ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ (ГАРМОНИЧЕСКОЙ) ФУНКЦИИ t FmFm - F m F ср -F ср T T/2

ƒ(t)=F max sinωt

4 Действующие значения гармонических токов и напряжений

Действующие значения тока и напряжения характеризуют тепловое действие в линейном резистивном элементе с сопротивлением R

Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I, который за время Т в том же сопротивлении R выделяет такое же количества тепла W

При токе и напряжении:

R u + i ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА: ПО ЗАКОНУ ОМА:

Действующее значение тока

Действующее значение напряжения

Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты и начальной фазы

В результате

Где: - мгновенное значение - амплитудное значение (рад/с) - угловая частота (1/с) или (Гц) - циклическая частота

Векторная диаграмма - это изображение синусоиды в виде вектора в прямоугольной системе координат, длина которого равна амплитуде синусоиды, а угол поворота равен начальной фазе и отсчитывается от оси абсцисс против часовой стрелки. Волновая диаграмма - это развертка вращающегося вектора во времени.

Таким образом, любую синусоидальную функцию (ток, напряжение, мощность) можно отобразить в виде тригонометрической функции типа ƒ(t) =F max sin(ωt ± ψ ƒ ), графически в осях координат[ƒ(t) или ƒ(ωt)] или в виде вращающихся с круговой частотой (ω) векторов c длиной равной амплитуде функции

Совокупность векторов, вращающих с одинаковой частотой (ω), построенных в одних осях называются векторными диаграммами ψUψU ψIψI ωtωt U(t),I(t) Проекции векторов на ось ординат равны мгновенным значениям функций φ = ψ U – ψ I – угол сдвига между векторами напряжения и тока

Пример работы с векторными диаграммами Векторные диаграммы позволяют заменить арифметические действия с тригонометрическими функциями на работу с векторами i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) ψ2ψ2 ψ1ψ1 ψ3ψ3 i 2 = I 2 max sin (ωt+ψ 2 ) i 3 = I 3 max sin (ωt+ψ 3 ) i 1 = i 2 + i 3 i 1 = I 1max sin (ωt + ψ 1 )

Отображение синусоидальных величин символическим способом Символический метод является основным и применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями. Этот метод основан на изображении гармонических функций комплексными числами

Комплексная плоскость. Комплексное изображение функции А Вещественна ось Мнимая ось +j - j a в А = а + jв = А cos α + j A sin α A – комплексное число (КЧ) А α j = 0

Алгебраическая форма записи КЧ А = А ( соs α + jsin α), где А – Модуль КЧ, α – аргумент КЧ А = α = arctg в/a a = А cos α - Вещественная часть КЧ в = jА sin α – Мнимая часть КЧ

Комплексное изображение тока

Комплексное изображение напряжения где

Таким образом, любой синусоидальной величине (току или напряжению) соответствует комплекс ее действующего значения и наоборот Например: току соответствует

При этом, например, комплексу действующего значения напряжения соответствует синусоидальная функция времени

Действия с комплексными числами

Где: - комплексное число - модуль - аргумент (фаза) - вещественная составляющая - мнимая составляющая

1. Переход от алгебраической формы записи к показательной форме

2. Переход от показательной формы записи к алгебраической форме

3. Сложение и вычитание

4. Умножение

5. Деление

6. Возведение в степень

7. Некоторые соотношения

Действия с синусоидальными величинами

Рассмотрим действия с синусоидальными величинами, имеющими одинаковую угловую частоту

1. Сложение

Для определения и используются:

а) комплексные числа определяются и определяются и

б) вектора на комплексной плоскости плоскости +1 0 графически определяем F и

2. Вычитание

Для определения и используются:

а) комплексные числа определяются и определяются и

б) вектора на комплексной плоскости плоскости +1 0 графически определяем F и

3. Дифференцирование

В результате при имеем

Таким образом дифференцированию синусоидальной функции соответствует умножение изображающего ее комплекса на

4. Интегрирование

В результате при имеем

Таким образом интегрированию синусоидальной функции соответствует деление изображающего ее комплекса на