Лицей-интернат естественных наук при СГАУ имени Н.И. Вавилова Саратов

Участники проекта: Келасьев Андрей 1гр. Нефантьев Никита 1 гр. Келасьев Андрей 1гр. Нефантьев Никита 1 гр. Руководитель проекта: Карамышева Е.Е. Руководитель проекта: Карамышева Е.Е.

Основные цели Подбор практических задач по стереометрии, ориентированной на развитие образного мышления и пространственного воображения, со специальным сопровождением: рисунками, схематичными решениями, призванными приобщить учеников к чтению рисунков, графической грамотности и оптимальным формам образного мышления.

Плоскость одного из оснований n-угольный призмы совпадает с плоскостью основания n-угольной пирамиды, а каждая вершина другого основания призмы принадлежит одному из рёбер пирамиды. Какую часть объёма пирамиды составляет объём призмы в случае, когда призма имеет максимальный объём? Решение: 4) Ответ: V пр :V пир =4:9 5)

Правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой равно 2a, и куб расположены так, что середины сторон основания пирамиды являются вершинами нижнего основания куба, и каждое ребро верхнего основания куба пересекает боковое ребро пирамиды. Найти объём той части куба, которая находится вне пирамиды. А В СD E Ответ : V = Решение: а Х

В куб, имеющий объём V, вписан цилиндр так, что его ось принадлежит диагонали куба, а каждая из окружностей его оснований касается трёх граней куба в их центрах. Найти объём цилиндра. Решение: Ответ: О В1В1 r h

Три равных конуса с радиусом основания r и углом в осевом сечении 20 расположены так, что они имеют общую вершину и каждый касается двух других. Найти объём пирамиды, боковыми рёбрами которой служат оси конусов. Ответ: Решение: -

Около шара описан цилиндр. Найти a) отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара, б) отношение объёма цилиндра к объёму шара. Решение: Ответ:

Два шара радиуса 4a и один шар радиуса 5a так расположены внутри цилиндра, что все касаются одного основания цилиндра, его боковой поверхности и каждый шар касается двух других. Найти радиус цилиндра. Решение: Ответ: F E A B D 22 2 а а

Центры четырёх сфер радиуса R, каждая из которых касается двух из них, расположены в вершинах ромба с острым углом α. Каждая из двух других равных и касающихся между собой сфер касается трёх из данных сфер радиуса R. Найти радиус этих сфер. Решение: Ответ:

Правильный тетраэдр отражается относительно своего центра. Звездчатый многогранник, являющийся объединением данного и отраженного тетраэдров, называется звездой Кеплера. Найти объем этого многогранника, если объем исходного тетраэдра равен V. Ответ: Решение: A D B G E F C A B,. з з звезды

= Дано: V PEFKBC = ? = Vпризмы + 2Vпризмы = + 2 = V = = Объем правильной четырехугольной пирамиды SАВСD с основанием АВСО равен V. Через точку Р, делящую отрезов АВ в отношении 1 : 3, перпендикулярно АВ проведена плоскость. Найти объем той отсекаемой плоскостью части пирамиды, которая содержит точку А. Решение: Ответ: Найти:

Каждый трехгранный угол куба с ребром с усекается плоскостями, проходящими через середины тех ребер куба, которые выходят из вершины этого угла. Найти объем полученного кубооктаэдра. V = ? S· h+ S· h = V = 2Vo = Vо = 4Vпир. + Vпризмы = Решение: Ответ: V =

Центры граней первого куба служат вершинами октаэд­ра, а центры граней октаэдра служат вершинами второго куба. Найти отношение ребра первого куба к ребру вто­рого. Найти: Решение: Ответ:

В додекаэдр вписан куб так что каждая грань додекаэдра содержит одно ребро куба. Найти отношение ребра куба к ребру додекаэдра. Решение: Найти: Ответ:

Центр куба последовательно отражается относительно каждой грани и полученные точки принимаются за вершины октаэдра, пересечением которого с данным кубом является кубооктаэдр. Найти отношение объема этого кубооктаэдра к объему, ромбододекаэдра, вершинами которого служат вершины куба и вершины октаэдра. Найти: Ответ: Решение:

Из трех равных усеченных с обоих концов цилиндров сложено геометрическое тело имеющее фор­ му правильного треугольника со стороной 2 а. Найти его объём. Решение: Дано: Ответ:

В правильный тетраэдр вписан цилиндр так, что его ось принадлежит прямой, проходящей через середины противоположных ребер тетраэдра, а каждая из окружностей его оснований касается двух граней тетраэдра в их цен­ трах. Найти отношение объема цилиндра к объему тет­раэдра. Т. С – центр грани тетраэдраЕС:СA=2:1 Решение: ABC ADE Ответ:

В куб полувписан цилиндр так, что два параллельных и не принадлежащих одной грани ребра куба являются диаметрами окружностей оснований цилиндра, а остальные ребра касаются его боковой поверхности Найти отношение объема цилиндра к объему куба. Решение: Ответ: Дано:

Сфера проходит через три вершины правильного тетра­эдра ребром а и отношение расстояния её центра до четвертой вершины к высоте тетраэдра равно 9:8. Найти площадь той части поверхности тетраэдра, которая ле­жит внутри сферы. Дано: Решение: Из чертежа следует, что SAB-прямоугольный т. А является центром окружности. Ответ:

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 ед. и 6 ед., а высота равна ед. Найти пло­щадь той части поверхности параллелепипеда, которая лежит внутри сферы, касающейся оснований параллелепипеда в их центрах. Решение: a=2 b=6 h= Дано: Ответ:

Три равных конуса с радиусом основания r и углом в осевом сечении 20 расположены так, что они имеют общую вершину и каждый касается двух других. Найти объём пирамиды, боковыми рёбрами которой служат оси конусов.

1) Рассмотрим 1 конус: Нам известны: Найдём: 2) Рассмотрим 2 конуса, сложенных вместе. Здесь боковая грань пирамиды. Найдём сторону основания пирамиды Нам известны: Найдё м

Рассмотрим пирамиду: Т.к. пирамида правильная, площадь основания будет вычисляться по формуле: где сторона основания пирамиды. Получим: Подставим вместо Найдём высоту пирамиды: Из треугольника, лежащего в основании найдём где сторона основания пирамиды.

Найдём высоту пирамиды: Из треугольника, лежащего в основании найдём где сторона основания пирамиды. Рассмотрим, он прямоугольный. Нам известны: и Найдём по теореме Пифагора

Подставим (1) в (2) в Ответ:

Используемая литература Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, – 760с. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, – 240с. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач: Геометрия. – М.: Просвещение, с. Делоне Б.Н., Житомирский О.К. Задачник по геометрии. – 7-е изд. – М.: Физматгиз, – 296с. Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 10. – М.: Изд-во МФТИ, с. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. – М.: Советская наука, 1957, - 667с. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Ч.2. – М.: Гостехиздат, – 347с. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, – 288с. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (стереометрия). – М.: Наука, – 160с. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. общеобр. Учр. – 2- е изд. – М.: Просвещение, – 384с. Шарыгин И.Ф. Чертеж в стереометрической задаче //Квант. =