2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; тел. моб.: СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

прочитанных лекций Презентации прочитанных лекций можно скачать по адресу:

Перенос праздничных дней 23 февраля занятий нет (праздничный день) ВМЕСТО 8 марта (праздничный день) лекция СОСТОИТСЯ 11 марта (воскресенье)

Из прошлой лекции

Сводка основных опытов и следствий из них. Корпускулярно-волновой дуализм. Электромагнитные волны Дифракция (Юнг 1803, Лауэ 1912) Световые кванты (фотоны) Дискретные значения физических величин Тепловое излучение черного тела (Планк 1900) Фотоэффект (Эйнштейн 1904) Эффект Комптона (1923) Комбинационный принцип (Ритц, Ридберг 1908) Удельная теплоемкость (Эйнштейн 1907, Дебай 1912) Опыт Франка и Герца (1913) Опыт Штерна и Герлаха (1922)

Лекция 2

Атом Бора

«Лирическое отступление» – «атом» у древних греков «… остаётся признать неизбежно Существованье того, что совсем неделимо, являясь По существу наименьшим.» Тит Лукреций Кар «О природе вещей»

«Лирическое отступление» – атом Бошковича Руджер Иосип Бошкович (18 мая 1711, Рагуз (ныне Дубровник, Хорватия) 13 февраля 1787, Милан) священник-иезуит, ученый, физик, математик. Создал оригинальную атомиcтическую теорию (атом как центр силы). Из книги Бошковича Теория натуральной философии, сведенная к единому закону сил, существующих в природе, изданной в Вене в 1758 г.: Я не допускаю совершенно непрерывную протяженность материи, но составляю ее из точек, совершенно неделимых и непротяженных, отделенных друг от друга неким интервалом и связанных некими силами, то притягательными, то отталкивательными, зависящими от расстояния между этими точками. Требуется, чтобы природа избегала во всем и во всех случаях скачков с помощью такой силы, которая при уменьшении расстояния возрастала бы до бесконечности, и притом так возрастала, чтобы она была способна обратить в ноль любую скорость, сколь угодно большую. Следовательно, мы приходим к силам отталкивания, возрастающим до бесконечности при уменьшении расстояния. Согласно гипотезе Бошковича, по мере увеличения расстояния между точками сила отталкивания, доминирующая при сверхмалых расстояниях, плавно переходит в силу притяжения, затем опять в силу отталкивания и так несколько раз.

«Лирическое отступление» – атом Томсона Джозеф-Джон Томсон ( ) - английский физик, Нобелевская премия 1906 г. по физике за работы, которые привели к открытию электрона. В гг. Томсон - профессор Кембриджского университета и руководитель Кавендишской лаборатории. С 1918 г. и до конца жизни - ректор Тринити-колледжа. Предложил модель строения атома. Атом Томсона

Эрнест Резерфорд ( ). Лауреат Нобелевской премии по химии 1908г. «За проведенные им исследования в области распада элементов в химии радиоактивных веществ». Открыл альфа- и бета-излучение. Открыл и объяснил радиоактивное превращение химических элементов, создал теорию радиоактивного распада. Предложил и экспериментально обосновал планетарную модель атома. Планетарная модель атома - Эрнест Резерфорд

Схема опыта Резерфорда по рассеянию α-частиц. K – свинцовый контейнер с радиоактивным веществом, Э – экран, покрытый сернистым цинком, Ф – золотая фольга, M – микроскоп Планетарная модель атома – Эрнест Резерфорд (1909). Из экспериментов по рассеянию - частиц были получены доказательства существования массивного ядра малого размера. Планетарная модель атома Рассеяние α-частицы в атоме Томсона (a) и в атоме Резерфорда (b).

Трудности модели – согласно классической электродинамике ускоренный электрон излучает э.-м. волны. он теряет энергию через сек он упадет на ядро. В действительности это не происходит. Для устранения противоречия и объяснения атомных спектров Н. Бор в 1913 г. сформулировал 2 постулата: 1) О стационарных состояниях: В атоме существуют орбиты, вращаясь по которым, электрон не излучает 2) О квантовых скачках: Излучение происходит только при перескоке электрона с одной стационарной орбиты на другую Планетарная модель атома и принципы квантования

Нильс Хенрик Давид Бор (7 октября 1885, Копенгаген 18 ноября 1962, Копенгаген) датский физик-теоретик и общественный деятель, один из создателей современной физики. Нобелевская премия по физике 1922г. - «За заслуги в исследовании строения атомов и испускаемого ими излучения». Создатель первой квантовой теории атома и активный участник разработки основ квантовой механики. Сформулировал количественно так называемый принцип соответствия, связывающий квантовую теорию с классической физикой. В рамках физической интерпретации квантовой механики сформулировал принцип дополнительности.

Формализм: Равенство сил для круговой орбиты (идеализированный атом водорода): При этом полная энергия E электрона на орбите: Кроме того, круговое движение характеризуется еще моментом количества движения (орбитальный момент) l: Согласно Бору, величина l не произвольна, а кратна ћ = h / 2 : Планетарная модель атома и принципы квантования Из (1) и (2) можно получить выражения для разрешенных значений:

Планетарная модель атома и принципы квантования Вспоминая комбинационный принцип Ритца, гласящий, что все частоты излучения можно получить, комбинируя различные термы, для которых получен явный вид: можно вычислить частоты переходов, как разности E n – E k.

«Волны материи»

В 1924 г. де Бройль представил свою работу "Исследования по квантовой теории" ("Researches on the Quantum Theory") в качестве докторской диссертации факультету естественных наук Парижского университета. В 1929 г. "за открытие волновой природы электронов" был удостоен Нобелевской премии по физике Луи де БРОЙЛЬ (Broglie) Закончил факультет искусств и литературы Парижского университета, где в 1910 г. получил степень бакалавра. Затем увлекся физикой и в 1913 г. получил ученую степень по физике на факультете естественных наук Парижского университета. В том же году был призван на военную службу и зачислен во французский инженерный корпус. После начала в 1914г. первой мировой войны он служил в радиотелеграфном дивизионе и провел большую часть военных лет на станции беспроволочного телеграфа при Эйфелевой башне. Через год после окончания войны он возобновил свои занятия физикой в частной лаборатории своего брата. Изучал поведение электронов, атомов и рентгеновских лучей.

Идея де Бройля (по аналогии со струной): Движение электрона по орбите будет устойчивым, если на длине орбиты укладывается целое число n «длин волн электрона» : Гипотеза де Бройля. Де Бройль пытался понять физический смысл постулатов Бора. Точнее, смысл квантования орбитального момента: Вопрос де Бройля: Если свет ведет себя то как волна, то как частица (фотон), то не является ли такой дуализм свойством не только фотона, но и других частиц? Фотон, как частица, характеризуется энергией E и импульсом p. Импульс фотона простым образом связан с волновым вектором k электромагнитной волны: Вместе с постулатом Бораэто дает:

Гипотеза де Бройля. В статье "Интерпретация квантовой механики" Луи де Бройль писал: "Я старался представить себе корпускулу как очень маленькое местное нарушение, включённое в волну, а это привело меня к тому, чтобы рассматривать корпускулу как своего рода маленькие часы, фазы которых всегда должны быть согласованы с фазами той волны, с которой они объединены. …Я смог установить следующие основные формулы между энергией E и количеством движения p свободно движущейся корпускулы, с одной стороны, частотой и длиной волны λ ассоциированной плоской монохроматической волны, с другой стороны. где h - постоянная Планка. Эти формулы, будучи применёнными к фотону, содержали, как частный случай, формулы световых квант (то, что мы сейчас называем фотонами)"

Волновые свойства частиц. Дэвиссон и Джермер открыли (1927) дифракцию электронов на монокристалле никеля. Схема и результаты опыта Дэвиссона Джермера: К монокристалл никеля; А источник электронов; В приёмник электронов; угол отклонения электронных пучков. Пучок электронов падает на отшлифованную плоскость кристалла S. При поворотах кристалла вокруг оси О гальванометр, присоединённый к приёмнику В, даёт периодически возникающие максимумы. Электронные волныОпыт Дэвиссона-Джермера (1927)

Опыт Дэвиссона-Джермера Схема опыта Дэвиссона и Джермера. П электронная пушка, К коллектор (гальванометр), d постоянная решетки, (р угол скольжения пучка, Кр кристалл (зачерненные кружки атомы, находящиеся в узлах решетки) Отраженный луч наблюдается только в том случае, если длина волны соответствует условию Брэгга: где угол скольжения, d постоянная решетки, n порядок интерференции.

Немного цитат «Если это правильно, то это означает конец физики как науки» (А. Эйнштейн, 1913 г.). «Я убежден, что это учение является роковым для здорового развития науки» (А. Шустер, 1913 г.). «Атом существует вечно, мы это бесспорно знаем. Но понимаем ли мы это? Нет, не понимаем. Наше непонимание мы прикрываем непонятными же квантовыми условиями. Процесс лучеиспускания это акт возрождения разрушенного атома. Механизм его нам непонятен. Свое непонимание мы вновь прикрываем непонятным квантовым условием, второй гипотезой Бора... Весь этот метод Бора основан на квантовании совершенно слепом, мало логическом процессе мысли, на формальной, если можно так выразиться, интуиции» (Д. С. Рождественский, 1919 г.). «Теория квантов подобна другим победам в науке: месяцами вы улыбаетесь им, а затем годами плачете» (Г. Крамерс, 1920 г.).

Немного цитат «Законы квантования в своей теперешней формулировке носят до некоторой степени теологический характер, для натуралиста совершенно неприемлемый, так что многие ученые по справедливости возмущаются этими Bauern-Regeln (крестьянскими законами)» (П. Эпштейн, 1922 г.). «Мы неизмеримо далеки от такого описания атомного механизма, которое позволило бы проследить, например, все движения электрона в атоме или понять роль стационарных состояний... Теорию квантов можно сравнить с лекарством, излечивающим болезнь, но убивающим больного». (Г. Крамерс, X. Гольст, 1923 г.) «Все это очень красиво и крайне важно, но, к сожалению, не очень понятно. Мы не понимаем ни гипотезы Планка об осцилляторах, ни запрета нестационарных орбит, и мы не понимаем, как же, в конце концов, образуется свет согласно теории Бора. Не подлежит сомнению, что механику квантов, механику дискретного, еще предстоит создать» (Г.А. Лоренц, 1923 г.). «Физика теперь снова зашла в тупик, во всяком случае для меня она слишком трудна, и я предпочел бы быть комиком в кино или кем-нибудь вроде этого и не слышать ничего о физике!» (В. Паули, 21 мая 1925 г.).

Принципы неопределенности и дополнительности

Принцип неопределенности Оценка длины волны, полученная де Бройлем для электронов, приводит к странным последствиям. Сравним количественные значения длины волны с размерами 1-ой стационарной орбиты атома водорода, вычисленного по теории Бора. Подстановка в (*) скорости электрона на 1-ой орбите дает значение Вспоминая, что радиус этой орбиты немедленно получаем отношение Это означает, что на размерах орбиты укладывается 1/6 периода! Тем самым теряется смысл разговоров о «траектории» электрона в атоме. Дело в том, что для оценки длины волны, мы должны достаточно ТОЧНО знать значение скорости электрона. Оказывается, этого достаточно, чтобы НЕТОЧНОСТЬ в определении его положения превысила размеры системы, в которой он находится.

Принцип неопределенности В общем виде принцип неопределенности был сформулирован Гейзенбергом в 1927 г. Согласно этому принципу, невозможно одновременно точно определить значения некоторых пар физических величин, описывающих атомную систему. Величины, входящие в пары, представляют собой канонически сопряженные переменные в смысле Гамильтона. Примерами таких пар являются: - координата частицы x и соответствующая компонента импульса p x ; - z-компонента J z момента импульса и угол поворота в плоскости xy; - энергия частицы E и момент времени t ее измерения. В количественной формулировке принцип неопределенности утверждает, что произведение неопределенностей двух сопряженных переменных по порядку величины не меньше постоянной Планка Другими словами, невозможно точно определить значение одной из величин пары, не потеряв при этом всех сведений о второй величине.

Чтобы выразить смысл и значение принципа неопределенности в более «физических» терминах, Бор в 1928 г. ввел новый принцип дополнительности. Согласно этому принципу, атомные явления невозможно описывать с той полнотой, какая требуется классической динамикой. Ряд величин, дополняющих друг друга и дающих полное классическое описание, фактически являются «взаимоисключающими». Формулировки принципа дополнительности: Ни в каком эксперименте невозможно одновременно наблюдать корпускулярные и волновые свойства микрочастиц. В дальнейшем была предложена более общая формулировка, содержащая предыдущую как частный случай: получение экспериментальной информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах. Принцип дополнительности.

С точки зрения экспериментатора, принцип дополнительности означает, что, в силу свойств физических приборов, измерения, точность которых превышает требования принципа неопределенности, вообще невозможны. Если исходить из принципа дополнительности, то корпускулярно-волновой дуализм квантовых объектов перестает быть парадоксальным: волновой и корпускулярный аспекты оказываются дополнительными и проявляются во взаимоисключающих экспериментальных условиях. Всякая попытка выявить один из аспектов, требует соответствующего экспериментального устройства, которое лишает нас возможности наблюдать другой аспект поведения объекта. Принцип дополнительности.

Опыты по измерению физических величин. Измерение координаты. Измерение координаты частицы P с помощью одного из рассеянных квантов Q, который фокусируется линзой L на экране S. Максимальная разрешающая способность линзы Импульс фотона после рассеяния Неопределенность x-компоненты импульса фотона Согласно закону сохранения импульса неопределенность импульса частицы после рассеяния равна неопределенности импульса фотона Отсюда немедленно следует

Измерение импульса. Пусть частица - это атом в возбужденном состоянии. Когда он неподвижен, то испускает фотон с частотой 0. Из-за эффекта Доплера при движении атома к наблюдателю со скоростью v наблюдаемая частота будет приближенно определяться формулой так что Достаточно точное измерение импульса mv путем измерения частоты требует относительно большого времени. Минимальная ошибка

Таким образом, момент испускания фотона определяется только с точностью до. В этот момент импульс атома уменьшается на / c, а его скорость – на / mc. Соответственно из-за конечности в координату атома вносится неопределенность Неопределенность импульса составляет а произведение x p :

Дифракционный опыт. Пусть R>>a>>, тогда распределение интенсивности в дифракционной картинке определяет распределение y-компонент импульса фотонов за диафрагмой. Фотон, который регистрируется индикатором С, передает ему импульс в направлении y с неопределенностью p y.

Чтобы дифракционная картинка сохранилась, неопределенность p y должна быть много меньше импульса, необходимого для попадания фотона в соседний минимум Из теории дифракции известно, что Чтобы знать через какую щель прошел фотон, неопределенность y-координаты индикатора должна быть Таким образом

Дифракция электронов при прохождении сквозь фольгу. Распределение электронов по фотопластинке: а) при небольшом числе электронов; б) при большом их числе.

Схема опыта по дифракции электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – золотая фольга. Дифракция электронов на поликристаллическом образце при длительной (a) и короткой (b) экспозиции. В случае (b) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку.

Дифракция электронов на щели. График справа – распределение электронов на фотопластинке Дифракция электронов на двух щелях

Волновая функция

Волновая функция. Соотношение между импульсом и длиной волны: Это справедливо и для фотонов, и для частиц вещества. То, что квантовые частицы проявляют волновые свойства, наводит на мысль использовать для их описания волновую функцию, зависящую от пространственных координат и времени и обладающую следующими свойствами: 1.Функция может интерферировать сама с собой; 2.Абсолютное значение велико там, где наиболее вероятно нахождение частицы или фотона; 3.Функция описывает поведение отдельной частицы или фотона, а не статистическое распределение многих частиц. Соотношение между энергией кванта и частотой колебаний:

«Волна – частица»

Волновые пакеты в пространстве и времени. Волновые образования в ограниченной области пространства – волновые пакеты. - средняя длина волны, x – приблизительный размер пакета

Ряд и интеграл Фурье Периодическая функция может быть представлена в виде ряда Другая форма записи этого ряда: Для представления апериодических функций используется интеграл Фурье:

Можно показать, что

Аналогично можно исследовать зависимость от времени Соотношение между интервалом времени и разбросом коэффициентов Фурье по частотам дается выражением Используя, получаем Замечание: Из-за дисперсии скорости волновые пакеты, вообще говоря, расплываются со временем. Поэтому, строго говоря, нельзя отождествлять частицу с некой локализованной в пространстве совокупностью волн.

Дополнительная литература к лекции 2 1.В.А. Фок, КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И СТРОЕНИЕ МАТЕРИИ, Изд. ЛГУ, М. Борн, АТОМНАЯ ФИЗИКА, М., Мир, Луи де Бройль, РЕВОЛЮЦИЯ В ФИЗИКЕ, Госатомиздат, Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко, НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, М.: Физматлит, 2004.