1 Проблема «разрыва тока» в ближней части плазменного слоя: нелинейная баллонная неустойчивость? А.П. Кропоткин НИИЯФ МГУ Конференция «Физика плазмы в Cолнечной системе», ИКИ февраля 2009 г.

2 Проблема временной последовательности событий при суббуре. Проект THEMIS наземные обсерватории авроральный взрыв (высота 100 км) разрыв тока (60000 км от Земли) магнитное пересоединение ( км от Земли) волна потоки cпутники THEMIS S1-S5 Что происходит раньше в геомагнитном хвосте? Система спутников THEMIS = богиня правосудия должна вынести беспристрастный вердикт

3 «Синтетический» сценарий Lui (1991) Конфигурационная неустойчивость на внутреннем краю плазменного слоя генерирует волну разрежения, распространяющуюся в центральную область хвоста. Там магнитное возмущение оказывается достаточным, чтобы возникла нейтральная линия и затем – пересоединение. - Волна разрежения: Kropotkin (1972) «Синтетический» сценарий Ohtani (2001) Магнитное пересоединение, происходящее на ближней к Земле нейтральной линии, порождает быстрые потоки плазмы. Они приводят затем к «разрыву» тока, к диполизации и колебаниям Pi2 в окрестности геостационарной орбиты.

4 Общая проблема: быстрый срыв равновесия после медленной квазистатической эволюции - Формирование тонкого ТС с малой по протяженности переходной областью (Kropotkin and Lui 1999) Нелинейная неустойчивость - Применительно к тиринг-возмущению: динамическая бифуркация (Кропоткин, Трубачев и Шиндлер, 2000, 2002) - Применительно к баллонному возмущению: «детонация» (Hurricane et al, 1999)

5 Схема перестановочной неустойчивости k z = 0 Баллонная мода: k z 0 - МГД подход. Скейлинг. - Два малых параметра: и. - Необходимость учета кинетических эффектов. - Есть ли взрывной рост?

6 (1) МГД линейная теория и моделирование для реалистичной модели исходного равновесия с областью β ~ 1 Cheng, C. Z., and S. Zaharia. MHD ballooning instability in the plasma sheet, Geophys. Res. Lett., 31, L06809, doi: / 2003GL018823, (2) Низкочастотные кинетические моды при β ~ 1 и их взаимосвязь Horton, W., H. V. Wong, J. W. Van Dam, C. Crabtree, Stability properties of high-pressure geotail flux tubes, J. Geophys. Res., 106(A9), , /2000JA000415, Crabtree, C., W. Horton, H. V. Wong, and J. W. Van Dam. Bounce-averaged stability of compressional modes in geotail flux tubes, J. Geophys. Res., 108(A2), 1084, doi: /2002JA009555, (3) Нелинейная МГД теория срыва равновесия при достижении состояния маргинальной устойчивости – «магнитогидродинамическая детонация» O. A. Hurricane, B. H. Fong, and S. C. Cowley. Nonlinear magnetohydrodynamic detonation: Part I. Phys. Plasmas 4 (10), , B.H. Fong, S.C. Cowley, and O.A. Hurricane. Metastability in magnetically conned plasmas. Phys. Rev. Letters, 82 (23), , O. A. Hurricane, B. H. Fong, S. C. Cowley, F. V. Coroniti, C.F. Kennel, and R. Pellat. Substorm detonation. J. Geophys. Res., 104(A5), , H. R. Wilson and S.C. Cowley. Theory for explosive ideal magnetohydrodynamic instabilities in plasmas. Phys. Rev. Letters, 92(17), (1-4), (4) Нелинейное МГД моделирование: последовательные фазы развития возмущений Zhu, P., C. R. Sovinec, C. C. Hegna, A. Bhattacharjee, and K. Germaschewski. Nonlinear ballooning instability in the near-Earth magnetotail: Growth, structure, and possible role in substorms, J. Geophys. Res., 11 2, A06222, doi: /2006JA011991, P. Zhu, A. Bhattacharjee, J. Raeder, K. Germaschewski, and C. C. Hegna. Initiation of ballooning instability by reconnection in the near-Earth plasma sheet: modeling and analysis of a THEMIS event. ICS-9, Vol. 1, ICS9-A-00152, 2008.

7 Эволюция через линейный и нелинейный режимы Линейный режим: (определение: 1-й нелинейный режим: 2-й нелинейный режим: теория детонации сравнение с моделированием промежуточная нелинейная теория (Zhu et al, 2006)

8 Решение: структура возмущения вдоль силовой линии и возможность неустойчивости - собственное значение Γ. Уравнение баллонной моды можно решать для отдельных силовых линий, одна за другой. Но отдельная силовая линия не может перемещаться, не увлекая соседних силовых линий. И уравнением «детонации» определяется, как именно выглядит эта нелинейная связь между силовыми линиями: задается структура возмущения поперек силовых линий и эволюция системы во времени. (Hurricane et al, 1999)

9 Радиальное смещение:, где задает поведение вдоль силовой линии, а – поведение поперек силовой линии и во времени. Собственная функция подчиняется линейному уравнению баллонной моды; схематически: (1) (2) (3) г де – продольное волновое число, – альвеновская скорость, – индекс политропы, – ионно-звуковая скорость, – локальный радиус кривизны силовой линии, – длина силовой линии, – средняя «ширина» моды, а – частота ионного дрейфа кривизны (т.е., где – скорость дрейфа кривизны). Двигаясь слева направо, физический смысл слагаемых: 1) искривление силовой линии, 2) сжатие 3) сила, порождающая баллонную неустойчивость.

10 Нелинейное уравнение предсказывает сингулярность – бесконечный рост за конечное время Слева: рост где Справа: двумерная картина при на асимптотической стадии, приближающейся к сингулярности (Zhu et al, 2006)

11 Показана радиально расширяющаяся силовая трубка. Вследствие сохранения магнитного потока альвеновская скорость внутри трубки уменьшается. Этот эффект ослабляет стабилизирующее действие искривления силовых линий, и силовая трубка легче расширяется все дальше. При расширении трубки магнитный поток сжимается на переднем ее краю, а по ее боковым краям другие трубки проскальзывают вдоль возмущенной трубки. Здесь полагается, что возрастает в направлении к Земле.

12 В прямом МГД моделировании сингулярность на конечном времени не обнаружена В прямом МГД моделировании найдено, что возмущение остается конечным в течение всей линейной и нелинейной фазы, с некоторым уменьшением скорости роста по сравнению с линейной фазой. Zhu, Bhattacharjee, and Germaschewski, Phys. Rev. Lett., 2006; Zhu, Sovinec, Hegna, Bhattacharjee, and Germaschewski. J. Geophys. Res., Прямое моделирование показало, что для нелинейной стадии характерно формирование пальцеобразной структуры в y-направлении и разрывной структуры – по x-направлению. Это было также найдено в более ранних численных решениях, полученных для уравнения СА.

13 Малый масштаб неоднородности возмущения,, делает легко нарушаемой фазировку возмущений на соседних участках, разделенных расстоянием. Эта фазировка нарушается, если, т.е.. Так что даже медленные, квазистатические перестройки могут нарушать механизм нарастания мелкомасштабных возмущений. Проблема малого масштаба по y : фазовое перемешивание при медленных изменениях конфигурации

14 Тонкая переходная область: поверхностная волна Дискретный спектр возмущений на промежуточных масштабах вместо континуума по x В случае резкой границы между квазидипольной и хвостовой областью равновесной конфигурации на ночной стороне, вместо континуума колебаний силовых линий может существовать дискретный набор собственных колебаний. Они все имеют вид поверхностной волны в радиальном направлении, а в азимутальном направлении имеется набор мод с разными (большими, порядка неск. R E ) масштабами. Именно к этому набору мод следует применять теорию динамической бифуркации. x

15 Динамическая эволюция маргинальной моды (линейное приближение) В реальной ситуации, с медленно меняющимся параметром, для возможных флуктуаций со структурой, отличной от структуры маргинальной моды, медленное изменение оказывается несущественным: флуктуация полностью исчезает раньше, чем успеет существенно измениться. Совершенно иное поведение флуктуации со структурой близкой к структуре маргинальной моды. - ортонормированные собственные функции, отвечающие. Для каждого t возмущение представим разложением по этому базису. Коэффициенты - амплитуды линейной задачи - амплитуда маргинальной моды,

16 Для маргинальной «медленной» моды: Коэффициент линейного члена: Нелинейное уравнение, описывающее динамику маргинальной моды: Нелинейное динамическое уравнение

17 Катастрофа равновесия Нетривиальные стационарные решения: da/dt = 0 При a малом – структура подобна маргинальной моде. Каково множество равновесий при ? При каждом фиксированном в окрестности маргинальной точки существует по крайней мере, одно, а именно, тривиальное, a = 0, равновесие, и в этой окрестности происходит переход от устойчивого состояния этого конкретного равновесия к неустойчивому, причем полное число возможных состояний равновесия, вообще говоря, может быть различно для разных значений. Таким образом, имеем простейший, одномерный случай особенности на множестве гладких отображений, порождающем структурно устойчивое множество равновесий, т.е. катастрофу равновесий.

18

19 «Быстрые» части решения Нормировочный временной масштаб, где - типичное значение линейного инкремента. Время задержки скачка При малых имеем и определяется из скачок A происходит при при длительность скачка _____________________________________________ «Управляющий» параметр – амплитуда маргинальной моды Малоразмерностное поведение «Подчинение» затухающих мод

20 А.И. Нейштадт. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. I. Дифф. ур., 1987, т.21, с ; II. Дифф. ур., 1988, т.22, с А.И. Нейштадт. Затягивание потери устойчивости при динамических бифуркациях. Нелинейные волны–2006. – Нижний Новгород: ИПФ РАН, С. 461–476. N. Berglund and H. Kunz. Memory effects and scaling laws in slowly driven systems. J. Phys. A. 32, 15-39, N. Berglund. Dynamic bifurcations: hysteresis, scaling laws and feedback control. Prog. Theor. Phys. Suppl. 139: (2000). (N. Berglund and H. Kunz, 1999) Динамические бифуркации Статическая бифуркация – бифуркация удвоения Задержка бифуркации (bifurcftion delay) Метастабильность

21 Выводы Если суббуря начинается с «разрыва тока» и диполизации магнитного поля при, то физический механизм связан с баллонной модой. Однако этот механизм должен быть нелинейным, чтобы обеспечить быстрый срыв равновесия после достижения маргинальной устойчивости ( ) в ходе предшествующей медленной эволюции (в фазе зарождения суббури). Неустойчивость мелкомасштабных мод ( ) затруднена присутствием фоновых медленных конвективных движений. Среднемасштабное возмущение имеет вид маргинальной моды, относящейся к дискретному спектру. Нарастание этого возмущения – динамическая бифуркация: быстрый перескок системы в новое равновесие, с задержкой относительно момента прохождения маргинальной устойчивости.

22 Спасибо за внимание!

23 2 малых параметра Разложение для нелинейного баллонного возмущения Соответствующее разложение для уравнения идеальной МГД (в лагранжевой форме) где (Zhu et al, 2006)

24 В режиме : уравнения линейной моды В главном порядке линейные уравнения имеют структуру баллонной моды Вблизи маргинальной устойчивости эти уравнения сводятся к одному уравнению локальной собственной функции где (Zhu et al, 2006) гдеи

25 В следующих 2 старших порядках по возникает глобальное уравнение огибающей Локальное уравнение моды определяет только профиль вдоль силовой линии: ур-ние огибающей дляопределяет глобальную баллонную структуру поперек силовых линий: где (Zhu et al, 2006) и

26 Картина линейной моды имеет три разных пространственных шкалы (МГД моделирование) Контур потоковой составляющей в направлении и Ширина моды по 3 направлениям: (Zhu et al, 2006)

27 Когда, нелинейность модифицирует уравнение огибающей Когда, плазма несжимаема в низшем порядке: Уравнение локальной моды для остается как линейное, так что Режим при задается нелинейным уравнением огибающей линейное уравнение огибающей нелинейность режима «взрывное» слагаемое (Zhu et al, 2006)

28 (Hurricane et al, 1999)

29 (Zhu et al, 2006)

30 Уравнение детонации может описывать три разных характерных режима. (a) Линейная неустойчивость (с малым инкрементом) плюс нелинейная неустойчивость – внутренний триггер. (b) Линейная устойчивость плюс нелинейная неустойчивость (т.е. метастабильность) – внешний триггер. (c) Линейно система либо устойчива, либо неустойчива, но нелинейно устойчива (т.е. нелинейная потенциальная яма) – псевдо-брейкап.

31 Оценка амплитуды триггера для нелинейного срыва метастабильного состояния

32 Векторное поле, параметр При фиксированном : Состояние маргинальной (линейной) устойчивости: Маргинальная мода : специфическая структура Простейшая одномерная система: Линейный анализ вблизи точки маргинальной устойчивости Простейшая одномерная система:

33 Динамическая эволюция маргинальной моды (линейное приближение) В реальной ситуации, с медленно меняющимся, для возможных флуктуаций со структурой, отличной от структуры маргинальной моды, медленное изменение оказывается несущественным: флуктуация полностью исчезает раньше, чем успеет существенно измениться. Совершенно иное поведение флуктуации со структурой близкой к структуре маргинальной моды. - ортонормированные собственные функции, отвечающие. Для каждого t возмущение представим разложением по этому базису. Коэффициенты - амплитуды линейной задачи - амплитуда маргинальной моды,

34 Представим вектором. Он связан с посредством матрицы коэффициентов, вообще говоря, зависящих от времени. Однако для малых u и для времен, когда, матрица почти диагональна: - если отвлечься от наличия маргинальной моды! С учетом ее нужно учесть весь первый столбец.

35 Нелинейное динамическое уравнение ………………………………. - квадратичные (и более высоких порядков) комбинации амплитуд. Для при 1: (3) -я мода «подчиняется» слабозатухающей моде a. (2)

36 Для маргинальной «медленной» моды: Коэффициент линейного члена: Нелинейное уравнение, описывающее динамику маргинальной моды: Нелинейное динамическое уравнение

37 Катастрофа равновесия Нетривиальные стационарные решения: da/dt = 0 При a малом – структура подобна маргинальной моде. Каково множество равновесий при ? При каждом фиксированном в окрестности маргинальной точки существует по крайней мере, одно, а именно, тривиальное, a = 0, равновесие, и в этой окрестности происходит переход от устойчивого состояния этого конкретного равновесия к неустойчивому, причем полное число возможных состояний равновесия, вообще говоря, может быть различно для разных значений. Таким образом, имеем простейший, одномерный случай особенности на множестве гладких отображений, порождающем структурно устойчивое множество равновесий, т.е. катастрофу равновесий.

38 Переход из устойчивого состояния a = 0 в неустойчивое – в бифуркации смены устойчивости (транскритической). Это возможно только в катастрофе типа сборки. Эффективная «свободная энергия» Множество экстремумов – множество корней уравнения Множество катастроф (6) (5)

39 сдвиг u ( ), v( ) – эволюционный путь = 0 – точка бифуркации Корни: и две ветви параболы Итак, уравнение (5) переходит в (7)

40 Анализ нестационарных решений «Упрощенное» уравнение имеет аналитическое решение, где и При : при решение выглядит еще проще а при : и при :

41

42 «Быстрые» части решения Нормировочный временной масштаб, где - типичное значение линейного инкремента. Время задержки скачка При малых имеем и определяется из скачок A происходит при при длительность скачка _____________________________________________ «Управляющий» параметр – амплитуда маргинальной моды Малоразмерностное поведение «Подчинение» затухающих мод

43 T и t зависят от и A(0) лишь примерно логарифмически: ______________________________________________ «Управляющий» параметр – амплитуда маргинальной моды Малоразмерностное поведение «Подчинение» затухающих мод

44 А.И. Нейштадт. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. I. Дифф. ур., 1987, т.21, с ; II. Дифф. ур., 1988, т.22, с А.И. Нейштадт. Затягивание потери устойчивости при динамических бифуркациях. Нелинейные волны–2006. – Нижний Новгород: ИПФ РАН, С. 461–476. N. Berglund and H. Kunz. Memory effects and scaling laws in slowly driven systems. J. Phys. A. 32, 15-39, N. Berglund. Dynamic bifurcations: hysteresis, scaling laws and feedback control. Prog. Theor. Phys. Suppl. 139: (2000). (N. Berglund and H. Kunz, 1999) Динамические бифуркации Статическая бифуркация – бифуркация удвоения Задержка бифуркации (bifurcftion delay) Метастабильность

45 [1] Nicolis, G., and I. Prigogine, Self-organization in nonequilibrium systems, John Wiley and Sons, New York, [2] Арнольд, В.И., Теория катастроф, ВИНИТИ, М., [3] Постон, Т., и Стюарт, И., Теория катастроф и ее приложения, Мир, М., [4] Schindler, K., Pfirsch, D., and Wobig, H., Stability of two-dimensional collision-free plasmas, Plasma Physics, 15, p , [5] Хакен, Г., Синергетика, Мир, М., [6] Заславский, Г.М. и Сагдеев, Р.З., Введение в нелинейную физику, Наука, М., [7] Андронов, А.А., Витт, А.А., и Хайкин, С.Е., Теория колебаний, Физматгиз, М., 1959.