8. Неинерциальные системы отсчета. 8.1 Силы инерции Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем тело движется с одним и тем же ускорением. Неинерциальные системы движутся относительно инерциальных систем с некоторым ускорением. Поэтому в них законы Ньютона не выполняются. Однако, законы Ньютона можно применять, если ввести в рассмотрение особые силы – силы инерции. 8. Неинерциальные системы отсчета. 8.1 Силы инерции Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем тело движется с одним и тем же ускорением. Неинерциальные системы движутся относительно инерциальных систем с некоторым ускорением. Поэтому в них законы Ньютона не выполняются. Однако, законы Ньютона можно применять, если ввести в рассмотрение особые силы – силы инерции.

Рассмотрим две системы отсчета К и К н. Из них система К – инерциальная, а система К н – неинерциальная. Пусть система К н движется относительно системы К с ускорением. В инерциальной системе К уравнение Ньютона для тела массы m движущегося с ускорением имеет вид Рассмотрим две системы отсчета К и К н. Из них система К – инерциальная, а система К н – неинерциальная. Пусть система К н движется относительно системы К с ускорением. В инерциальной системе К уравнение Ньютона для тела массы m движущегося с ускорением имеет вид

Тогда относительно неинерциальной системы К н тело будет двигаться с ускорением Умножим это равенство на массу тела, получим (8.1.1) Это уравнение и представляет собой 2-й закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета К н. Из него следует, что в неинерциальной системе на тело как бы действует дополнительная сила (8.1.2) которая называется силой инерции. Тогда относительно неинерциальной системы К н тело будет двигаться с ускорением Умножим это равенство на массу тела, получим (8.1.1) Это уравнение и представляет собой 2-й закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета К н. Из него следует, что в неинерциальной системе на тело как бы действует дополнительная сила (8.1.2) которая называется силой инерции.

С ее введением уравнение Ньютона в неинерциальной системе отсчета принимает вид (8.1.3) Сила инерции учитывает влияние ускорения самой неинерциальной системы на характер движения тела относительно этой системы. Силы инерции обнаруживают себя в реальных явлениях. Например, при ускоренном или замедленном движении поезда силы инерции вызывают падение предметов. В центрифугах они используются для разделения веществ. С ее введением уравнение Ньютона в неинерциальной системе отсчета принимает вид (8.1.3) Сила инерции учитывает влияние ускорения самой неинерциальной системы на характер движения тела относительно этой системы. Силы инерции обнаруживают себя в реальных явлениях. Например, при ускоренном или замедленном движении поезда силы инерции вызывают падение предметов. В центрифугах они используются для разделения веществ.

Сила инерции пропорциональна массе тела, поэтому она аналогична силам тяготения. Для иллюстрации рассмотрим кабину, которая движется с ускорением вверх. Все тела, находящиеся в кабине будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции В частности, пружина с прикрепленным на ее конце телом массы m растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции. Но тоже самое будет наблюдаться, когда кабина неподвижна, а на нее действует сила тяжести с напряженностью. Сила инерции пропорциональна массе тела, поэтому она аналогична силам тяготения. Для иллюстрации рассмотрим кабину, которая движется с ускорением вверх. Все тела, находящиеся в кабине будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции В частности, пружина с прикрепленным на ее конце телом массы m растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции. Но тоже самое будет наблюдаться, когда кабина неподвижна, а на нее действует сила тяжести с напряженностью.

Поэтому если человек находится в кабине и у него нет возможности наблюдать за тем, что происходит за пределами кабины, то он не сможет установить, чем обусловлена сила, действующая на пружину - ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Поэтому если человек находится в кабине и у него нет возможности наблюдать за тем, что происходит за пределами кабины, то он не сможет установить, чем обусловлена сила, действующая на пружину - ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и сил тяготения.

Пусть диск вращается с угловой скоростью вокруг оси z. К центру диска прикреплена пружина, на конце которой находится груз массы m. Груз и пружина надеты на стержень. Перемещаясь вдоль стержня и растягивая пружину, груз в конце концов остановится в таком положении, в котором сила упругости в неподвижной системе отсчета, связанной с Землей, согласно 2-му закону Ньютона будет равна. Где - радиус-вектор, проведенный к грузу из центра диска, - центростремительное ускорение. Относительно диска груз покоится. Это можно объяснить тем, что во вращающейся системе отсчета, связанной с диском на груз действует сила инерции (8.2.1) направленная вдоль радиуса от центра и компенсирующая силу упругости. Эта сила называется центробежной силой инерции. Относительно диска груз покоится. Это можно объяснить тем, что во вращающейся системе отсчета, связанной с диском на груз действует сила инерции (8.2.1) направленная вдоль радиуса от центра и компенсирующая силу упругости. Эта сила называется центробежной силой инерции. 8.2 Центробежная сила инерции

Если на вращающемся диске находится человек, то на него будет действовать центробежная сила инерции, сталкивающая его с диска. Чтобы остаться в состоянии покоя человек должен приложить силу, равную, или испытывать действие такой же по величине силы со стороны другого тела. Другим примером неинерциальной системы отсчета является геоцентрическая система, связанная с Землей. За счет вращения Земли вокруг своей оси на тело, находящееся на ее поверхности, действуют две силы – сила гравитации (тяготения) и центробежная сила инерции где – угловая скорость вращения Земли, - радиус - вектор от оси вращения до тела, его модуль равен R = R з ·соs где угол – широта, R з - радиус Земли. Другим примером неинерциальной системы отсчета является геоцентрическая система, связанная с Землей. За счет вращения Земли вокруг своей оси на тело, находящееся на ее поверхности, действуют две силы – сила гравитации (тяготения) и центробежная сила инерции где – угловая скорость вращения Земли, - радиус - вектор от оси вращения до тела, его модуль равен R = R з ·соs где угол – широта, R з - радиус Земли.

Результирующая сила равна силе тяжести, действующей на тело на поверхности Земли где - ускорение свободного падения. Без учета центробежной силы сила тяжести была бы направлена к центру Земли. Но центробежная сила приводит к отклонению направления силы тяжести на центр и уменьшению ее величины. Модуль центробежной силы пропорционален расстоянию от тела до оси вращения и зависит от широты Поэтому влияние центробежной силы на силу тяжести максимально на экваторе и отсутствует на полюсах ( φ = /2 ). Результирующая сила равна силе тяжести, действующей на тело на поверхности Земли где - ускорение свободного падения. Без учета центробежной силы сила тяжести была бы направлена к центру Земли. Но центробежная сила приводит к отклонению направления силы тяжести на центр и уменьшению ее величины. Модуль центробежной силы пропорционален расстоянию от тела до оси вращения и зависит от широты Поэтому влияние центробежной силы на силу тяжести максимально на экваторе и отсутствует на полюсах ( φ = /2 ).

Другая причина, по которой Земля не является инерциальной системой, - это ее движение по орбите вокруг Солнца. Как уже ранее отмечалось центростремительное ускорение, связанное с движением Земли вокруг Солнца равно a ор м/сек 2. Оно почти на порядок меньше ускорения, возникающего за счет вращения Земли вокруг своей оси Другая причина, по которой Земля не является инерциальной системой, - это ее движение по орбите вокруг Солнца. Как уже ранее отмечалось центростремительное ускорение, связанное с движением Земли вокруг Солнца равно a ор м/сек 2. Оно почти на порядок меньше ускорения, возникающего за счет вращения Земли вокруг своей оси

Наконец, Солнце вместе с планетами вращается вокруг центра Галактики со скоростью v Г ~ 300 км/сек. Расстояние до центра Галактики R Г составляет около 30 тысяч световых лет, поэтому вращательному движению солнечной системы отвечает центростремительное ускорение а Г, направленное к центру галактики и равное Это значение ничтожно мало, поэтому система отсчета, связанная с неподвижными звездами, с очень хорошей точностью может считаться инерциальной. Наконец, Солнце вместе с планетами вращается вокруг центра Галактики со скоростью v Г ~ 300 км/сек. Расстояние до центра Галактики R Г составляет около 30 тысяч световых лет, поэтому вращательному движению солнечной системы отвечает центростремительное ускорение а Г, направленное к центру галактики и равное Это значение ничтожно мало, поэтому система отсчета, связанная с неподвижными звездами, с очень хорошей точностью может считаться инерциальной.

В предыдущей задаче тело покоилось относительно вращающейся системы отсчета. Рассмотрим теперь случай, когда тело движется относительно этой системы. Тогда наряду с центробежной силой на тело будет действовать еще одна сила инерции – сила Кориолиса. 8.3 Сила Кориолиса Пустим из центра диска О шарик вдоль радиуса ОА со скоростью относительно диска. Если бы диск не вращался, то шарик катился вдоль прямой ОА. При вращении диска шарик будет двигаться по кривой ОВ, как если бы на него действовала некоторая сила, перпендикулярная к скорости в каждой точке траектории. Эта сила и есть сила Кориолиса.

Для нахождения силы Кориолиса введем в рассмотрение две системы координат – одну неподвижную К, связанную с Землей, а другую - подвижную К´, связанную с вращающимся диском. Начало координат обеих систем выберем в центре диска О, а оси Z и Z´ совместим с осью вращения диска. В системе К радиус-вектор шарика равен, в системе К´ -. Эти вектора совпадают друг с другом в любой момент времени или в проекциях где - орты системы К, - орты системы К´. Орты от времени не зависят, тогда как орты системы К´, вращаются вместе с диском вокруг оси Z´ с угловой скоростью Найдем связь скоростей шарика в двух системах. Для этого возьмем первую производную по времени от равенства векторов. Для нахождения силы Кориолиса введем в рассмотрение две системы координат – одну неподвижную К, связанную с Землей, а другую - подвижную К´, связанную с вращающимся диском. Начало координат обеих систем выберем в центре диска О, а оси Z и Z´ совместим с осью вращения диска. В системе К радиус-вектор шарика равен, в системе К´ -. Эти вектора совпадают друг с другом в любой момент времени или в проекциях где - орты системы К, - орты системы К´. Орты от времени не зависят, тогда как орты системы К´, вращаются вместе с диском вокруг оси Z´ с угловой скоростью Найдем связь скоростей шарика в двух системах. Для этого возьмем первую производную по времени от равенства векторов.

Так как движение происходит только в плоскости (х,у), то или Так как движение происходит только в плоскости (х,у), то или где - скорости шарика в системах К и К´ соответственно. Выясним смысл последних слагаемых. Согласно определению производной Приращение орта за время можно записать в виде В скобках - единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и где - скорости шарика в системах К и К´ соответственно. Выясним смысл последних слагаемых. Согласно определению производной Приращение орта за время можно записать в виде В скобках - единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и

Подобное же выражение получается и для приращения орта В пределе угол поворота векторов и стремится к нулю, и можно считать, что и Из рисунка видно, что и. Поэтому получаем С другой стороны, величины приращений ортов при повороте на угол можно записать в виде, так как Подобное же выражение получается и для приращения орта В пределе угол поворота векторов и стремится к нулю, и можно считать, что и Из рисунка видно, что и. Поэтому получаем С другой стороны, величины приращений ортов при повороте на угол можно записать в виде, так как

Поэтому, В пределе получаем, Возвращаясь к формуле для скорости, можем переписать ее в виде Используем свойство векторного произведения - оно равно детерминанту Поэтому, В пределе получаем, Возвращаясь к формуле для скорости, можем переписать ее в виде Используем свойство векторного произведения - оно равно детерминанту

В нашем случае вектор угловой скорости совпадает с осью z, поэтому детерминант приобретает вид Отсюда получаем связь скоростей в двух системах отсчета (8.3.1) Второе слагаемое связано с вращением системы отсчета К´ относительно системы К. Теперь найдем связь ускорений в двух системах. Для этого продифференцируем выражение (8.3.1) по времени. Поскольку угловая скорость считается постоянной, то находим (8.3.2) В нашем случае вектор угловой скорости совпадает с осью z, поэтому детерминант приобретает вид Отсюда получаем связь скоростей в двух системах отсчета (8.3.1) Второе слагаемое связано с вращением системы отсчета К´ относительно системы К. Теперь найдем связь ускорений в двух системах. Для этого продифференцируем выражение (8.3.1) по времени. Поскольку угловая скорость считается постоянной, то находим (8.3.2)

Рассмотрим производную Здесь сумма - есть ускорение шарика относительно вращающейся системы отсчета К´. Подставляя найденные ранее выражения для производных и, получаем Используя формулу для скоростей (8.3.1), находим Рассмотрим производную Здесь сумма - есть ускорение шарика относительно вращающейся системы отсчета К´. Подставляя найденные ранее выражения для производных и, получаем Используя формулу для скоростей (8.3.1), находим

Двойное векторное произведение обладает свойством Поэтому можем записать Первое слагаемое = 0 из-за ортогональности векторов В результате получаем выражение, связывающее ускорения в двух системах отсчета (8.3.3) Двойное векторное произведение обладает свойством Поэтому можем записать Первое слагаемое = 0 из-за ортогональности векторов В результате получаем выражение, связывающее ускорения в двух системах отсчета (8.3.3)

Итак, ускорение частицы относительно неподвижной системы отсчета К равно сумме трех ускорений: 1) ускорения относительно вращающейся системы К´ 2) кориолисового ускорения 3) центростремительного ускорения, которым обладала бы частица, если бы она покоилась во вращающейся системе отсчета К´ Итак, ускорение частицы относительно неподвижной системы отсчета К равно сумме трех ускорений: 1) ускорения относительно вращающейся системы К´ 2) кориолисового ускорения 3) центростремительного ускорения, которым обладала бы частица, если бы она покоилась во вращающейся системе отсчета К´

Умножим равенство (8.3.3) на массу шарика m Меняя местами, получаем Умножим равенство (8.3.3) на массу шарика m Меняя местами, получаем

В результате, формула, связывающая силы, действующие на шарик в двух системах, приобретает вид где - центробежная сила инерции, а - сила Кориолиса, равная (8.3.4) В системе К´ сила Кориолиса перпендикулярна оси вращения и скорости движения шарика, поэтому она не совершает работу. Ее роль сводится к тому, что она меняет направление вектора скорости шарика, но не меняет величину этой скорости. В результате, формула, связывающая силы, действующие на шарик в двух системах, приобретает вид где - центробежная сила инерции, а - сила Кориолиса, равная (8.3.4) В системе К´ сила Кориолиса перпендикулярна оси вращения и скорости движения шарика, поэтому она не совершает работу. Ее роль сводится к тому, что она меняет направление вектора скорости шарика, но не меняет величину этой скорости.

Примеры движений, в которых проявляется сила Кориолиса При движении тела относительно Земли сила Кориолиса приводит к нескольким эффектам. 1) Отклонение свободно падающего тела от вертикали. При свободном падении тела на него действует сила Кориолиса, направленная в сторону вращения Земли. Поэтому она приводит к отклонению траектории тела к Востоку от линии отвеса в любом месте Земли. Ее величина максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах. Примеры движений, в которых проявляется сила Кориолиса При движении тела относительно Земли сила Кориолиса приводит к нескольким эффектам. 1) Отклонение свободно падающего тела от вертикали. При свободном падении тела на него действует сила Кориолиса, направленная в сторону вращения Земли. Поэтому она приводит к отклонению траектории тела к Востоку от линии отвеса в любом месте Земли. Ее величина максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах.

2) Если тело движется по поверхности Земли вдоль меридиана к северному полюсу, то в северном полушарии на него действует сила Кориолиса, направленная по ходу вращения Земли, а в южном полушарии - против вращения Земли. Если же тело движется к южному полюсу, то в северном полушарии сила Кориолиса направлена против хода вращения Земли, а в южном полушарии – по ходу вращения Земли. 2) Если тело движется по поверхности Земли вдоль меридиана к северному полюсу, то в северном полушарии на него действует сила Кориолиса, направленная по ходу вращения Земли, а в южном полушарии - против вращения Земли. Если же тело движется к южному полюсу, то в северном полушарии сила Кориолиса направлена против хода вращения Земли, а в южном полушарии – по ходу вращения Земли.

По этой причине: a) течение Гольфстрим, текущее на север, отклоняется вправо и обогревает Северную часть Европы; b) реки, текущие в северном полушарии как на север, так и на юг подмывают правый берег; в южном полушарии реки подмывают левый берег; c) в северном полушарии правые рельсы изнашиваются сильнее левых; в южном полушарии, наоборот, левые рельсы изнашиваются сильнее правых. По этой причине: a) течение Гольфстрим, текущее на север, отклоняется вправо и обогревает Северную часть Европы; b) реки, текущие в северном полушарии как на север, так и на юг подмывают правый берег; в южном полушарии реки подмывают левый берег; c) в северном полушарии правые рельсы изнашиваются сильнее левых; в южном полушарии, наоборот, левые рельсы изнашиваются сильнее правых.

3) Поворот плоскости колебаний маятника Фуко Силы Кориолиса проявляются при качаниях маятника. Если маятник находится на северном полюсе, то сила Кориолиса направлена вправо по ходу движения маятника, если он находится на южном полюсе - влево. В итоге его траектория имеет вид розетки. Плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки и совершает за сутки один оборот. На экваторе маятник не отклоняется от прямой, поскольку Кориолиса равна нулю из-за того, что вектор скорости параллелен оси вращения. 3) Поворот плоскости колебаний маятника Фуко Силы Кориолиса проявляются при качаниях маятника. Если маятник находится на северном полюсе, то сила Кориолиса направлена вправо по ходу движения маятника, если он находится на южном полюсе - влево. В итоге его траектория имеет вид розетки. Плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки и совершает за сутки один оборот. На экваторе маятник не отклоняется от прямой, поскольку Кориолиса равна нулю из-за того, что вектор скорости параллелен оси вращения.

Маятник Фуко в парижском Пантеоне