Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 1. Введение в динамику. Законы и аксиомы динамики материальной точки. Основное уравнение динамики. Дифференциальные и естественные уравнения движения. Две основные задачи динамики. Примеры решения прямой задачи динамики Лекция 1.

Лекция 1 Динамика – раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами. Раздел состоит из трех отделов: Динамика материальной точки Динамика механической системы Аналитическая механика Динамика точки – изучает движение материальной точки с учетом сил, вызывающих это движение. Основной объект - материальная точка – материальное тело, обладающей массой, размерами которого можно пренебречь. Основные допущения: – существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения. – существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения). Отсюда вытекает: – существует абсолютно неподвижная система отсчета. – время не зависит от движения системы отсчета. – массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета. Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. Она имеет до сих пор достаточно широкую область применения, поскольку рассматриваемые в прикладных науках механические системы не обладают такими большими массами и скоростями движения, для которых необходим учет их влияния на геометрию пространства, время, движение, как это делается в релятивистской механике (теории относительности). Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью. Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) – Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: или Здесь m – масса точки (мера инертности), измеряется в кг, численно равна весу, деленному на ускорение свободного падения: F – действующая сила, измеряется в Н (1 Н сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/c 2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение. Аналитическая механика – изучает движение несвободных механических систем с использованием общих аналитических методов. 1

Лекция 1 ( продолжение – 1.2 ) Дифференциальные уравнения движения материальной точки: - дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. - дифференциальные уравнения движения точки в координатном виде. Этот результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (1). После группировки векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения: В координатном виде: Используем связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями: или: Подставим ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики: M(x,y,z) O Естественные уравнения движения материальной точки – получаются проецированием векторного дифференциального уравнения движения на естественные (подвижные) оси координат: или: - естественные уравнения движения точки. M O M Основное уравнение динамики : - соответствует векторному способу задания движения точки. Закон независимости действия сил – Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности: или Закон справедлив для любого кинематического состояния тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным точкам (телам) не уравновешиваются. Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие: m1m1 m2m2 2

Две основные задачи динамики: 1. Прямая задача: Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение. 2. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения). Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение несвободной точки, то как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования. Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи. Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах: Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a. Определить натяжение троса. 1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: Определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: При равномерном движении кабины a y = 0 и натяжение троса равно весу: T = G. При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: a y = -g Проецируем основное уравнение динамики на ось y: y Пример 2. Точка массой m движется по горизонтальной поверхности (плоскости Oxy) согласно уравнениям: x = a coskt, y = b coskt. Определить силу, действующую на точку. y x x y 1. Выбираем объект (материальную точку). 2. Отбрасываем связь (плоскость) и заменяем реакцией N. 3. Добавляем к системе сил неизвестную силу F. 4. Составляем основное уравнение динамики: 5. Проецируем основное уравнение динамики на оси x,y : Определяем проекции силы: Модуль силы: Направляющие косинусы: Таким образом, величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром. Траектория движения точки представляет собой эллипс с центром в начале координат: O r Лекция 1 ( продолжение – 1.3 )

Лекция 1 ( продолжение 1.4 ) Пример 3: Груз весом G подвешен на тросе длиной l и движется по круговой траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен. Определить натяжение троса и скорость груза. 1. Выбираем объект (груз). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: Из третьего уравнения определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: Подставляем значение реакции троса, нормального ускорения во второе уравнение и определяем скорость груза: 4. Проецируем основное уравнение динамики на оси,n, b: Пример 4: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 1. Выбираем объект (автомашина, размерами пренебрегаем и рассматриваем как точку). R 2. Отбрасываем связь (шероховатую поверхность) и заменяем реакциями N и силой трения F тр. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось n: Отсюда определяем нормальную реакцию: Определяем давление автомашины на мост: Отсюда можно определить скорость, соответствующую нулевому давлению на мост (Q = 0): 4