии xP(x)x ·P(x)x 2 ·P(x) 00, ,094 20,2340,4680,936 30,3130,9392,817 40,2340,9363,744 50,0940,4702,350 60,0160,0960,576 1,0003,00010,517 Вычисляем дисперсию при помощи таблицы по второй формуле:

55 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Правило округления Правило округления результатов вычислений состоит в том, что результат, как правило, должен иметь на один знак после запятой больше, чем точность случайной величины. Если случайная величина принимает целые значения, среднее значение, стандартное отклонение следует округлять до одного знака после запятой.

56 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Числовые характеристики Случайная величинаЭмпирические данные ВероятностьЧастота Математическое ожиданиеСреднееДисперсия Стандартное отклонениеСтандартное отклонение Генеральная совокупность Выборочная совокупность

57 Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005 Задание на 5 минут Приведите пример изменения вероятности одного события после наступления другого события. Напишите определение зависимого события.