Решение олимпиадных задач

Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов ? Школьный тур Задача 1

После каждого обмена количество Петиных наклеек увеличивается на 4 ( одна наклейка исчезает и появляется 5 новых ). После 30 обменов количество наклеек увеличится, на 30·4=120. Вначале у Пети была одна наклейка, после 30 обменов будет 1+120=121. Школьный тур Решение : Ответ : 121 наклейка

Вася перемножил одну четверку и 27 девяток, а Петя – 55 троек. У кого число получилось больше ? Ответ обоснуйте. Школьный тур Задача 2

4·9·9·9·…·9 – Васино число 3·3·3·…·3 = 3·9·9·9·…·9 – Петино число Школьный тур Решение : Ответ : у Васи число больше 27 штук 55 штук 27 штук

Так как две тройки в произведении дают 9, то произведение 55 Петиных троек то же самое, что произведение одной тройки и 27 девяток. Так как произведение тройки и 27 девяток меньше, чем произведение четверки и 27 девяток, то Петино число меньше. Школьный тур Решение :

Разрежьте фигуру ( по границам клеток ) на три равные ( одинаковые по форме и величине ) части. Школьный тур Задача 3

Школьный тур Решение :

Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что нашел ? Ответ объясните. Школьный тур Задача 4

Так как у гнома с самой длинной бородой капюшон синий, то у Ели не самая длинная борода. У Пили тоже не самая длинная ( т. к. она короче, чем у Ели ). Поэтому самая длинная борода у Спали, средняя – у Ели и самая короткая – у Пили. Значит, таз нашел Спали, а алмаз – Пили. И, значит, Ели нашел топаз. Школьный тур Решение : Ответ : медный таз нашел Спали, алмаз – Пили, топаз – Ели.

Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. ( Последовательные числа отличаются на 1) Школьный тур Задача 5 Ответ : 2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, , 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221

Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее ? Ответ обоснуйте. Школьный тур Задача 6

Рассмотрим время, за которое двухголовый дракон делает 3·4=12 прыжков. За это время трёхголовый делает 3·7=21 прыжок. Так как 12=4·3, то 12 прыжков двухголового дракона равны 4·5=20 прыжкам трёхголового. Итак, за одно и то же время трёхголовый дракон перемещается на 21 прыжок, а двухголовый – на 20 прыжков трёхголового. Значит, трёхголовый бежит быстрее. Школьный тур Решение :

Мартышка, Осёл и Козёл затеяли сыграть трио. Уселись чинно в ряд, Мартышка справа. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. Поменялись местами, при этом Осёл оказался в центре. А трио всё нейдёт на лад. Пересели ещё раз. При этом оказалось, что каждый из трёх « музыкантов » успел и слева, и справа, и в центре. Кто где сидел на третий раз ? Турнир Ломоносова

Сначала Мартышка сидит справа, а потом – не справа и не в центре ( там Осёл ), т. е. слева, в конце – не справа и не слева – значит, в центре. Сначала Осёл сидит не справа ( там Мартышка ) и не в центре ( он там сядет потом ), т. е. слева, потом – в центре, в конце – справа. Козлу остается последовательно центр, справа, слева. Турнир Ломоносова Решение : Ответ : Козёл, Мартышка, Осёл

На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться 4 оси симметрии? (Пример фигуры с одной осью симметрии приведен на рисунке, ось симметрии показана пунктиром.) Турнир Ломоносова

Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто – мультики, но нет таких, кто не смотрит, ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола – тоже меньше 4. Может ли средний бал всего класса по математике быть больше 4? Турнир Ломоносова

Да, может Например, есть два человека, которые имеют по математике 5 и смотрят только мультфильмы, три человека, у которых по математике 3, а смотрят они и то, и другое, и ещё два человека, у которых по математике тоже 5, но смотрят они только футбол. Турнир Ломоносова Решение :

Турнир Ломоносова Решение :