Общая характеристика предметного содержания школьного курса математики

Содержательно-методические линии школьного курса математики числовая; тождественных преобразований; уравнений, неравенств и их систем; функциональная; геометрических фигур и их свойств; измерения величин; векторно-координатная; начала математического анализа; вероятностно-стохастическая.

Основные линии с учетом критерия знаний и умений логическая - формирование системы понятий и фактов путем построения определений и доказательств; формально-оперативная - выработка навыков вычислений, тождественных преобразований, решения уравнений, исследования функций и т.п.; содержательно-прикладная - решение текстовых, геометрических задач, задач с физическим, техническим, экономическим и т.п. содержанием; вычислительно-графическая - выработка умений строить таблицы, графики, диаграммы, а также умения осуществлять приближенные вычисления, прикидку, пользоваться калькулятором.

Линия числа в школьном курсе математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики

План 1.Числовая линия школьного курса математики как система. 2.Методические особенности преподавания отдельных тем числовой линии.

Система – совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность. Структура – строение и внутренняя форма организации системы, выступающая как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами.

Числовая линия горизонтальные отношения: округление; действия; их законы и свойства. вертикальные необходимость рассмотрения; связь между действиями. Элементы: числа, организованные в уровни по отдельным числовым множествам Внутренние связи Внешние связи – связи с другими линиями

Схемы развития понятия числа Историческая: N N 0 Q + Q R Логическая: N N 0 Z Q R

Схема изучения числовой линии в МПИ-проекте N 0 дес. дроби Z отр. дес. дроби Q + Q - Q Q \R R

Системно-структурный анализ 1. Общее понятия числа в большинстве технологий не рассматривается. Под натуральным числом понимается некий символ, характеризующий класс эквивалентных между собой множеств, между элементами которых можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е. символ, обозначающий мощность не пустых конечных множеств.

Системно-структурный анализ 2. Числа вводятся для разных нужд: натуральные - через необходимость пересчитывать предметы; отрицательные - для обозначения величины или ее измерения; дробные - через понятие доли; иррациональные - через разрешимость уравнений; действительные – через установление соответствия Таким образом, общей идеи нет, вертикальные связи отсутствуют

Системно-структурный анализ 3. Базовым действием, которое вводится без определения, является сложение натуральных чисел Остальные операции для множеств Z и Q определяются, но вводятся по-разному, а для множеств Q \R и R не вводятся и не рассматриваются. Вопрос о выполнимости операций не ставится, т.к. нет потребности. Таким образом, целостность системы нарушается

Системно-структурный анализ 4. При изучении свойств операций целостность сохраняется только для сложения и умножения. Свойства вычитания и деления рассматриваются, как правило, только для натуральных чисел (исключение в МПИ-проекте) и далее к ним не обращаются. Таким образом, целостность нарушается.

Общий вывод С точки зрения системности в разворачивании числовой линии имеется ряд существенных недостатков

Возможные варианты для общей идеи разворачивания числовой линии разрешимость уравнений (вертикальная связь); выполнимость действий (горизонтальная связь).

Принцип общности решения типовых задач Если на одном из множеств типовая задача решается каким-либо действием и ее данные могут выражаться числами, принадлежащими другому множеству, то и на этом другом множестве задача должна решаться тем же действием.

Принцип перманентности и минимальности для расширения числового множества Если множество А расширяется до множества В, то: А должно быть подмножеством В; все операции, определенные в А, должны быть определены и в В, причем при их выполнении для элементов множества А должны получаться прежние результаты; все свойства операций, имевшие место в А, должны выполняться и в В; в множестве В выполняется какая-либо операция, не выполняющаяся в А; множество В – минимальное, удовлетворяющее предыдущим свойствам.

Способы построения множества В Множество В строится независимо от А, а затем в нем выделяется подмножество, изоморфное А, и отождествляется с А. Множество А дополняется новыми элементами, в результате чего получается новое множество В.

Некоторые методические особенности изучения натуральных чисел Изучение начинается в начальной школе, в 5 классе осуществляется систематизация знаний. Систематизация идет с опорой на позиционное представление числа. С целью выделения существенных признаков позиционных систем счисления целесообразно рассмотреть недесятичные и непозиционные системы. Усиливается роль теоретических обоснований, что проявляется в сочетании методов индукции и дедукции.

Пример сочетания методов индукции и дедукции Сложение многозначных чисел «столбиком» обосновывается следующим образом: Предлагается конкретный пример: Каждое слагаемое раскладывается по разрядам: ( ) + ( ) Применяются переместительный и сочетательный законы сложения: ( ) + ( ) + (5 +3) Выполняются действия = 968

Пример сочетания методов индукции и дедукции Далее делается вывод, что сумму многозначных чисел можно получить складывая их поразрядно, а сложение «столбиком» есть краткая запись такого способа сложения:

Пример сочетания методов индукции и дедукции Таким образом, рассуждения проводятся на основе примера, поэтому они индуктивны; ссылка на законы сложения внутри этого примера есть проявления дедуктивности.

Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Первое знакомство с дробными числами происходит в начальной школе, но систематическое изучение начинается в 5 классе. Дробные числа вводятся через понятие «доли». Важное значение имеет вопрос мотивации для введения дробных чисел. Существуют три приема для мотивации: –измерение величины; –разрешимость уравнений; –выполнимость действий.

Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Существует методическая проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей: какие из них изучать первыми? Имеются три подхода к решению этой проблемы, которые с методической точки зрения равноправны.

Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 1 подход Изучаются сначала обыкновенные дроби, а затем десятичные (Петерсон Л.Г.) Обоснование: десятичные дроби не являются числовым множеством, а представляют собой форму записи дробей с частным видом знаменателей.

Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 2 подход Изучаются сначала десятичные дроби, затем обыкновенные (Гельфман Э.Г.) Обоснование: в десятичных дробях сохраняется идея позиционности, что дает возможность переноса известных способов действий с натуральными числами на новые объекты, и они более удобны в расчетах.

Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 3 подход Изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется (Виленкин Н.Я.) Обоснование: обыкновенные дроби более универсальны, но десятичная форма дробей более проста для изучения.

Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Особое значение имеет различение сущности понятий «дробь», «дробное число», «смешанное число». Дробь – форма записи как целых, так и не целых чисел, причем любое число можно записать с помощью различных дробей. Смешанное число – форма записи дробных чисел, модуль которых больше единицы.

Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Для сохранения системности в изложении содержания числовой линии необходимо опираться на все три приема для мотивации введения новых чисел, но приоритетным направлением следует рассматривать идею выполнимости действий.

Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Имеется методическая сложность в обосновании целесообразности введения правил действий с отрицательными числами, т.к. сложно подобрать сюжетную фабулу задачи для использования принципа общности решения типовых задач. Такой задачей может быть задача об изменении температуры воздуха или уровня воды в реке. Особенностью изучения правил действий является и то, что для каждого арифметического действия имеется несколько правил их выполнения.

Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Выработка правильных алгоритмов действий – важный момент методики Следует обратить внимание учащихся, что результат действия – число, характеризуемое знаком и модулем, поэтому при выполнении действий 1)сначала находим знак искомого числа, 2)потом модуль искомого числа. Именно в таком порядке!

Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Необходимость изучения действительных чисел в большей мере вызывается потребностями самой математики (например, построение графиков сплошной линией). Главная трудность – ни одна теория действительного числа не может быть изложена в школьном курсе математики даже в старших классах из-за высокой степени абстрактности, а потребности математики требуют более раннего введения понятия иррациональных чисел.

Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Основой для введения иррациональных чисел служит одна из задач: –задача об измерении отрезка, –задача об извлечении корня. Необходимо отметить, что существуют иррациональные числа, которые нельзя получить извлечением корня, поэтому иррациональное число определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Большинство вопросов, связанных с изучением иррациональных чисел, рассматривается на уровне наглядных представлений. Разъяснить арифметический смысл даже основных операций очень непросто, поэтому им часто дается геометрическая, наглядная интерпретация. Например, для суммы через построение отрезка, равного сумме двух других отрезков, а для умножения – через вычисление площади прямоугольника.

Изучение комплексных чисел Изучение комплексных чисел не входит в программы базовых курсов школьной математики, но включено в программы профильных физико-математических классов.