Искусство и математика Работу выполнили Уч-ся 11 «А»класса МОУСО школа 36 Коровкина Юлия Медведев Станислав Учитель математики Ковальчук Л.Л. Калининград 2007

Содержание Золотое сечение Применение золотого сечения Золотое сечение – гармоническая пропорция Знакомство с золотым сечением История золотого сечения Золотой треугольник Звездчатый пятиугольник Золотой прямоугольник Шкала отрезков золотой пропорции Свойства золотой пропорции Ряд Фибоначчи Разгадка тайны золотого сечения Второе золотое сечение Золотые пропорции в фигуре человека Пропорции Фибоначчи в природе Раковина Растения Животные Космос Пирамиды Пирамиды в Египте Пирамиды в Гизе Пирамиды в Мексике Пирамиды в России Золотое сечение и симметрия Золотое сечение в архитектуре Золотой прямоугольник в конструкции Парфенона Золотой прямоугольник в архитектуре собора «Нотердам де Пари» Золотое сечение в живописи Золотой прямоугольник в картине Боттичелли «Рождение Венеры» Джоконда Золотое сечение в картине Шишкина «Сосновая роща» Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев» Витрувианский человек Золотой шрифт Альбрехта Дюрера Пропорции человеческого тела Леонардо да Винчи Рафаэль Сандро Боттичелли Альбрехт Дюрер Фибоначчи

Золотое сечение ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С.Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Применение золотого сечения "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С.Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Золотое сечение - гармоническая пропорция В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Геометрическое изображение золотой пропорции

Знакомство с золотым сечением Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0, Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур.Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Динамические прямоугольники

История золотого сечения Платон ( гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Античный циркуль золотого сечения

История золотого сечения В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном золотой пропорции. Cреди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Cудя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Золотой треугольник Золотой треугольник - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется

Звездчатый пятиугольник В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Золотой прямоугольник Золотым называется прямоугольник, стороны которого относятся друг к другу в пропорции, соответствующей числу «фи». Иными словами, большая сторона в 1,618 раза длиннее меньшей. Золотые пропорция и прямоугольник представляются эстетически приятными формами, и их можно встретить во многих произведениях искусства и культуры во всем мире. Прекрасным примером служит афинский Парфенон, изумительный фронтон которого идеально вписывается в золотой прямоугольник. Образцом того, как использовал золотой прямоугольник в своих творениях Леонардо да Винчи, может послужить его знаменитый рисунок «Витрувианский человек», а также лицо Моны Лизы, прекрасно вписывающееся в такой прямоугольник. Подобные пропорции использованы в композиции «Тайной вечери».ПарфенонЛеонардо да Винчи«Витрувианский человек», Моны Лизы

Шкала отрезков золотой пропорции Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов Построение шкалы отрезков золотой пропорции

Свойства золотой пропорции Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения: Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд Книга об абаке (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, = 21; = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Разгадка тайны золотого сечения Золотое сечение - это сечение отрезка на две части так, что длина большей части относится к длине меньшей части так же, как длина всего отрезка к длине большей части. Золотой вурф - это последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения. Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны. На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/N, где N - натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100% 50% 33% 25% 20%... Возбудить ту или иную гармонику можно воздействием на соответствующий участок струны. В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно- временных характеристик воздействия. Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й - 50%, по 3-ей - 33% и т.д. Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс. 62% 38% 23.6% 14.6% 9% 5,6% 3.44% 2.13% 1.31% 0.81% 0.5% 0.31% 0.19% 0.12%... Это пропорция золотого вурфа. Каждое следующее число в раз отличается от предыдущего. Получилось следующее: Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения - это точка компенсации, демпфирования. Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс. Если мы создадим прямоугольный плоский резонатор электромагнитных колебаний, стороны которого относятся в пропорции золотого сечения, то колебания в таком резонаторе будут разделены по двум степеням свободы, т.к. колебания вдоль большей стороны не смогут возбудить колебаний вдоль меньшей стороны, т.к. для меньшей стороны длина большей стороны соответствует точке компенсации. Теперь становится понятной причина, побудившая создать прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии. Это позволило сориентировать электромагнитные колебания по нужному направлению (вертикально или горизонтально). Далее, эти пропорции уже были отражены в архитектуре культовых сооружений и стали канонами искусства. Введем функцию восприимчивости струны к импульсному воздействию. Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, получим знакопеременную функцию, которая в первом приближении соответствует функции Бесселя, а по большому счету Пси-функции Шредингера. Выглядит она приблизительно следующим образом:

Второе золотое сечение Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. Построение второго золотого сечения Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

Золотые пропорции в фигуре человека Правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Cправедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах.Kогда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Cледующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". В 1876 г. в Pоссии была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. – развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Пропорции Фибоначчи в природе Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Раковина Растения Животные Космос

Раковина Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.Cпирали очень распространены в природе. Спиралевидное развитие большинства природных форм отметил еще Гете, он называл спираль «кривой жизни». Молекула ДНК закручена двойной спиралью, паук плетет паутину спиралеобразно, спираль определяется в строении шишек сосны, расположении семян подсолнечника, кактусах, ананасах, спиралью закручивается ураган, испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Формула спирали была выведена Архимедом, и носит его имя Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали.Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. ОБ:ОА=ОВ:ОБ=ОГ:ОВ=...=1.618 (ОБ+ОГ):(ОВ+ОА)=...=1.618 Спираль Архимеда

Растения Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Цикорий

Животные В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Ящерица живородящая

Космос Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Пирамиды Уже многие тысячелетия форма четырехгранной пирамиды является предметом размышлений для пытливого ума. Участки Пространства Вселенной с достаточно плотными материальными объектами (например, Солнечная Система) подвергаются изменениям (искривлениям) своей структуры под воздействием в том числе и ментальной деятельности Разума, неадекватной его Среде Обитания. Негармоничные события в ближнем Космосе, в дальнем Космосе усугубляют ситуацию. Основная рабочая гипотеза, с которой работают специалисты уже много лет звучит примерно так: представим себе Пространство вокруг нас. Для наглядности разобьем его на кубики. Мы увидим ровные плоскости, четкие, стройные линии - полная гармония вокруг. Теперь поставим рядом кривое зеркало и заглянем в него. Мы увидим, как эти ровные, стройные линии и плоскости искривились, поплыли. Вот и модель искривленного Пространства. Человек в искривленном Пространстве, структура которого отклонилась от состояния Гармонии, теряет ориентиры, он живет как в тумане, становится неадекватен своей человеческой сущности. Следствием искривления Пространства, отклонения его структуры от состояния Гармонии являются все земные неприятности: болезни, эпидемии, преступность, землетрясения, войны, региональные конфликты, социальная напряженность, экономические катаклизмы, бездуховность, падение нравственности. Пирамида в зоне своей деятельности прямо либо опосредованно исправляет структуру Пространства, приближает его к состоянию Гармонии. Все, что находится либо попадает в это Пространство, начинает развиваться в направлении Гармонии. При этом вероятность возникновения всех перечисленных неприятностей падает. Динамика смягчения и ликвидации всех негативных проявлений существенно зависит от размера Пирамиды, ее ориентации в пространстве и соблюдения всех геометрических соотношений. С удвоением высоты Пирамиды ее активное воздействие усиливается ~ в раз. Пирамиды в Египте Пирамида в Гизе Пирамиды в Мексике Пирамиды в России

Пирамиды в Египте Многие исследователи Пирамиды Хеопса предполагают, что строителям Египетских Пирамид были известны число золотого сечения и число «пи», но в действительности в этих знаниях нет необходимости, хотя очевидно, что строители пирамид знали о золотых числах, которые зашифрованы в пирамидах. Для строительства пирамид достаточно знать пропорции семиугольника и использовать соотношения линий, которые существуют в геометрической фигуре семиугольника. На фотографии показан "Аркан", где изображён землемер с тростью в руке, а именно показана одна из 11 деревянных резных досок, которые были найдены в гробнице Хеси-Ра, кто считается архитектором Пирамид. При помощи трости строители вычислили стороны пирамид, причём в проекте пирамиды Хефрена был зафиксирован "священный египетский треугольник" с отношением сторон 3 : 4 : 5, который иначе называют "священный пифагорейский треугольник", а в проекте пирамиды Хеопса был зафиксирован "золотой треугольник" с отношением сторон, которое отвечает золотому сечению, при условии, что вычислен "Золотой Треугольник Пирамиды Хеопса" при помощи трости в соответствии с линиями бигептагональной геометрической сети. То есть в проекте пирамиды Хефрена и в проекте пирамиды Хеопса использованы разные методы вычислений, и поэтому пирамиды имеют разное эзотерическое значение.

Пирамиды в Гизе Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Площадь треугольника 356 x 440 / 2 = Площадь квадрата 280 x 280 = Длина грани пирамиды в Гизе равна фута (238.7 м), высота пирамиды фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф= Высота фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число играет центральную роль.

Пирамиды в Мексике Не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пирамиды были возведены приблизительно в одно время людьми общего происхождения. Hа поперечном сечении пирамиды видна форма, подобная лестнице. В первом ярусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем - 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом: 16 x = = x = = 68

Пирамиды в России

Золотое сечение и симметрия Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф ( ) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.Г.В. Вульф Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Золотое сечение в архитектуре В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. Золотое сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).Парфенон Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы фасада. Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Также золотое сечение просматривается в архитектуре собора «Нотердам де Пари» во Франции«Нотердам де Пари» Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5). Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова. Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа. Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок.

Золотой прямоугольник в конструкции Парфенона Золотой прямоугольник" в конструкции Парфенона, Афины, ГрецияПлан пола Парфенона

Золотой прямоугольник в архитектуре собора «Нотердам де Пари» Собор «Нотердам де Пари», Франция

Золотое сечение в живописи В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. А, выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Такой прямоугольник стали называть "золотым". Картина Сандро Боттичелли «Рождение Венеры» построена на золотых прямоугольниках.«Рождение Венеры» Также золотое сечение можно увидеть на картине Леонардо да Винчи «Мона Лиза» и на картине И.И. Шишкина «Сосновая роща».«Мона Лиза» «Сосновая роща». В картине Рафаэля «Избиение младенцев» четко прослеживается золотая спираль.«Избиение младенцев»

Золотой прямоугольник в картине Боттичелли «Рождение Венеры» Рождение Венеры 1485г, темпера на холсте, x 278.5cм, Сандро Боттичелли Сандро Боттичелли Галерея Уффици, Флоренция, Италия.

«Джоконда» Джоконда и золотые прямоугольникиЗолотое сечение в картине Леонардо Да Винчи «Мона Лиза»

Золотое сечение в картине Шишкина «Сосновая роща» Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой. «Сосновая роща» И.И. Шишкин

Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев» На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой. «Избиение младенцев» Рафаэль

Витрувианский человек Леонардо да Винчи Витрувианский человек Витрувианский человек - рисунок, сделанный Леонардо Да Винчи примерно в годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Рисунок сопровождается пояснительными надписями, в одном из его журналов.. На нем изображена фигура обнаженного мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведенными в стороны руками, описывающими круг и квадрат. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями. При исследовании рисунка можно заметить, что комбинация рук и ног в действительности составляет четыре различных позы. Поза с разведенными в стороны руками и не разведенными ногами, вписывается в квадрат ("Квадрат Древних"). С другой стороны, поза с раскинутыми в стороны руками и ногами, вписывается в круг. И, хотя, при смене поз, кажется, что центр фигуры движется, на самом деле, пуп фигуры, который является настоящим её центром, остается неподвижным. Впоследствии по этой же методике Корбюзье составил свою шкалу пропорционирования, повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.

Золотое сечение в скульптуре Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос Статуя полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета

«Давид» Гений Микеланджело - в его абсолютном понимании человеческого тела и пропорций его воспроизведения. Примером может служить знаменитая статуя - "Давид".Микеланджело

Золотое сечение в поэзии Золотое сечение в поэзии проявляется как наличие определяющего момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли или их сочетаний) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции

Золотая пропорция в стихотворениях А.С. Пушкина А.С. Пушкин

Золотой шрифт Альбрехта Дюрера Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Пропорции человеческого тела Пропорции человеческого тела Альбрехт Дюрер

Леонардо Да Винчи Леонардо да Винчи ( ) великий итальянский художник и скульптор, исследователь, инженер-изобретатель, архитектор и механик, химик, ботаник и анатом, философ, поэт и музыкант родился 15 апреля 1452 года в Италии, тосканский город Винчи (на запад от Флоренции) Умер 2 мая 1519 во Франции, Амбуаз, замок Сен-Клу. Захоронен в часовне св. Губерта, в Шато Амбуаза Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится обо всем на свете. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Рафаэль Рафаэль (Раффаэлло Санти) итальянский живописец и архитектор. В творчестве Рафаэля с наибольшей полнотой отразились идеалы Высокого Возрождения. Работал в мастерской Перуджино. С 1504 по 1508 гг. жил главным образом во Флоренции, где под влиянием Леонардо да Винчи и Микеланджело его творчество обрело зрелость. Многие из наиболее известных полотен Рафаэля с изображением мадонны с младенцем относятся именно к этому периоду. В 1508 г. по приглашению папы Юлия II приезжает в Рим - именно в этом городе художнику предстояло прожить до конца жизни. По приезде немедленно приступил к выполнению чрезвычайно почётного заказа - росписи парадных залов (станц) Ватикана. В Станца делла Сеньятура находится одно из самых замечательных творений Рафаэля, представлявших четыре сферы человеческой деятельности: богословие ("Диспут"), философию ("Афинская школа"), поэзию ("Парнас"), юриспруденцию ("Мудрость, Мера и Сила") ( гг.), а также соответствующие аллегорические фигуры, сцены на библейские и мифологические сюжеты. В этом величайшем шедевре гармонично сочетаются величие и изящество. До конца жизни у Рафаэля было много заказов, и ему приходилось прибегать к услугам помощников, преимущественно для декоративных работ. Уровень его мастерства последних лет лучше виден в портретах, которые ставят его в один ряд с Леонардо да Винчи по тонкости передачи образа человека. Рафаэль получил также всеобщее признание как архитектор, заняв в 1514 г. после смерти Браманте пост архитектора собора Св.Петра. Несмотря на раннюю смерть, в возрасте 37 лет, Рафаэль оказал огромное влияние на творчество художников, как своего времени, так и последующих веков.

Сандро Боттичелли 1445 Родился в семье дубильщика кож Мариано ди Ванни Филипепи Мариано и его жены Змеральды в квартале Санта Мария Новелла во Флоренции Открывает свою собственную мастерскую По случаю праздника св.Себастьяна на столбе центрального нефа церкви Санта Мария Маджоре во Флоренции устанавливается картина Боттичелли "Св. Себастьян" По случаю турнира на площади Санта Кроче во Флоренции Боттичелли расписывает знамя для Джулиано Медичи, изобразив на нем Афину Палладу Пишет в церкви Оньисанти (всех святых) фреску "Св. Августин" Работает в Риме над фресками Сикстинской капеллы Работает с учениками над росписью ларей в связи с браком Джаноцци Пуччи и Лукреции Бини (на тему новеллы Боккаччо) Получает вознаграждение от Аньоло де Барди за "Мадонну с младенцем и Иоанном Крестителем и Иоанном Богословом", написанную для алтаря капеллы Барди в церкви св. Духа во Флоренции Написаны фрески (ныне утраченные) в капелле Веспуччи в церкви Оньисанти Заканчивает "Рождество" - единственное произведение, датированное и подписанное самим Боттичелли Вошел в комиссию художников, которой было поручено выбрать место для установки микеланджеловского "Давида". Боттичелли предложил лестницу Флорентийского собора (предпочли предложение Филиппино Липпи и самого Микеланджело - площадь Синьории) Умер 17 мая и похоронен на кладбище церкви Оньисанти.

Альбрехт Дюрер АЛЬБРЕХТ Дюрер вошёл в историю искусства не только как замечательный художник, гравёр и автор теоретических трактатов, посвящённых живописи. Он отдал дань архитектуре, музыке, скульптуре. По эскизам Дюрера ювелиры через много лет после его смерти создавали великолепные украшения. Вся жизнь этого художника кажется сотканной из противоречий. Он не представлял себя без родного Нюрнберга, но всё время рвался в путешествия в другие страны. Он писал портреты коронованных особ, но никогда не был придворным живописцем. Он примкнул к движению Мартина Лютера, но не позволял себе открытых высказываний по вопросам Реформации. Дюрер писал портреты и пейзажи, создавал величественные алтарные композиции и делал торопливые этюды. Он создавал страшные гравюры о Конце Света и писал наполненные светом картины, посвящённые Рождеству Христову. Он преклонялся перед счастьем материнства и отдавал дань уважения смерти. Ничто не казалось второстепенным и неважным этому великому немецкому художнику

Фибоначчи Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) (родился около 1170 умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы «Liber Abaci» (1202) трактат об арифметике и алгебре (до квадратных уравнений включительно), «Practica Geometriae» (1220), которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии.

Микеланджело Микеланджело Буонарроти г.г. Микеланджело Буонарроти ( гг.), итальянский скульптор, живописец, архитектор, поэт. Выдающийся мастер эпохи Ренессанса. Учился во Франции у Гирландайо, испытал значительное влияние работ Джотто и Мазаччо, с которых увлечённо писал копии. В1496 г. Микеланджело переехал в Рим, где и создал свой первый шедевр - скульптуру «Пиета" ( гг.) для собора. Св.Петра. Его мраморная статуя "Давид" ( гг.) стала одной главной достопримечательностью Флоренции. В 1505 г. Микеланджело получил от папы Юлия II два крупных заказа и снова уехал в Рим. Один заказ - на изготовление папской усыпальницы, однако, для неё была выполнена только скульптура "Моисей" ( гг.). Вторым заказом была роспись свода Сикстинской капеллы в Ватикане. Именно эта грандиозная работа гг., выполненная с поразительным совершенством, принесла Микеланджело славу величайшего художника своего времени. Прожив во Флоренции с 1516 по 1534 г., Микеланджело вернулся в Рим, получив заказ написать фреску "Страшный Суд" на алтарной стене Сикстинской капеллы ( гг.). Это произведение с массивными фигурами устрашающей силы по духу было совершенно иным, чем фрески на своде капеллы. В тот период Микеланджело отдавал много сил архитектуре. С 1546 г. руководил перестройкой собора Св.Петра, работал над проектом его купола. Поэтические произведения Микеланджело, впервые опубликованные его внучатым племянником в 1623 г., дают возможность оценить другие аспекты многогранной личности великого мастера, глубже понять его отношение к вере, искусству и любви. Современники Микеланджело считали его гением наряду с великими Леонардо и Рафаэлем.

И.И. Шишкин В сокровищнице русского искусства Ивану Ивановичу Шишкину принадлежит одно из самых почетных мест. С его именем связана история отечественного пейзажа второй половины XIX столетия. Произведения выдающегося мастера, лучшие из которых стали классикой национальной живописи, обрели огромную популярность. Среди мастеров старшего поколения И. И. Шишкин представлял своим искусством явление исключительное, какого не знали в области пейзажной живописи предыдущие эпохи. Подобно многим русским художникам, он от природы обладал огромным талантом самородка. Никто до Шишкина с такой ошеломляющей открытостью и с такой обезоруживающей сокровенностью не поведал зрителю о своей любви к родному краю, к неброской прелести северной природы.

Г.В. Вульф Вульф Георгий (Юрий) Викторович [10 (22) , Нежин, , Москва], советский кристаллограф, член-корреспондент АН СССР (1921). В 1885 окончил Варшавский университет. Профессор Казанского (1897), Варшавского (1899) и Московского (1918) университетов. В 1911 вместе с передовой профессурой покинул Московский университет в знак протеста против реакционной политики министерства просвещения и перешёл в Народный университет им. Шанявского. В 1917 вернулся в Московский университет. Вульф изобрёл наглядный графический метод обработки результатов измерения кристаллов с помощью стереографической сетки, получившей его имя. Дал новый способ вывода всех групп симметрии кристаллов. В. принадлежат также работы в области роста кристаллов, изучения жидких кристаллов и кристаллооптики. Впервые в России поставил эксперименты по рентгеноструктурным исследованиям кристаллов. В 1913 открыл закон интерференции рентгеновских лучей, отражённых атомными плоскостями кристаллов, и независимо от У. Г. Брэгга вывел основную формулу рентгеноструктурного анализа.