1 Обратные и некорректные задачи в экспериментальной физике д.ф.-м.н. Пикалов Валерий Владимирович, ИТПМ СО РАН, Новосибирск -- Обратные и некорректные задачи. Примеры и методы решения. Интегральные уравнения первого рода. Дифференцирование зашумленных данных. Регуляризованные сглаживающие сплайны. Сглаживание и гладкие аппроксимации. Обращение плохо обусловленных матриц. Суммирование Фурье-рядов для экспериментальных сигналов. Томография плазмы как пример некорректной задачи.

2 -- Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови человека. -- Томография в фазовом пространстве: спектро-томография (двумерная спектроскопия), хроно-томография (быстропротекающие процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей. Локальная и глобальная томография: извлечение структур, изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от анализа изображений к компьютерному видению. -- Поиск научной информации в электронных библиотеках: ИТПМ, ScienceDirect, Google Scholar, Google Books, CiteULike, мехмат МГУ.

3

4

5 Искажения в восприятии мира … (1) Примеры: прямые и обратные задачи объект его отображение distortion reconstruction K(x)

6 Интегральное уравнение первого рода: S(t) = K(t,s) F(s) ds Прибор: линейная аппаратная функция F(t) Неизвестное воздействие Измеренный сигнал S(t)S(t) K(t)K(t) Более общая операторная связь: S = KF Уравнение свертки – инвариантность к сдвигу: S(t) = K(t-s) F(s) ds

7 a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c возмущение уравнения, - возмущение решения (шум) 2, 1 - малые возмущение и отклик, 2 – большой отклик если линии стремятся к параллельным, то det K 0, - > большие ошибки решения даже для малых возмущений (в том числе, ошибок округления на компьютере) априорная информация ill-posed and well-posed problems некорректные и корректные задачи Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986 Kg = f, g = K -1 f (?), но f = f 0 + шум метод наименьших квадратов: K + Kg = K + f, g=(K + K) -1 K + f - существование; - единственность; - устойчивость. Корректность по Адамару:

8 Решение уравнения свертки. Фурье-образ свертки равен произведению Фурье-образов ядра и сворачиваемой функции: Обращение уравнения свертки некорректно поставленная задача, для ее решения нужна регуляризация., - обратное преобразование Фурье. - регуляризованное решение, если функция f(, ) обладает следующими свойствами. 1. Функция f(, ) определена при, - ; 0 f(, ) 1; f(,0) Для 0 f(, ) - четная по ; f(, ) L 2 (-, ); L 2 (-, ); f(, ) 0,. 3. При 0 f(, ) 1 не убывая и равномерно на всяком отрезке Для 0 f(, ) 0 при, равномерно на всяком отрезке [ 1, 2 ], В частности f(, ) может иметь следующий вид: P ( ) - полином четной степени.

9 Методы решения интегральных уравнений 1-го рода (2) Дискретизация: Ag = f (1) Регуляризация Тихонова: (3) Дифференцирование:

10 ART: Выбор параметра : ||Ag - f|| 2 = 2 ; i+1 = n/(g i, g i ); Bayes estimation: Другой итерационный метод

11 Parameters of this series of reconstruction (axis for wave length X is taken as [-1,1] range): K_width = 0.25 (red line); Exact spectrum is a sum of three gaussians(green line): First Line from left: G_ampl = 0.3; G_x0 = -0.4; G_width = 0.1; Second Line: G_ampl = 1.0; G_x0 = -0.1; G_width = 0.2; Third Line: G_ampl = 0.9; G_x0 = 0.2; G_width = 0.3;. Blue line is a signal - result of convolution between red and green lines. Black line is the result of solution of inverse problem by software package Topas-Micro

12 The number of iterations Error = 5.05%. The number of iterations is 6. Error = 7.20%. Small line is reconstructed unsatisfactory.

13 Here the number of measurements is 3 times less, than the number of reconstructed points in spectrum (e.g. that is very underdetermined problem!). The number of iterations is 555. Error = 1.05%.

14 Исходное изображение Lena(512 x 512 пикселей). Свертка с прямоугольным ядром (горизонтальный смаз), ширина ядра – 77 пикселей (15% диаметра области). Восстановление изображения методом ART, первые 276 строк (левое) и полное – 512 строк. Параметры: 150 итераций, =0.15, положительность решения, 1 = 4-11%, без шума, время счета – 12 мин 55 сек (P-IV – 1800 MHz).

15 Сравнение центральных строк точного и восстановленного изображений (Lena, с предыдущего слайда).

16 Схема регистрации проекций в эмиссионной томографии

17 Преобразование Радона:

18 Обратное преобразование Абеля (одномерная томография) Обратное преобразование Радона (двумерный случай) Интегральное уравнение Абеля Норвежский математик Нильс Хенрик Абель ( )

19 Fig.1. Schematic set-up of the plasma test – the reactor with a triangular test substrate for tomographic measurements

20 Томограммы простого фантома: осесимметричная гауссиана

21 Реконструкция гладких фантомов

22

23 Exact model and its tomographic reconstruction from 3 projections (noise 5%, method cART, error=15.5%). CCDCCD R=100 mm L=1645 mm R R L Three 2-D projections of model emission object Real experiment: 3-D ultra-violet emission tomography. Different time slices of 3-D reconstructions of flames structure (three- views tomography). Tree-views scheme of emission measurements

24

25 Tomographical spectroscopy. Numerical simulations: Variations of cameras' number Model of complicated impurities' distribution Reconstruction by MENT algorithm (from Topas-Micro software package), Tomogram 101x101, 101 detectors for each camera, noise level in projections = 3%; 12 iterations

26 6 views Reconstructed and exact tomograms:

27 Gray scale for the model with smaller disturbance (noiseless projections) Left: reconstructions; Right: exact model

28 Реконструкция трехмерных структур лимфоцитов и эритроцитов методами фазовой микроскопии видимого диапазона Томографический микро-интерферометр

29 Erythrocyte: Collection (D) of 18 projections for the reconstruction (Rotation around horizontal axis). Each frame is scaled to its own maximum (Frames are marked by relative angle, from 27 to 61 degree, with 2 degree step; )

30

31 Изоповерхности лимфоцита Topas-Micro (5) Java-анимация:

32 Topas-Micro (6) Трехмерная оптическая микротомография клеток крови: лимфоцит Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Лихачев А.В., Пикалов В.В. Фазовая томография трехмерных биологических микрообъектов: численное моделирование и экспериментальные результаты. // Опт. спектр Т.87. No.3. -С (визуализация ИАиЭ, лаб. Долговесова Б.С.)

33 Tomography reconstruction of erythrocyte Eighteen equatorial projections placed each 2 o in the interval[-18 o ; 16 o ] have been chosen for the tomography reconstruction of the erythrocyte (scheme 3). The algorithms ART, cART, and GP3Dm have been used for the reconstruction. Levin G.G., Vishnyakov G. N., Zakarian C. S., Likhachov A.V., Pickalov V.V., Kozinets G.I., Novoderzhkina J.K., Streletskaya E.A. Three-dimensional limited-angle microtomography of blood cells: experimental results. // Three-Dimensional and Multidimensional Microscopy: Image Acquisition and Processing V. SPIE Proceedings, 1998, Vol. 3261, pp

34 Steganography: tomography approaches

35 Пикалов В.В., Казанцев Д.И. Итерационное восстановление возмущения синограммы в пространстве Радона для задачи стеганографии. // Вычислительные методы и программирование Т.9. No.1. -С. 1-9.

36 Topas-Micro (8)

37 Список литературы [1] Сайт гpуппы Вычислительной томогpафии, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН: [2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН Т.141. No.3. -С [3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука [4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, [5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. - Новосибирск: Наука, [6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev A.V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK) Vol.18. No.1. -P [7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование Т.4. No.2. -С

38 Электронные информационные ресурсы GoogleScolar: GoogleBooks: Scopus: CiteULike : ИТПМ СО РАН: Реферативная БД по томографии и обратным задачам, ИТПМ СО РАН: Порталы издательств – цифровые библиотеки ACM (Association for Computing Machinery): AMS (American Mathematical Society): APS (American Physical Society): publish.aps.org OSA (Optical Society of America): SPIE (The International Society for Optical Engineering ): Institute of Physics (UK): ScienceDirect (Elsiever): Springer:

39

40

41

42

43

44

45

46

47 Что такое DOI? doi: /S (07) Просто переход по адресу:

48

49

50 Научная электронная библиотека (РФФИ, Москва)

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67 Социальные сетии: CiteULike

68

69

70

71

72

73

74 lib.homelinux.org kolxo3.tiera.ru dxdy.ru lib.mexmat.ru Физико-математическая литература: