18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г. Лекция 5. Определение вероятности Случайные события Классическое определение вероятности Другие определения Формулы комбинаторики

2 Иванов О.В., Соколихин А.А Вероятность Понятие вероятности является важным для анализа событий или явлений в природе и обществе, которые связаны со случайностью.

3 Иванов О.В., Соколихин А.А Творцы и их творения Какова вероятность, что обезьяна, набирающая на клавиатуре буквы, случайно напишет произведение Шекспира?

18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г. Случайные события Испытания и исходы Пространство элементарных исходов Случайные события Достоверное и невозможное события

5 Иванов О.В., Соколихин А.А Испытания и исходы Испытанием назовем эмпирические наблюдения, тестирование, проведение эксперимента. Пример испытания: подбрасывание игральной кости. В результате испытания получаем исходы. Пример исходов: - выпадение единицы - выпадение четного числа очков - выпадение не менее четырех очков

6 Иванов О.В., Соколихин А.А Элементарные исходы Элементарный исход испытания не может быть разделен на другие исходы. Пример. Исход «Выпадение четного числа» не является элементарным, поскольку может быть разделен на исходы «выпадение двойки», «выпадение четверки» и «выпадение шестерки». Эти три исхода являются элементарными. Выпало четное число очков Выпало четное число очков Выпало 2 Выпало 4 Выпало 6 Неэлементарный исход Элементарные исходы

7 Иванов О.В., Соколихин А.А Пространство элементарных исходов Пространство элементарных исходов включает все элементарные исходы, которые могут произойти в результате испытания. Пример. Пространство элементарных исходов: «1», «2», «3», «4», «5», «6».

8 Иванов О.В., Соколихин А.А Случайное событие Пространство элементарных исходов Событие А Случайное событие есть некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания. Обозначаем ожидаемое нами событие А.

9 Иванов О.В., Соколихин А.А Примеры случайных событий Случайное событие – некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания. ИСПЫТАНИЕ ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ Одна кость1, 2, 3, 4, 5, 6«Выпадение 5» «Выпадение четного числа» «Выпадение 7» Две кости1-1, 1-2, …, 6-6«Выпадение 1 и 7» «Выпадение суммы 7»

10 Иванов О.В., Соколихин А.А Невозможное и достоверное события Достоверным назовем событие, наступающее при любом исходе испытания. Невозможным назовем событие, не наступающее ни при одном исходе испытания. Пример. Достоверное событие: при подбрасывании монеты выпадет Орел или Решка. Невозможные события: «Встанет на ребро», «Повиснет в воздухе».

11 Иванов О.В., Соколихин А.А Равновозможные события Равновозможными назовем события, для которых есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Пример. События A и B: А = { выпадет четное число очков } В = { выпадет нечетное число очков } являются равновозможными.

12 Иванов О.В., Соколихин А.А Несовместные события Событие А Событие B События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. В противном случае, эти события являются совместными.

13 Иванов О.В., Соколихин А.А Диаграмма Венна AB A B E Для графического представления пространства случайных событий и отношений между событиями принято использовать диаграмму Венна.

14 Иванов О.В., Соколихин А.А Алгебра событий События складываются и умножаются!

15 Иванов О.В., Соколихин А.А Сумма событий Суммой A+B случайных событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из них. AB A B E Сумма A+B означает, что произошло событие A или событие B, не исключая того, что они могли произойти оба. Сумма событий есть их объединение. Любой элементарный исход, который входит в событие A или событие B, входит также и в их сумму A+B.

16 Иванов О.В., Соколихин А.А Произведение событий Произведением AB событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошли оба события. AB A B E Произведение AB означает, что произошло и событие A, и событие B одновременно. Произведение событий есть их пересечение.

17 Иванов О.В., Соколихин А.А Полная группа событий H1H1 E H2H2 HnHn H3H3 … События H 1, H 2, …, H n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием.

18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г. Классическое определение вероятности ОпределениеИнтерпретацияПример

19 Иванов О.В., Соколихин А.А Благоприятные исходы Элементарные исходы, образующие событие А, назовем благоприятными. Если мы ожидаем событие А, то появление любого элементарного исхода, образующего событие А, для нас является благоприятным. P.S. «Благоприятные» не значит «хорошие».

20 Иванов О.В., Соколихин А.А Вероятность (классическое определение) Вероятностью события А назовем отношение числа благоприятных исходов к общему числу элементарных исходов. гдеm – число благоприятных исходов n – общее число элементарных исходов

21 Иванов О.В., Соколихин А.А Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы:

22 Иванов О.В., Соколихин А.А Вероятность – мера со шкалой от 0 до Невозможное событие Достоверное событие Вероятность выступает мерой для случайных событий. Каждому случайному событию ставится в соответствие одно единственное число от 0 до 1 включительно, которое называется вероятностью этого события.

23 Иванов О.В., Соколихин А.А Интерпретация вероятности 0 1 Невероятно Достоверно 0,5 50/50 Маловероятно Вероятно

24 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Подбрасываем две монеты. Имеется четыре элементарных исхода: Орел - Орел Орел - Решка Решка - Орел Решка - Решка Событие: А = {Герб выпал не менее одного раза} состоит из трех элементарных исходов. Его вероятность равна 3 / 4.

25 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Бросается игральная кость. Элементарные исходы: число выпавших очков равно 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Случайное событие В = {число выпавших очков меньше 3} Ему благоприятны выпадение 1 и 2. P(В) = 2/6 = 1/3 Случайное событие С = {число выпавших очков больше 2} Ему благоприятны исходы 3, 4, 5, 6. P(C) = 4/6 = 2/3

26 Иванов О.В., Соколихин А.А Правило округления Если вероятность вычисляется в десятичных знаках, округляем ее до трех знаков после запятой: P(A) = 2/3 = 0,667 P(B) = 100/205 = 0,488

18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г. Другие определения вероятности Статистическое определение Субъективное определение Геометрическое определение Аксиоматическое определение

28 Иванов О.В., Соколихин А.А Вероятность (статистическое определение) Вероятность события А – предельная относительная частота появления события А при проведении серии испытаний, при неограниченном увеличении их числа (статистическое определение вероятности). где s – число испытаний, в которых произошло событие А n – общее число испытаний

29 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Статистическое определение вероятности необходимо для проверки правила бутерброда. С какой вероятностью бутерброд падает маслом вниз?

30 Иванов О.В., Соколихин А.А Вероятность (субъективное определение) Если объективный подход к определению вероятности невозможен, единственный путь – субъективная оценка. Субъективная вероятность основана на индивидуальном или коллективном мнении людей, выступающих в роли экспертов. Они составляют свои оценки вероятности события на основе внешней, возможно, неточной, информации, а также своего опыта и интуиции. Субъективная вероятность отражает степень уверенности индивида или группы в том, что данное событие произойдет.

31 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример С какой вероятностью завтра пойдет дождь? С какой вероятностью на ваш автомобиль упадет метеорит?

32 Иванов О.В., Соколихин А.А Аксиоматическое определение Н е и з у ч а е м ! У р а !

18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г.18 мая 2013 г. Формулы комбинаторики Принцип суммы и произведения РазмещенияПерестановкиСочетания

34 Иванов О.В., Соколихин А.А Вопрос Сколькими способами 6 человек могут сесть на шесть стульев?

35 Иванов О.В., Соколихин А.А Что изучает комбинаторика? Комбинаторика является частью математики, которая занимается методами решения задач, связанных с перечислением и подсчетом. В комбинаторике имеются формулы для определения числа подмножеств заданного множества, подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний.

36 Иванов О.В., Соколихин А.А Принцип произведения Если одно множество состоит из n различных элементов, другое из m различных элементов, и эти множества не пересекаются, то сколько различных пар можно образовать из элементов этих множеств, если первый элемент берется из первого множества, а второй – из второго? Согласно принципу произведения количество пар будет равно n m.

37 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример В гардеробе девушки висят три юбки, пять блузок и четыре шарфика. Сколько различных костюмов может составить девушка, если считать, что цвета одежды хорошо сочетаются друг с другом? Решение. По принципу произведения: 3 х 5 х 4 = 60 Ответ. Всего имеется 60 вариантов костюмов.

38 Иванов О.В., Соколихин А.А Перестановки Сколькими способами n разных объектов могут быть расположены на одной линии? (читается – эн факториал)

39 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Сколькими способами 6 человек могут сесть на шесть стульев? Решение. Для первого существует 6 возможностей, для второго, после того как первый уже выбрал, останется 5, для следующего – 4 и так далее. Последний, шестой, после пятерых будет иметь только одну возможность. Итак, 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. Ответ. 720 способов.

40 Иванов О.В., Соколихин А.А Размещения Сколькими способами из n разных объектов можно выбрать упорядоченное подмножество из m объектов? Примечание. Упорядоченным считается множество, в котором задан порядок элементов. Объекты после выбора не возвращаются и повторно не могут быть выбраны.

41 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Сколькими способами из 6 человек можно выбрать четверых и рассадить на четыре стула? Решение. На первый стул сядет любой из шести, на следующий – уже из пяти. Всего четыре стула, поэтому: 6 · 5 · 4 · 3 = 360. Ответ. 360 способов.

42 Иванов О.В., Соколихин А.А Сочетания Сколькими способами из n разных объектов можно выбрать m объектов? Примечание. Выбор не упорядочен. Объекты после выбора не возвращаются.

43 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Сколькими способами из шестерых человек можно выбрать четверых? Решение. Пользуемся формулой: Ответ. 15 способов.

44 Иванов О.В., Соколихин А.А Выбор с повторением Сколькими способами из n разных объектов можно выбрать m объектов с повторением? Примечание. Объекты после выбора возвращаются.

45 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример Сколькими способами из шестерых человек можно выбрать четверых для дежурства, если можно выбирать с повторением и, потенциально, один из шестерых может быть выбран все четыре раза? Решение. В этом случае для каждого выбора у нас имеются все шесть кандидатов. Получим 6 · 6 · 6 · 6 = Ответ способов.

46 Иванов О.В., Соколихин А.А Задание на 5 минут Что включает исследовательский анализ данных?