Занимательные задачки по математике Толмачева Катя и Шевцова Лада

ЗАДАЧА 1 В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

ОТВЕТ Решение: После каждого боя из соревнований выбывает один боксер проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

ЗАДАЧА 2 У Герасима 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Герасима?

ОТВЕТ Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь была серая (упомянутая в условии), а другая - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: серая мышь у Герасима - одна.

ЗАДАЧА 3 На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

ОТВЕТ Решение: Посмотрим, как изменяется количество правильно стоящих стаканов при каждой такой операции. Очевидно, что это зависит от того, сколько из переворачиваемых стаканов стоят правильно, а сколько вверх дном. А именно: если все четыре переворачиваемых стакана стоят правильно, то количество правильно стоящих стаканов уменьшится на 4; если из четырех стаканов правильно стоят три, то это количество уменьшится на 2; если два, то количество не изменится; если один, то увеличится на 2; если все переворачиваемые стаканы стояли вверх дном, то количество правильно стоящих стаканов увеличится на 4.

ЗАДАЧА 4 В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

ОТВЕТ Чему может равняться возраст каждого из туристов? Очевидно, одному из чисел: 20, 21, 22,..., 35 (всего 16 вариантов). Поэтому, если предположить, что возраст любых двух туристов различен, то в группе не больше 16 человек. Но по условию задачи их 20. Значит, в группе обязательно есть одногодки.

ЗАДАЧА 5 Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

ОТВЕТ Если Петя купил вначале 5 пуль, а всего сделал 50 выстрелов, то 45 пуль он получил за успешные выстрелы. Но для этого ему надо было попасть в цель 9 раз. А он утверждает, что сделал только 8 метких выстрелов. Значит, он не прав.

ЗАДАЧА 6 Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

ОТВЕТ Среди данных чисел должно быть хотя бы одно положительное. Действительно, возьмем любые четыре из этих чисел. Если бы все они были неположительны, то и их сумма была бы неположительной, что противоречит условию. (На самом деле, таким образом доказывается более сильное утверждение что положительных чисел в данном наборе не меньше 22, однако нам понадобится существование лишь одного такого числа.) Выберем это положительное число. Остальные 24 числа разобьем произвольным образом на шесть четверок. Сумма всех 25 чисел это сумма выбранного числа (которое положительно по выбору) и сумм получившихся четверок (которые положительны по условию). Она является положительной.

ЗАДАЧА 7 Каждый из четырех гномов Беня, Веня, Женя, Сеня либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор: Беня Вене: «ты врун"; Женя Бене: «сам ты врун"; Сеня Жене: «да оба они вруны, (подумав), впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?

ОТВЕТ Предположим, Сеня говорит правду. Тогда, согласно его словам, три остальных гнома вруны. И, тем самым, фраза Бени является правдой. Значит, предположение приводит к противоречию, поэтому Сеня врун, и его утверждение, что Женя врун, является ложным. Отсюда заключаем, что Женя говорит правду. Тем самым, Беня врун, а Веня говорит правду. Отметим, что фраза Сени «да оба они вруны" (относительно Бени и Вени) является ложной (несмотря на то, что Беня действительно врун), поскольку Веня не врун.

ЗАДАЧА 8 В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

ОТВЕТ Рассмотрим двоих учеников класса, которые не дружат между собой. (Если таких нет, то все ученики класса дружат между собой, значит, у каждого ученика имеется 24 друга, и задача решена.) Пусть этими двумя будут Вася и Петя. Тогда из оставшихся 23 учеников каждый дружит либо с Васей, либо с Петей. Действительно, если бы кто-то (скажем, Коля) не дружил бы ни с Васей, ни с Петей, то мы имели бы троих учеников, среди которых не было бы друзей. Теперь если предположить, что и Вася, и Петя имеют не более 11 друзей, то всего в классе, кроме этих двоих было бы не больше 22 человек. Полученное противоречие показывает, что один из школьников имеет не менее 12 друзей.