Логические выражения и операции

Булева алгебра (алгебра логики, алгебра высказываний) алгебра высказываний) Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1. Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Объектами изучения алгебры логики являются высказывания !

Логические операции: Логические величины: 1 – истина; 0 - ложь логическое отрицание (инверсия); логическое умножение (конъюнкция); логическое сложение (дизъюнкция); логическое следование (импликация); логическое равенство (эквивалентность).

1) Отрицание Обозначение: не A, ¬ A, A Определение: Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное: не истина = ложь; не ложь = истина. Отрицание – одноместная операция. Таблица истинности: A¬ A 10 01

Задание: «На стоянке стоят красные «Жигули»» Являются ли следующие предложения отрицаниями данного высказывания?: «На стоянке стоят не красные Жигули» «На стоянке стоит белый Мерседес» «Красные Жигули стоят не на стоянке» Логическое отрицание

При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что», либо к сказуемому добавляется частица «не», при этом слово «все» заменяется на «некоторые» и наоборот. Пример. Отрицаем высказывание «У меня дома есть компьютер» - «Неверно, что у меня дома есть компьютер» - «У меня дома нет компьютера» Правило построения отрицания к простому высказыванию:

Задание: Составьте отрицание высказывания «На стоянке стоят красные «Жигули»» «На стоянке не стоят красные «Жигули»» «Неверно, что на стоянке стоят красные «Жигули»

2) Логическое умножение (конъюнкция) Обозначение: и, ^, &, conjunctio Определение: В результате логического умножения (конъюнкции) (от лат. conjunctio - соединение) получается истина, если обе логические величины истинны. ABA ^ B Таблица истинности:

3) Логическое сложение (дизъюнкция) Обозначение: или, v, + disjunctio Определение: В результате логического сложения (дизъюнкции) (от лат. disjunctio разъединение) получается истина, если значение хотя бы одной логической величины истинно. ABA v B Таблица истинности:

4) Импликация (следование) Обозначение: если, … то; ; Выражение после если – основание условного высказывания, после то – следствие. A – «На улице дождь». B – «Асфальт мокрый». ABA B Таблица истинности: 5) Эквивалентность (равенство) Обозначение: если и только если, тогда и только тогда,,,,.

11 Импликация («если …, то …») «Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома». A – «Вася идет гулять». B – «Маша сидит дома». Маша может пойти гулять (B=0), а может и не пойти (B=1)! ABА B А если Вася не идет гулять? ?

12 Эквиваленция («тогда и только тогда, …») Высказывание «A B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. ABА B также: А В, А В также: А В, А В

Порядок выполнения операций: 1.Операции в скобках 2.Отрицание 3.Конъюнкция 4.Дизъюнкция 5.Импликация 6.Эквивалентность ПРИМЕР 1: А V (B C) D ¬ A 1. В С - импликация 2. ¬ А - инверсия 3. (В С) D - конъюнкция 4. А V (B C) D - дизъюнкция 5. А V (B C) D ¬ A - эквивалентность

Задача: Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a = истина, b = ложь, c = истина. Определите результаты вычисления следующих логических выражений: 1.a ^ b 2.a v b 3.¬a v b ^ c 4.¬(a v b) ^ (c v b) 1 ^ 0 = 0 1 v 0 = 1 ¬1 v 0 ^ 1 = 0 v 0 ^ 1 = 0 v 0 = 0 ¬(1v0) ^ (1v0) = ¬1 ^ 1 = 0 ^ 1 = 0

Вариант 1: b ^ c ¬a v b a ^ b v c ¬(a ^ b ^ c) (a ^ b) v (b ^ c) Задача: Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a = истина, b = ложь, c = истина. Определите результаты вычисления следующих логических выражений: Вариант 2: b v c ¬a ^ b a v b ^ c ¬(a v b v c) (a v b) ^ (b v c)