Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ Электростатика

Тема 7. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 7.1. Причины электрического тока Плотность тока Уравнение непрерывности Сторонние силы и Э. Д. С Закон Ома для неоднородного участка цепи.7.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи Закон Ома в дифференциальной форме.7.6. Закон Ома в дифференциальной форме Работа и мощность. Закон Джоуля– Ленца.7.7. Работа и мощность. Закон Джоуля– Ленца КПД источника тока.7.8. КПД источника тока Закон Кирхгофа.

7.1. Причины электрического тока Заряженные объекты являются причиной не только электростатического поля, но еще и электрического тока. В этих двух явлениях, есть существенное отличие: Для возникновения электростатического поля требуются неподвижные, каким-то образом зафиксированные в пространстве заряды. Для возникновения электрического тока, требуется наличие свободных, не закрепленных заряженных частиц, которые в электростатическом поле неподвижных зарядов приходят в состояние упорядоченного движения вдоль силовых линий поля. Упорядоченное движение свободных зарядов вдоль силовых линий поля электрический ток.

И Где - объемная плотность заряда. Распределение напряженности Е и потенциала φ электростатического поля связано с плотностью распределения зарядов в пространстве уравнением Пуассона:

Если заряды неподвижны, то есть распределение зарядов в пространстве стационарно, то ρ не зависит от времени, в результате чего и Е, и φ являются функциями только координат, но не времени. Поэтому поле и называется электростатическим.

Наличие свободных зарядов приводит к тому, что становится функцией времени, что, порождает изменение со временем и характеристик электрического поля, появляется электрический ток. Поле перестает быть электростатическим.

Количественной мерой тока служит сила тока I - заряд, перенесенный через поверхность S (или через поперечное сечение проводника), в единицу времени, т.е.: (7.1.3)

Если, однако, движение свободных зарядов таково, что оно не приводит к перераспределению зарядов в пространстве, то есть к изменению со временем плотности зарядов ρ, то в этом частном случае электрическое поле – снова статическое. Этот частный случай есть случай постоянного тока. Ток, не изменяющийся по величине со временем – называется постоянным током (7.1.4) - Отсюда видна размерность силы тока в СИ:

Как может оказаться, что заряды движутся, а плотность их не меняется, мы разберемся позже. Сначала введем количественные характеристики электрического тока.

Есть две основные характеристики электрического тока – это сила тока I и плотность тока j. В отличие от силы тока, которая есть величина скалярная и направления не имеет, плотность тока – это вектор. Связь между этими двумя физическими величинами такова: (7.2.1) 7.2. Плотность тока

Или наоборот, модуль вектора плотности тока численно равен отношению силы тока через элементарную площадку, перпендикулярную направлению движения носителей заряда, к ее площади: (7.2.2)

Плотность тока j - есть более подробная характеристика тока, чем сила тока I. j - характеризует ток локально, в каждой точке пространства, а I – это интегральная характеристика, привязанная не к точке, а к области пространства, в которой протекает ток.

Плотность тока j связана с плотностью свободных зарядов ρ и со скоростью их движения :

За направление вектора принимают направление вектора положительных носителей зарядов (раньше не знали о существовании отрицательных носителей зарядов и приняли так). Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой: (7.2.4) где и – объемные плотности зарядов.

Там, где носители только электроны, плотность тока определяется выражением: (7.2.5)

Поле вектора можно изобразить графически с помощью линий тока, которые проводят так же, как и линии вектора напряженности

Зная в каждой точке интересующей нас поверхности S можно найти силу тока через эту поверхность, как поток вектора : (7.2.6)

Сила тока является скалярной величиной и алгебраической. А знак определяется кроме всего прочего, выбором направления нормали к поверхности S.

7.3. Уравнение непрерывности Представим себе, в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы принято брать наружу, поэтому интеграл дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охваченного поверхностью S.

Плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению S однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с поперечным сечением S сила тока: (7.3.1)

Из этого следует, что плотности постоянного тока в различных поперечных сечениях 1 и 2 цепи обратно пропорциональны площадям S 1 и S 2 этих сечений :

Пусть S – замкнутая поверхность, а векторы всюду проведены по внешним нормалям Тогда поток вектора сквозь эту поверхность S равен электрическому току I, идущему вовне из области, ограниченный замкнутой поверхностью S. Следовательно, согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный электрический заряд q, охватываемый поверхностью S, изменяется за время на, тогда в интегральной форме можно записать:. (7.3.3)

В интегральной форме можно записать: Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда. Дифференциальная форма записи уравнения непрерывности.

В случае постоянного тока, распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным: следовательно, (7.3.5) это уравнение непрерывности для постоянного тока (в интегральной форме).

Линии в случае постоянного тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Поле вектора не имеет источника. В дифференциальной форме уравнение непрерывности для постоянного тока:

Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. Докажем это: т.к. для постоянного тока справедливо уравнение отсюда Избыточный заряд может появиться только на поверхности проводника в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.

7.4. Сторонние силы и ЭДС Для того, чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, необходимо от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить, а к другому концу – с большим потенциалом – подводить электрические заряды. Т.е. необходим круговорот зарядов.

Поэтому в замкнутой цепи, наряду с нормальным движением зарядов, должны быть участки, на которых движение (положительных) зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т.е. против сил электрического поля

Перемещение заряда на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектрического происхождения (сторонних сил): химические процессы, диффузия носителей заряда, вихревые электрические поля. Аналогия: насос, качающий воду в водонапорную башню, действует за счет негравита- ционных сил (электромотор).

Сторонние силы можно характеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по замкнутой цепи зарядами

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда в цепи, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи:

Стороннюю силу, действующую на заряд, можно представить в виде: (7.4.2) – напряженность поля сторонних сил.

Работа сторонних сил на участке 1 – 2: Тогда ЭДС (7.4.3) Для замкнутой цепи: (7.4.4)

Циркуляция вектора напряженности сторонних сил равна ЭДС, действующей в замкнутой цепи (алгебраической сумме ЭДС). При этом необходимо помнить, что поле сторонних сил не является потенциальным, и к нему нельзя применять термин разность потенциалов или напряжение.

7.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи Один из основных законов электродинамики был открыт в 1826 г. немецким учителем физики Георгом Омом. Он установил, что сила тока в проводнике пропорциональна разности потенциалов:

Георг Симон Ом (1787 – 1854) – немецкий физик. В 1826 г. Ом открыл основной закон электрической цепи. Этот закон не сразу нашел признание в науке, а лишь после того, как Э. X. Ленц, Б. С. Якоби, К. Гаусс, Г. Кирхгоф и другие ученые положили его в основу своих исследований. Именем Ома была названа единица электрического сопротивления (Ом). Ом вел также исследования в области акустики, оптики и кристаллооптики.

Рассмотрим неоднородный участок цепи - участок, содержащий источник ЭДС (т.е. участок, где действуют неэлектрические силы). Напряженность поля в любой точке цепи равна векторной сумме поля кулоновских сил и поля сторонних сил:

Величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда суммарным полем кулоновских и сторонних сил на участке цепи (1 – 2), называется напряжением на этом участке U 12 :

Т.к., или тогда

Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в случае, если на этом участке нет ЭДС, т.е. на однородном участке цепи. Обобщенный закон Ома для участка цепи содержащей источник ЭДС: (7.5.3)

Обобщенный закон Ома выражает закон сохранения энергии применительно к участку цепи постоянного тока. Он в равной мере справедлив как для пассивных участков (не содержащих ЭДС), так и для активных.

В электротехнике часто используют термин падение напряжения – изменение напряжения вследствие переноса заряда через сопротивление

В замкнутой цепи: ; или где ; r – внутреннее сопротивление активного участка цепи Тогда закон Ома для замкнутого участка цепи, содержащего источник ЭДС запишется в виде (7.5.5)

Закон Ома для замкнутого участка цепи, содержащего источник ЭДС

7.6. Закон Ома в дифференциальной форме Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС) (7.6.1) Для однородного линейного проводника выразим R через ρ: (7.6.2) ρ – удельное объемное сопротивление; [ρ] = [Ом·м].

Найдем связь между и в бесконечно малом объеме проводника – закон Ома в дифференциальной форме.

В изотропном проводнике (в данном случае с постоянным сопротивлением) носители зарядов движутся в направлении действия силы, т.е. вектор плотности тока и вектор напряженности поля коллинеарны

Исходя из закона Ома (7.6.1), имеем: А мы знаем, что Отсюда (7.6.3) это запись закона Ома в дифференциальной форме. Здесь – удельная электропроводность.

Плотность тока можно выразить через заряд электрона е, количество зарядов n и дрейфовую скорость : Обозначим, тогда ; (7.6.4)

Теперь, если удельную электропроводность σ выразить через е, n и b: то вновь получим выражение закона Ома в дифференциальной форме:

7.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд При этом силы электрического поля, действующего на данном участке, совершают работу: Общая работа:

Разделив работу на время, получим выражение для мощности: (7.7.1) Полезно вспомнить и другие формулы для мощности и работы: (7.7.2) (7.7.3) В 1841 г. манчестерский пивовар Джеймс Джоуль и в 1843 г. петербургский академик Эмилий Ленц установили закон теплового действия электрического тока.

Джоуль Джеймс Пресскотт (1818 – 1889) – английский физик, один из первооткрывателей закона сохранения энергии. Первые уроки по физике ему давал Дж. Дальтон, под влиянием которого Джоуль начал свои эксперименты. Работы посвящены электромагнетизму, кинетической теории газов. Ленц Эмилий Христианович (1804 – 1865) – русский физик. Основные работы в области электромагнетизма. В 1833 г. установил правило определения электродвижущей силы индукции (закон Ленца), а в 1842 г. (независимо от Дж. Джоуля) – закон теплового действия электрического тока (закон Джоуля- Ленца). Открыл обратимость электрических машин. Изучал зависимость сопротивление металлов от температуры. Работы относятся также к геофизике.

При протекании тока, в проводнике выделяется количество теплоты: (7.7.4) Если ток изменяется со временем: Это закон Джоуля – Ленца в интегральной форме.

Отсюда видно, что нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над зарядом. Соотношение (7.7.4) имеет интегральный характер и относится ко всему проводнику с сопротивлением R, по которому течет ток I. Получим закон Джоуля-Ленца в локальной- дифференциальной форме, характеризуя тепловыделение в произвольной точке.

Тепловая мощность тока в элементе проводника Δl, сечением ΔS, объемом равна: Тепловая мощность тока Удельная мощность тока

Согласно закону Ома в дифференциальной форме, получим закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме, характеризующий плотность выделенной энергии. Так как выделенная теплота равна работе сил электрического поля то мы можем записать для мощности тока: (7.7.6)

Мощность, выделенная в единице объема проводника. Приведенные формулы справедливы для однородного участка цепи и для неоднородного.

7.8. КПД источника тока Рассмотрим элементарную электрическую цепь, содержащую источник ЭДС с внутренним сопротивлением r, и внешним сопротивлением R

КПД всегда определяем как отношение полезной работы к затраченной: (7.8.1)

Полезная работа – мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении R в единицу времени. По закону Ома имеем: тогда

Таким образом, имеем, что при но при этом ток в цепи мал и полезная мощность мала. Вот парадокс – мы всегда стремимся к повышенному КПД, а в данном случае нам это не приносит пользы. Найдем условия, при которых полезная мощность будет максимальна. Для этого нужно, чтобы

Это возможно при R = r

В последнем выражении следовательно, должно быть равно нулю выражение в квадратных скобках, т.е. r = R. r = R При этом условии выделяемая мощность максимальна, а КПД равен 50%.

7.9. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей Расчет разветвленных цепей с помощью закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил немецкого физика Г. Кирхгофа (1824 – 1887).

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи равна нулю: (7.9.1) (узел – любой участок цепи, где сходятся более двух проводников)

В случае установившегося постоянного тока в цепи ни в одной точке проводника, ни на одном из его участков не должны накапливаться электрические заряды Токи, сходящиеся к узлу, считаются положительными :

Второе правило Кирхгофа (обобщение закона Ома для разветвленной цепи). Складывая получим:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма произведения тока на сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре. Обход контуров осуществляется по часовой стрелке, если направление обхода совпадает с направлением тока, то ток берется со знаком «плюс».