«Арифметика политика» «Арифметика политика» Выполнила студентка 64 группы Лагутина Екатерина
Первая часть книги – «Арифметика политика» объемом 218 двойных страниц. В этой книге очень многое почерпнуто из рукописей, в обработанном виде. Такая преемственность имела большое воспитательное значение. Вместе с тем в этой книги немало нового, начиная с обучения арифметическим действиям. посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубическим), посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубическим), весь материал расположен гораздо более систематически, весь материал расположен гораздо более систематически, существенно обновлены задачи, существенно обновлены задачи, исключены сведения о счете костьми и дощаном счете, исключены сведения о счете костьми и дощаном счете,
современная нумерация окончательно вытесняет алфавитную и старый счет на тьмы, легионы и пр. заменен общепринятыми в Европе миллионами, биллионами, триллионами и квадриллионами (каждый класс содержит шесть десятичных разрядов). современная нумерация окончательно вытесняет алфавитную и старый счет на тьмы, легионы и пр. заменен общепринятыми в Европе миллионами, биллионами, триллионами и квадриллионами (каждый класс содержит шесть десятичных разрядов). впервые в наших учебниках, высказана идея бесконечности натурального ряда: впервые в наших учебниках, высказана идея бесконечности натурального ряда: «Число есть бесконечно, «Число есть бесконечно, умом нам недотечно умом нам недотечно Ни кто не знает конца, Ни кто не знает конца, Кроме всех Бога творца». Кроме всех Бога творца». Стихи вообще нередко встречаются в «Арифметике»: в такой форме Магницкий любил высказывать поучения, общие выводы и советы читателю. Стихи вообще нередко встречаются в «Арифметике»: в такой форме Магницкий любил высказывать поучения, общие выводы и советы читателю.
«Арифметика политика» состоит из 5 частей: 1.О числах целых. 2.О числах ломаных, или с долями. 3.О правилах подобных, в трех, в пяти и в седми перечнях. 4.О правилах фальшивых, еже есть гадательных. 5.О правилах радиксов, квадратных и кубических, геометрии принадлежащих.
рассмотрены целые числа и 5 действий - нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. рассмотрены целые числа и 5 действий - нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. даются определения действий и правила их выполнения (в отличие от рукописей XVIIв.) даются определения действий и правила их выполнения (в отличие от рукописей XVIIв.)определения действий определения действий свойства действий не рассматривались. свойства действий не рассматривались. основное внимание уделялось правилам действий и разбору многочисленных примеров. основное внимание уделялось правилам действий и разбору многочисленных примеров. приведено по нескольку способов умножения (на 7, на 9) и деления. приведено по нескольку способов умножения (на 7, на 9) и деления.на 7на 9на 7на 9 знаки действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках того времени). знаки действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках того времени). значительное внимание уделялось способам проверки арифметических действий. Для проверки вычитания и деления применялись обратные действия, для всех действий - проверка с помощью 9, значительное внимание уделялось способам проверки арифметических действий. Для проверки вычитания и деления применялись обратные действия, для всех действий - проверка с помощью 9,проверка с помощью 9,проверка с помощью 9,
Действия. «Нумерацио»: « «Нумерацио»: «Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях содержатся и изображаются аще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, из них же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою или ничем именуется) егда убо едино стоит, тогда само о себе ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение будет, тогда умножает в десятеро». «Сложение»: «Аддицио есть двух или многих числ во едино собрание, или во един перечень совокупление». «Вычитание»: «Субстракцио есть имже малое число, из болшего вычитаем и излишнее объявляем» - не как действие обратное сложению, а как самостоятельная операция. «Умножение»: «Умножение есть, имже что в числах умножаем, или коликим вещам по множеству иных вещей раздаем: и количество их числом показуем» - умножение сводится к повторному сложению совокупностей предметов. «Деление»: «Деление есть имже болшее число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них же едину числом же показуем» назад назадназад
ПРОВЕРКА ЧИСЛОМ 9 Проверка числом 9 состоит в том, что отдельные слагаемые делят на 9, складывают получившиеся при этом остатки. Если сумма остатков (или остаток от деления ее на 9) совпадает с остатком от деления суммы слагаемых на 9, то действие считается произведенным правильно. Проверка 9 имеет ряд ограничений, Магницкий же ошибочно рекомендует этот способ без них = =41 25:9=2(ост 7), 16:9=1(ост 7) 7+7=14 14:9=1(ост 5) и 41:9=4(ост 5) 5=5
далее идут именованные числа, которым предпосылается обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах «Московского государства и окрестных некиих» далее идут именованные числа, которым предпосылается обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах «Московского государства и окрестных некиих» 3 сравнительных таблицы мер, веса и денег. 3 сравнительных таблицы мер, веса и денег. этот трактат, отличается замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. этот трактат, отличается замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. он имеет несомненную историческую значимость, так как дает сведения о системах мер и денежном обращении России. он имеет несомненную историческую значимость, так как дает сведения о системах мер и денежном обращении России. что касается именованных чисел, то в книге автор знакомит читателя с их сложением и вычитанием, а также с «раздроблением» и «превращением», которые рассматривает как деление и умножение. что касается именованных чисел, то в книге автор знакомит читателя с их сложением и вычитанием, а также с «раздроблением» и «превращением», которые рассматривает как деление и умножение. действия с именованными числами выполняются обычным способом. действия с именованными числами выполняются обычным способом.
подробно излагаются дроби. подробно излагаются дроби. впервые в русской математической литературе дается определение дробей впервые в русской математической литературе дается определение дробейопределение излагаются арифметические действия с дробями - нумерацию, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление. излагаются арифметические действия с дробями - нумерацию, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление.
«Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь 1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число» Не случайно изучение дробей следовало за отделом об именованных числах и системах мер: дробь понималась Магницким не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но как доли величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как некое целое, состоящее из меньших единиц (полтина - 50 копеек, например). Не случайно изучение дробей следовало за отделом об именованных числах и системах мер: дробь понималась Магницким не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но как доли величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как некое целое, состоящее из меньших единиц (полтина - 50 копеек, например).
содержит тройные правила, изложенные, в отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. содержит тройные правила, изложенные, в отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. кроме обычного тройного правила, в целых и долях различаются «возвратительное», т. е. обратное тройное правило; «правило тройное сократительное», в котором возможно предварительное сокращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин. кроме обычного тройного правила, в целых и долях различаются «возвратительное», т. е. обратное тройное правило; «правило тройное сократительное», в котором возможно предварительное сокращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин. в этой части прямо связано тройное правило с пропорциональностью величин, однако сколько- нибудь развитое учение о пропорциях у него отсутствует. в этой части прямо связано тройное правило с пропорциональностью величин, однако сколько- нибудь развитое учение о пропорциях у него отсутствует.
изложены правила ложного положения. Рассмотрены не 2, а 3 случая правила 2 ложных положений (в отличие от своих русских и иностранных предшественников): 1) когда оба положения больше искомого; 2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое меньше. изложены правила ложного положения. Рассмотрены не 2, а 3 случая правила 2 ложных положений (в отличие от своих русских и иностранных предшественников): 1) когда оба положения больше искомого; 2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое меньше. имеются также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое специально не выделины. имеются также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое специально не выделины.задачи этим заканчивается та часть «Арифметики», которая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание для русского читателя было новым – пятая часть. этим заканчивается та часть «Арифметики», которая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание для русского читателя было новым – пятая часть.
учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней (относит к алгебре). учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней (относит к алгебре). приводит много примеров приложения алгебраического материала к военному и морскому делу. приводит много примеров приложения алгебраического материала к военному и морскому делу. возвращается к «подобенствам», или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям - арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о «гармонических». возвращается к «подобенствам», или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям - арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о «гармонических».прогрессиям арифметическимгеометрическимпрогрессиям арифметическимгеометрическим
«Прогрессио есть пропорция или подобенство числ к числам в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев».
«Арифметическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа коеждо их друг от друга равное разнство, но разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 6, 8, 10, 12 или не единаким, яко 2,4,5,7,8,10,11,13».
«Геометрическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа, едину и туюжде между собою пропорцию, но разнства различная имут, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, или не единаким, яко 2, 4, 6, 12, 18».
рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии, свойства арифметических прогрессий и правило для вычисления ее суммы, рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии, свойства арифметических прогрессий и правило для вычисления ее суммы,правило формула для общего члена не дается, правило формулируется для конкретного (14-го) члена прогрессии формула для общего члена не дается, правило формулируется для конкретного (14-го) члена прогрессииправило изложение геометрической прогрессии начинается определением ее знаменателя изложение геометрической прогрессии начинается определением ее знаменателяопределением формул для нахождения общего члена и суммы членов геометрической прогрессии в книги нет, при решении задач пользуются описательным способом. формул для нахождения общего члена и суммы членов геометрической прогрессии в книги нет, при решении задач пользуются описательным способом.
квадратному корню посвящена статья "О радиксе квадратном". квадратному корню посвящена статья "О радиксе квадратном". дается геометрическое определение квадратного корня, дается геометрическое определение квадратного корня, определяется сторона квадрата по его площади и помещается в табличку квадратов от 1 до 12, определяется сторона квадрата по его площади и помещается в табличку квадратов от 1 до 12, делается вывод, что всякое число может быть квадратом и подробно на примере описывает способ извлечения квадратного корня из целых и дробных чисел. делается вывод, что всякое число может быть квадратом и подробно на примере описывает способ извлечения квадратного корня из целых и дробных чисел. приближенное значение корня он получает приписыванием пар нулей справа. приближенное значение корня он получает приписыванием пар нулей справа. по аналогии вводится и понятие о кубическом корне, которому посвящена статья «О радиксе кубическом» по аналогии вводится и понятие о кубическом корне, которому посвящена статья «О радиксе кубическом»
интересны задачи к статье «О радиксе кубическом», среди которых есть задачи на замену куба несколькими равновеликими между собой кубами. интересны задачи к статье «О радиксе кубическом», среди которых есть задачи на замену куба несколькими равновеликими между собой кубами.задачи сведения о десятичных дробях сведения о десятичных дробяхдесятичных дробяхдесятичных дробях рассматривается сложение десятичных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения. рассматривается сложение десятичных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения. рассматриваются шестидесятеричные дроби рассматриваются шестидесятеричные дроби линейные, квадратные и биквадратные уравнения линейные, квадратные и биквадратные уравнения правила извлечения корней высших степеней правила извлечения корней высших степеней основы алгебраического исчисления – вплоть до деления многочленов. основы алгебраического исчисления – вплоть до деления многочленов.
«Некоторый куб имеет сторону 28 вершков. Из него надо сделать 8 одинаковых меньших кубов. Определить сторону куба».
«иной член арифметики... яже децималь или десятная именуется, сиречь в десятных частях, или в сотых, или в тысящных и множайших».
«Первый предел и последний сложи, и то сложение сумножи с половиною всех пределов».
«Разнством сумножи 13 мест, и первый предел к тому приложи, и будет последний предел».
«Идеже достоит умствовати яко егда, два числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяется, и произведение бывает пропорция, или умноженное число, имже прогрессия возвышается или вознижается». «Идеже достоит умствовати яко егда, два числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяется, и произведение бывает пропорция, или умноженное число, имже прогрессия возвышается или вознижается».
Таблица умножения семь на семь «Способ к твержению таблицы по перстам ручным…» Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в данном примере 4 десятка и 9 единиц). Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в данном примере 4 десятка и 9 единиц).
Движение пальца (умножение на 9). Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук слева направо. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук слева направо. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.
О правилах «фальшивых» и «гадательных». Задача. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и и пол столько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе? Решение с помощью «фальшивого» правила. Предположим, что в классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем полстолько, затем четверть столько и, наконец, еще один ученик, то всего получится =67учеников. Не угадали. Если предположить, что в классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки,получим =89учеников. Опять не угадали. Действуя согласно «фальшивому» правилу, находим: Решение с помощью «фальшивого» правила. Предположим, что в классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем полстолько, затем четверть столько и, наконец, еще один ученик, то всего получится =67учеников. Не угадали. Если предположить, что в классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки,получим =89учеников. Опять не угадали. Действуя согласно «фальшивому» правилу, находим: =33, =11, 24*11=264, 33*32= *11=264, 33*32= =792, 33-11= =792, 33-11=22 Следовательно, в классе было 792:22=36 учеников… Следовательно, в классе было 792:22=36 учеников…
Литература: Полякова Т.С.История отечественного школьного математического образования. 18в. РПУ, Полякова Т.С.История отечественного школьного математического образования. 18в. РПУ, Юшкевич А.П. История математики в России до 1917г. М., Юшкевич А.П. История математики в России до 1917г. М.,