Методы математического моделирования Дисциплина для магистерской подготовки по направлению «Радиотехника» Автор: Исаев Владимир Александрович, к.т.н., доцент Великий Новгород, 2012

Лекция 3 ( ) Методы теории случайных величин (продолжение)

Информационные ресурсы по дисциплине

ГОСТ Р (Статистические методы) ГОСТ Р Статистические методы. Основные положения ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Точечная оценка и доверительный интервал для среднего ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Сравнение двух средних в парных наблюдениях ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Оценка медианы ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Мощность тестов для средних и дисперсий

Функции распределения случайных величин Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с

Виды случайных величин В практических задачах обычно используются два вида случайных величин дискретные и непрерывные, хотя бывают и такие случайные величины, которые не являются ни дискретными, ни непрерывными. Примечание: Чтобы дать полное математическое описание случайной величины, надо указать множество ее значений и соответствующее случайной величине распределение вероятностей на этом множестве.

Дискретные случайные величины Дискретные случайные величины обладают тем свойством, что мы можем перечислить (перенумеровать) все их возможные значения. Таким образом, для задания распределения вероятностей, порожденных дискретными случайными величинами, надо только указать вероятности каждого возможного значения этой случайной величины. Например, число очков, выпавших при бросании игральной кости, это дискретная случайная величина, так как она может принимать только 6 значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Для определения вероятностей любых событий, связанных с этой случайной величиной, нам надо только указать вероятности каждого из этих значений.

Функция распределения Пусть ξ обозначает случайную величину, принимающую вещественные значения, x вещественное число. Определение. Функцией распределения F(x) случайной величины ξ называют F(x) = P(ξ x). Ясно, что функция F(x) монотонно возрастает с ростом x (точнее сказать, не убывает, потому что могут существовать участки, на которых она постоянна). У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны. Это точки разрыва F(x). На рисунке (см. след.слайд) приведен график функции распределения для описанной выше случайной величины суммы очков, выпавшей при бросании двух игральных костей

График функции распределения для суммы очков, выпавшей при бросании двух игральных костей

Непрерывные случайные величины. Для случайной величины, принимающей вещественные значения, то свойство, что вероятность любого отдельного ее значения равна нулю, может легко быть выражено через функцию распределения. Определение. Случайную величину, принимающую вещественные значения, называют непрерывной, если непрерывна ее функция распределения. Непрерывным в этом случае называют и соответствующее распределение вероятностей. Для непрерывного распределения вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. На этом и основано противопоставление непрерывных и дискретных распределений ведь для последних вся единичная вероятность распределена конечными положительными порциями. Для непрерывных же она как бы «разлита» по области определения случайной величины (в данном случае по прямой).

Термины, используемые в теории вероятностей ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.

ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАБЛЮДЕНИЯМ И К РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОВЕРОК (по ГОСТ Р ) 3.1. (измеримая) величина; физическая величина Признак явления, материала или вещества, который можно различить качественно и определить количественно [п. 1]. Примечания 1. Термин «величина» может относиться к количеству в общем смысле, например длина, время, масса, температура, электрическое сопротивление, или к определенным установленным величинам, например длина определенного стержня, электрическое сопротивление определенной проволоки. 2. Величины, которые взаимно сравнимы, можно объединять в количественные категории, например: - работа, тепло, энергия; - толщина, периметр, длина волны. 3. Символы для величин приведены в ИСО ИСО Измеримые величины можно определить количественно.

ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАБЛЮДЕНИЯМ И К РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОВЕРОК (по ГОСТ Р ) 3.2. истинное значение (величины) Значение, которое идеальным образом определяет величину при тех условиях, при которых эту величину рассматривают [п. 1]. Примечание - Истинное значение - теоретическое понятие, которое нельзя определить точно действительное значение (величины) Значение величины, которое для данной цели можно рассматривать как истинное [п. 1], [п. 2]. Примечания 1. Действительное значение в общем смысле рассматривают как достаточно близкое к истинному значению, поскольку разница не имеет большого значения для данной цели. 2. Значение, приписанное в организации некоторому эталону, можно рассматривать как действительное значение величины, воспроизводимой этим эталоном.

ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАБЛЮДЕНИЯМ И К РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОВЕРОК (по ГОСТ Р ) 3.4. принятое нормальное значение значение величины, служащее согласованным эталоном для сравнения и определяемое как: а) теоретическое или установленное значение, основанное на научных принципах; b) принятое или сертифицированное значение, основанное на экспериментальных данных некоторых национальных или международных организаций; с) согласованное (на основе консенсуса) или сертифицированное значение, основанное на совместной экспериментальной работе, проводимой научным или инженерным коллективом; d) когда а), b) и с) не подходят, математическое ожидание измеримой величины, то есть среднее арифметическое измерений конкретной совокупности.

Учебное задание Познакомиться с содержанием учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с.; Изучить содержание разделов 1.4,1.5 учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с.; Примечание: учебные материалы размещены на портале НовГУ (учебные материалы > Исаев Владимир Александрович > папка МММ > …)

Список литературы 1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с. 2. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учеб. пособие для вузов по специальности ЭВМ /Под ред. А.Н.Лебедева и Е.А.Чернявского. – М.: Высшая школа, – 312 с. 3.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, – 496 с. 4. Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, – 295с. 5. Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ, – 35с. 6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, – 320 с.

Список литературы (продолжение) 7. Введение в математическое моделирование. Под ред. П.В. Трусова, В Н. Ашихмина и др. - М.: Логос, с. 8. ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения. 9. ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение. 10. ГОСТ Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения.

Приложение 1 Глоссарий по дисциплине «Методы математического моделирования»

Глоссарий по математическому моделированию Модели́рование исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Компьютерная модель (англ.computer model), или численная модель (англ. computational model) компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров(вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы.

Глоссарий по математическому моделированию Имитационное моделирование – воспроизведение (имитация) процессов функционирования исследуемой (моделируемой) системы, с соблюдением основных закономерностей их логики и временнóй последовательности. Вид математического моделирования. Как правило, имитационное моделирование реализуется средствами вычислительной техники и используется при моделировании сложных (нелинейных, стохастических, с большим числом элементов и связей между ними) систем, для которых невозможно построить аналитическую модель. Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных траекторий динамики моделируемого объекта. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние объекта или параметры модели) и рассчитывается одна траектория.

Глоссарий по математическому моделированию То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, в каких случаях (при каких значениях начальных условий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.

Глоссарий по математическому моделированию Граф это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

Приложение 2 Образовательный математический сайт Кирьянов Д.В. Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (около часа экранного видео).

Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (в свободном доступе) Урок 1. Основные сведения о Mathcad Урок 2. Управление файлами Урок 3. Устройство интерфейса Mathcad Урок 4. Ввод формул Урок 5. Типы данных Урок 6. Операторы и функции Урок 7. Пример: алгебраические вычисления Урок 8. Пример: производные и интегралы Урок 9. Пример: алгебраические уравнения Урок 10. Пример: дифференциальные уравнения

Приложение 3 StatSoft, Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. WEB:

Содержание электронного учебника по статистике - Элементарные понятия статистики -Основные статистики -…… -Анализ процессов -…… -Дискриминантный анализ -Дисперсионный анализ -…… -Множественная регрессия -…… -Непараметрические методы -Планирование эксперимента -Факторный анализ

Спасибо за внимание! Тел.: (8162)