1 ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление специальность – Управление и информатика в технических системах МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 14 Подэтапы третьего этапа моделирования. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Подэтапы третьего этапа моделирования. Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Цель изучения материала: изучить подэтапы третьего этапа моделирования, научиться получать и интерпретировать результаты моделирования систем, изучить характеристики и сущность метода статистического моделирования систем на ЭВМ, изучить основные предельные теоремы теории вероятности, научиться строить статистические модели. Компетенций, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; использовать современные технологии моделирования систем.

4 Подэтапы третьего этапа моделирования. Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Содержание лекции 14 Подэтапы третьего этапа моделирования. Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования. Основные предельные теоремы теории вероятности. Примеры статистического использования

5 Подэтапы третьего этапа моделирования Планирование машинного эксперимента с моделью системы. Планирование машинного эксперимента с указанием комбинаций переменных и параметров позволяет получить максимальный объём необходимой информации об объекте моделирования при минимальных затратах машинных ресурсов Определение требований к вычислительным средствам. Необходимо сформулировать требования по времени использования вычислительных средств, т.е. составить график работы на одной или нескольких ЭВМ, а также указать те внешние устройства ЭВМ, которые потребуются при моделировании.

6 Подэтапы третьего этапа моделирования Проведение рабочих расчётов. Рабочие расчёты на ЭВМ включают в себя: а) подготовку наборов исходных данных для ввода в ЭВМ; б) проверку исходных данных, подготовленных для ввода; в) проведение расчётов на ЭВМ; г) получение выходных данных, т.е. результатов моделирования.

7 Подэтапы третьего этапа моделирования Анализ результатов моделирования системы. Планирование машинного эксперимента с моделью позволяет вывести необходимое количество выходных данных и определить метод их анализа. Вычисление статистических характеристик перед выводом результатов на ЭВМ повышает эффективность применения машины и сводит к минимуму обработку выходной информации после её вывода на ЭВМ.

8 Подэтапы третьего этапа моделирования Представление результатов моделирования. Форма представления окончательных результатов моделирования может быть в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т.п. Наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы S Интерпретация результатов моделирования. Интерпретация результатов – переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью к информации применительно к объекту моделирования. На основании этой информации будут делаться выводы относительно характеристик процесса функционирования исследуемой системы S.

9 Подэтапы третьего этапа моделирования Подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций. При подведении итогов моделирования - должны быть отмечены главные особенности результатов, полученных в соответствии с планом эксперимента над моделью, - проведена проверка гипотез и предложений и сделаны выводы на основании этих результатов, - сформулированы рекомендации по практическому использованию результатов моделирования.

10 Подэтапы третьего этапа моделирования Составление технической документации по третьему этапу. Эта документация должна включать в себя: а) план проведения машинного эксперимента; б) наборы исходных данных для моделирования; в) результаты моделирования системы; г) анализ и оценку результатов моделирования; д) выводы по полученным результатам моделирования; е) указания путей дальнейшего совершенствования машинной модели и возможных областей ее приложения.

11 Подэтапы третьего этапа моделирования. Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполнению перечисленных этапов моделирования. На этапе построения концептуальной модели проводится исследование моделируемого объекта, определяются необходимые аппроксимации и строится обобщенная схема модели, которая преобразуется в машинную модель на втором этапе моделирования путем последовательного построения логической схемы модели и схемы программы. На последнем этапе моделирования проводят рабочие расчеты на ЭВМ, получают и интерпретируют результаты моделирования системы S.

12 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Сущность метода статистического моделирования. На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло). Этот метод базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей.

13 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Сущность метода статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учётом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

14 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Сущность метода статистического моделирования. Различают две области применения метода статистического моделирования: - для изучения стохастических систем; - для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой стохастической системы. Выходные характеристики стохастической системы совпадают с результатом решения детерминированной задачи.

15 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Сущность метода статистического моделирования. В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций. Статистическая обработка этих значений позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени.

16 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N.

17 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g( ) случайной величины и любого К > 0 выполняется неравенство P {g( ) K} M [g( )] / K.(4.1) В частности, если g( ) = ( – x) 2 и K = k 2 2, где x – среднее арифметическое; – среднее квадратичное отключение, то P { – x k } 1/k 2.(4.2)

18 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью p, то относительная частота появления события m/N при N сходится по вероятности к p, т.е. при любом 0 { m/N – p } = 0,(4.3) где m – число положительных исходов испытания.

19 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i-м испытании равна p i, то относительная частота появления события m/N при N сходится по вероятности к среднему из вероятностей p i, т.е. при любом 0 { m/N – } = 0. (4.4)

20 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения х 1,..., x N случайной величины, то при N среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию a, т.е. при любом 0 { } = 0.(4.5)

21 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Обобщенная теорема Чебышева. Если 1,..., N – независимые случайные величины с математическими ожиданиями a 1,..., a N и дисперсиями 1 2,..., 2 N, ограниченными сверху одним и тем же числом, то при N среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий: { } = 0. (4.6)

22 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Центральная предельная теорема. Если 1,..., N – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание a и дисперсию 2, то при N закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному: { ( – Na ) / < } = = = Ф0( ) – Ф0( ). Здесь интеграл вероятностей Ф0( ) =.

23 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Основные предельные теоремы теории вероятности Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р, то { α < ( m – Np ) / < β } = Ф0(β) – Ф0(α), где m – число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

24 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Рассмотрим сущность метода статистического моделирования на примерах.

25 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. В качестве оценки математического ожидания М[y], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле, где у i – случайное значение величины у; N – число реализаций, необходимое для статистической устойчивости результатов. Структурная схема системы S R показана на рис

26 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. Рис Структурная схема системы SR yiyi h i '' λ i x i h i ' h i ViVi система S R В2В2 К2К2 СИК1К1 В1В1 φ iφ i Внешняя среда Е

27 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. Здесь элементы выполняют следующие функции: вычисление В1: и В2: ; возведение в квадрат К1: и К2: ; суммирование С: ; извлечение квадратного корня И:.

28 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М[y] системы S R, приведена на рис Рис Схема моделирующего алгоритма системы S R

29 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. В схеме LA и FI – функции распределения случайных величин λ и φ; N – заданное число реализаций; Ii – номер текущей реализации; LAIλi; FIIφi; EXPe; MYM[y], SY – суммирующая ячейка; ВИД[…], ГЕН[…], ВРМ[…] – процедуры ввода исходных данных, генерации псевдослучайных последовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно.

30 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 1. Таким образом, данная модель позволяет получить методом статистического моделирования на ЭВМ статистическую оценку математического ожидания выходной характеристики М[y] рассмотренной стохастической системы S R. Точность и достоверность результатов взаимодействия будут определяться числом реализаций N.

31 Подэтапы третьего этапа моделирования. Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Выводы и заключение по лекции: изучили подэтапы третьего этапа моделирования, научились получать и интерпретировать результаты моделирования систем, изучили характеристики и сущность метода статистического моделирования систем на ЭВМ, изучили основные предельные теоремы теории вероятности, научились строить статистические модели.

32 Подэтапы третьего этапа моделирования. Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. Список дополнительной литературы по теме: 3. Дружинина О.Г. Имитационное моделирование автоматизированных систем обработки информации с помощью GPSS: методическая разработка к курсовому проектированию по дисциплине «Моделирование систем». Екатеринбург: УГТУ – УПИ, с. 4. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учебное пособие для втузов. М.: Высш. шк., с.: ил. 5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука с. 6. Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики/ Пер. с чешск., Предисл. Ю.Н. Тюрина, Д.С Шмерлинга. М.: Финансы и статистика, с.: ил.