Математическое моделирование ледотермического режима пресных и соленых водоемов Воеводин Анатолий Федорович Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

T – температура среды (вода, лед, снег), 0 С; а 2 – температуропроводность, м 2 /с; ρ water (T, C) – плотность воды, k snow = (z) теплопроводность снега, Вт/м ºС (Пиотрович В.В.); ρ 0 - плотность свежего снега, кг/м 3 ; с р - удельная теплоемкость, Дж/кг ºС. (В.И.Васильев, А.М.Максимов, Е.Е.Петров, Г.Г. Цыпкин Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. 1996; Е.Е. Мачульская, В.Н. Лыкосов, Моделирование термодинамической реакции вечной мерзлоты на сезонные и межгодовые вариации атмосферных параметров, Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2002, т. 38, ) Одномерная трехслойная модель описывает рост снежно-ледового покрова в водоемах с различной степенью минерализации. В результате образования пресного льда, перед фронтом кристаллизации образуется слой с высоким содержанием примеси, которая влияет на температуру фазового перехода. В математическом отношении решение проблемы сводится к интегрированию уравнения теплопроводности в трех областях с неизвестными подвижными границами («вода-лед» z = f 1 (t), «лед- снег» z = f 2 (t), «снег-атмосфера» z = f 3 (t)) и условиями сопряжения на этих границах, учитывая тепловой баланс и переменную температуру фазового перехода.

Условия сопряжения на границе фазового перехода «вода – лед» z = f 1 (t): l ice - толщина слоя льда, C fas – концентрация соли на границе раздела фаз, T fas - температура замерзания. (Гороновский И.Т. и др. Краткий справочник по химии, 1987 ) для пресного водоема: T water = T ice = Т* = 0˚C; условие баланса массы: условие равенства температур обобщенные условия Стефана:

на границе «снег-атмосфера» z = f 3 (t) задается атмосферная температура (измерения на высоте 2м над поверхностью) или температура поверхности снега: Граничные условия: на дне водоема z = 0: или на границе «лед-снег» z = f 2 (t): T snow = T ice ;

Метод решения По методу «спрямления фронта» отобразим исходную область в область с фиксированными границами, перейдя к новым независимым переменным (Будак Б.М.(1966)) 0 i 1 (i =1, 2, 3) Уравнения для определения положения подвижных границ f 1 (t) = l water = H - K ρ l ice, K = ice / water ; f 2 (t) =f 1 (t) + l ice = H + (1 - K ρ )l ice (t); f 3 (t) = f 2 (t)+ l snow ; где l*(t) толщина свежевыпавшего снега, м с плотностью ρ 0 ; W водный эквивалент, мм; H – глубина водоема, м. T а l * (t) 1 f 3 (t) снег 0 T snow = T ice 1 f 2 (t) лед 0 T water = T ice =Т f 1 f 1 (t) вода 0

Основные уравнения в новых переменных: Условия сопряжения

Аппроксимация уравнений по неявной схеме: решение ищем в виде: методом встречной прогонки в воде: во льду условия сопряжения на фронте кристаллизации в разностном виде:

Решением полученного квадратного уравнения будет один, удовлетворяющий физическим условиям корень: Из трех уравнений получаем квадратное уравнение относительно С f А.Ф.Воеводин, Т.Б. Гранкина Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме// Сбирский журнал индустриальной математики, Том 9, 1(25). С.47-54

На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежно- ледового покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль Чановской системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм 3. Средняя глубина 5 метров. Сравнение с натурными измерениями. Зима 1999 – 2000 гг

На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежно-ледового покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль Чановской системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм 3. Средняя глубина 5 метров. Сравнение с натурными измерениями. Зима 2002 – 2003 гг.

Динамика роста снежно-ледового покрова Новосибирское водохранилище, пгт Ордынское (метеоданные гг.)

Спасибо за внимание Гранкина Т.Б.