Ларионов В.В. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ Работа постоянной и переменной силы. Кинетическая энергия. Понятие энергии является одним из основных понятий физики. С понятием энергии приходится встречаться при рассмотрении ряда технических задач, ибо одной из важнейших проблем техники является получение, передача и использование энергии. В настоящей лекции и последующей за ней будет изложено понятие энергии и показано, как им пользоваться при решении физических задач.

До сих пор мы изучали движение частицы в рамках трех законов динамики Ньютона. При этом для количественного описания движения мы использовали понятие силы. Описание с помощью понятий энергия и импульс является альтернативным описанию движения с помощью силы. Важной особенностью этих величин является то, что они сохраняются. Свойства этих величин сохраняться не только позволяют нам глубже заглянуть в устройство мира, но и дают другой способ решения практических задач. Законы сохранения энергии и импульса особенно полезны, когда мы имеем дело с системами многих тел, в которых детальное рассмотрение действующих сил представляло бы труднейшую задачу.

С понятием энергия тесно связано понятие работа. Поскольку эти величины являются скалярными и не имеют направления, во многих случаях с ними проще иметь дело, чем с векторными величинами. Важная роль энергии обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, это сохраняющаяся величина, а во-вторых, это понятие, которое находит применение не только для изучений механического движения, но и во всех областях физики, и в других науках. Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В общих явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).

Элементарная и полная работа Элементарной работой dA называют скалярное произведение вектора силы F, действующей на тело или частицу и элементарного перемещения dr, т.е. dA = F dr =(F dr ) = F dr cos(F ^dr) F dr 1 2

Полной работой А называют интеграл от точки 1 по криволинейной траектории до точки 2 (под интегралом – векторы) А 12 =

Работа и энергия измеряются в СИ в единицах произведения силы на расстояние, т.е. в ньютонах на метр (Н м); размерность этой величины МL 2 T –2. Эта единица называется джоулем (Дж).

Сила может быть приложена к телу и не совершать при этом работы. Например, если вы держите в руках тяжелую сумку и не двигаетесь, то вы не совершаете работу. Вы устанете, но А=0. Если вы несете бочку с квасом, и идете по горизонтальному пути с постоянной скоростью, то не требуется горизонтальной силы. Вы действуете на бочку с силой, направленной вверх и равной весу бочки. Но эта сила перпендикулярна горизонтальному перемещению и потому работа равна 0. Почему вы устаете? Какая сила производит работу?

ВЫВОДЫ 1) работа обладает свойством аддитивности; 2) если /2> >0, то cos >0 – работа положительна; 3) если = /2, то работа равна нулю; 4) если > > /2, то работа совершается против действия силы и она отрицательна; 5) «центростремительная» сила (например, сила Лоренца) не совершает работы.

Пример. Определим работу, необходимую для того, чтобы растянуть пружину на длину х. Подставим в выражение A = (F,dr) вместо силы F величину kx (линейная зависимость силы от х называется законом Гука) и заменим dr на dx. Таким образом, При интегрировании мы использовали табличный интеграл

Мгновенной мощностью называется предел, к которому стремиться средняя мощность за бесконечно малый промежуток времени: Мгновенную мощность можно выразить через силу и мгновенную скорость., где - вектор мгновенной скорости, V- модуль вектора мгновенной скорости. Итак, мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы. Мощность- величина скалярная. Единицей мощности в СИ служит ватт (Вт): 1Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа 1Дж: 1Вт=1Дж/с: размерность мощности [N]=[A/t]=M L 2 T -3.

Электрическая лампочка мощностью100 Вт расходует 100 Дж/с. Произведение мощности на время дает энергию. Широко используется единица энергии киловатт час (к Вт ч): 1 кВт ч = 10 3 Вт 3600 с = 3, Дж. В России ежедневно потребляется в среднем 1, кВт ч энергии.

Кинетическая энергия Рассмотрим частицу массой m, на которую действует некоторая сила F. Считаем, что других сил нет. Вычислим работу данной силы при движении частицы (тела) по некоторой траектории от 1 до 2. По определению А 12 = Заменим значение F = dp/dt и подставим dp(dr/dt) = mdv.v, т.к. dr/dt =v. В классической механике m=const, т.е. ее можно вынести за знак интеграла.

Этот интеграл равен mV 2 2 /2 – mV 1 2 /2 =ΔE k Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения. При выводе формулы предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета!!! И еще. Работа любой силы ведет к изменению кинетической энергии частицы (тела).

Запишем некоторые полезные соотношения Легко видеть, что dA = dE. Если сила F – результирующая сил F 1, F 2 …. и т.д., то очевидно, что dA = dA 1 +dA 2 +…….+dA N = dE. Таким образом, видим, что работа любых сил ведет в конечном итоге к изменению кинетической энергии!!!! Среди этих сил могут быть как консервативные (гравитационные, электростатические, упругие) так и силы трения, т.е. неконсервативные. Их называют диссипативными.

Кинетическая энергия в релятивистском случае Если масса зависит от скорости, то ее величину нельзя вынести за знак интеграла. Вернемся к прежнему выражению работы А 12 =

Преобразуем данную формулу (т.е. возведем в квадрат и раскроем скобки) (1) m 2 (1-v 2 /c 2 ) = m 0 2 (2) c 2 m 2 - m 2 v 2 = m 0 2 c 2 (3) c 2 m 2 -p 2 = m 0 2 c 2,т.к. p= mv

Продифференцируем формулу (3) (4) 2c 2 mdm – 2pdp =0. Сократим на 2. c 2 mdm = pdp, или c 2 dm = pdp/m Напомним, что Fdr = mv dv=p(dv m)/m= (p dp)/m. Следовательно, А 12 =

Получили элементарный интеграл, который равен С 2 (m 2 – m 1 ). Если частица стартовала с массой m 0, то индекс 1 заменяем на 0, а m 2 становится текущей, т.е получаем С 2 (m – m 0 ). Величина С 2 m 0 называется энергией покоя. Кинетическая энергия равна E k = С 2 m - С 2 m 0. E k + m 0 С 2 = E – полная энергия!!!

Полная энергия равна mС 2 Из формулы c 2 m 2 -p 2 = m 0 2 c 2 видим, что релятивистский импульс равен p 2 =(c 2 m 2 - m 0 2 c 2 ), Полная энергия E п =(m 0 2 c 4 +p 2 c 2 ) 1/2 Заметим! Величина c 2 m 2 -p 2 –есть инвариант!!!, т.е. одинакова во всех ИСО!!!

Некоторые полезные соотношения для кинетической энергии Ek (классическая механика)

Потенциальная энергия Взаимосвязь работы и энергии очень широко используется при рассмотрении различных физических процессов. Ранее отметили, что для многих видов сил, называемых консервативными, интеграл не зависит от пути интегрирования между точками A и B, а определяется только начальным и конечным положением точек A и B.

Для сил, обладающих таким свойством, интеграл называют потенциальной энергией и обозначают буквой U: Потенциальную энергию можно представить себе как энергию, запасенную для дальнейшего использования. Во многих случаях при желании ее можно преобразовать в другие полезные формы энергии.

Консервативные силы Понятие потенциальной энергии применимо лишь для сил определенного типа – консервативных сил. По определению если F – консервативная сила, то (рис.) Путь 1 Путь 2 Путь 3 Рис.

Все четыре типа фундаментальных сил, действующих между элементарными частицами, (гравитационные, электромагнитные, ядерные, слабые) консервативные. Примером неконсервативной силы является трение. В этом случае F и dr всегда направлены в противоположные стороны и интеграл (F,dr) по замкнутому пути всегда отрицателен (тело непрерывно теряет энергию).

Понятие о циркуляции вектора Циркуляцией Г вектора, например F, по замкнутому контуру L, называется интеграл Если контур окружность радиусом «а», а сила постоянна по всей длине и является касательной на каждом участке окружности, то Г = 2πаF. Он равен нулю для консервативных сил. Действительно, если работа консервативной силы не зависит от формы пути, то A 12 =-A 21, а их сумма равна 0.

Выбирая произвольную траекторию, видим, независимо от направления обхода контура, что интеграл равен L

Самостоятельно найти работу А 12 гравитационной силы F по переносу массы m между точками 1 и 2 в поле массы M равна =….. Это интеграл типа

Закон сохранения полной механической энергии Закон сохранения энергии – один из центральных моментов всей физики и техники. Этот закон налагает строгие ограничения на возможности извлечения энергии и ее преобразования из одной формы в другую. Закон сохранения энергии запрещает существование вечных двигателей, в которых замкнутая система непрерывно "поставляет" механическую энергию наружу.

Согласно этому закону, сумма кинетической и потенциальной энергий всех тел в любой замкнутой консервативной системе остается постоянной, независимо от типа взаимодействий и столкновений, происходящих между телами в системе. Консервативность означает, что все силы взаимодействия в системе консервативны и могут быть, следовательно, выражены через потенциальную энергию.

Пусть в системе действуют как консервативные, так и диссипативные силы. Их элементарная работа равна Элементарная работа консервативных сил равна dAконс = - dU. Таким образом получаем dAдисс = dE +dU. Но если в системе нет диссипативных сил, то dE +dU = 0 или (E +U ) = const ЭТО и есть закон сохранения механической энергии dA = dAконс +dAдисс = dE.

Закон сохранения энергии для системы n материальных точек в поле консервативных сил

Замечание Продифференцируем по времени закон сохранения энергии для частицы, имеющей кинетическую энергию Ек и находящуюся в потенциальном поле U. Окончательно F=ma. Следует помнить, что Fx=ma x,Fy=ma y Fz=ma z

Соударение частиц (шаров) Удар шаров рассматривается в двух приближениях – абсолютно упругий удар и абсолютно неупругий на основе закона сохранения энергии и импульса. При абсолютно упругом ударе считается, что не происходит потерь кинетической энергии, связанной с движением шаров Здесь m 1, m 2 – массы сталкивающихся шаров, v 1, v 2 – их скорости до удара, v 1, v 2 – скорости шаров после удара.

Будем считать, что удар не только упругий, но и центральный, т.е. скорости шаров v 1 и v 2 до удара направлены вдоль одной прямой. В этом случае легко записать и закон сохранения импульса для сталкивающихся шаров: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2.

Закон сохранения импульса, наряду с законом сохранения энергии, составляют систему двух линейных уравнений. Решив систему, получаем

Если второй шар был до удара неподвижен ( v 2 = 0), то получаем При m 1 > m 2 первый шар будет двигаться в первоначальном направлении, при m 1 < m 2 шар отскочит в противоположном направлении, при m 1 = m 2 первый шар остановится, а второй будет двигаться вперед со скоростью v 2 = v 1 – первого шара до удара. И, в общем случае, при столкновении двух одинаковых шаров (m 1 = m 2 ) v 1 = v 2, v 2 = v 1 шары просто обмениваются скоростями.

При абсолютно неупругом ударе двух шаров массами m 1 и m 2 после столкновения они начинают двигаться как единое целое с массой (m 1 + m 2 ), (рис.) Если шары двигаются вдоль одной прямой – центральный удар, то при неупругом столкновении сохраняется импульс m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v. Рис.

Скорость движения после неупругого удара равна Потеря кинетической энергии в системе при неупругом ударе равна разности кинетических энергий до и после удара:

За счет потери кинетической энергии происходит увеличение внутренней энергии системы сталкивающихся шаров, сопровождающееся разрушением тел при столкновении и их нагревом. На основе этой формулы в ЦЕРНЕ построен БАК – большой адронный коллайдер (Швейцария).

Величина μ=(m 1 +m 2 )/m 1 m 2 – носит название приведенной массы. (V 1 – V 2 ) – относительная скорость в векторном виде