Лекция 10 Вращение твердого тела 10/04/2012 Алексей Викторович Гуденко.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лекция 10 Вращение твердого тела 26/04/2014 Алексей Викторович Гуденко.
Advertisements

Лекция 10 Вращение твердого тела 10/04/2012 Алексей Викторович Гуденко.
Лекция 7 Момент импульса 20/03/2012 Алексей Викторович Гуденко.
Лекция 7 Момент импульса 29/03/2014 Алексей Викторович Гуденко.
Закон сохранения момента импульса системы материальных точек Момент силы и импульса относительно точки и оси.
Расписание консультаций. Динамика вращательного движения (динамика абсолютно твёрдого тела) Лекция 3 ВоГТУ Кузина Л.А., к.ф.-м.н., доцент 2012 г.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Момент инерции материальной точки Момент инерции системы материальных точек Момент инерции твердого тела.
Лекции по физике. Механика Динамика вращательного движения. Гироскопы. Неинерциальные системы отсчёта.
Тема 10. Механика твердого тела. Абсолютно твердое тело (АТТ)- Система материальных точек с неизменным взаимным расположением.
Твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 5: ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Динамика вращательного движения. План лекции Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЛЕКЦИЯ 3: ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.
Лекция 5 Динамика вращательного движения. Особенности вращательного движения твердого тела под действием внешних сил. Ускорение при вращательном движении.
Вес тела и сила тяжести m F g M F цб Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения. В.
Закон сохранения механической энергии. Динамика твёрдого тела.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки. 2. Динамика вращательного движения твердого.
Механика вращательного движения Пусть - проведенный из неподвижной в некоторой инерциальной системе отсчета точки О радиус-вектор материальной точки, к.
Лекция 6 1.Работа переменной силы при поступательном движении 2.Работа при вращательном движении 3.Кинетическая и поступательная энергии при поступательном.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 10: ТЕОРИЯ ИМПУЛЬСИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ.
Транксрипт:

Лекция 10 Вращение твердого тела 10/04/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Уравнение движения и равновесия твёрдого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла. Гироскопы

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение. Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу. Примеры поступательного движения: 1. стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости; 2. кабина на колесе обозрения

Вращательное движение твёрдого тела. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела). Угловые скорости всех точек ω одинаковы. ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика. Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Плоское движение твёрдого тела Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v 0 + ωxr (v 0 – скорость оси)

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси L z = Σr i m i v i = ωΣm i r i 2 = I z ω I z = Σm i r i 2 = r 2 dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z. M z – z-проекция момента внешних сил Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси L z dω/dt = M z

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил Кинетическая энергия вращающегося тела K = Σm i v i 2 /2 = ½Σm i (ωr i ) 2 = I z ω 2 /2 = L z 2 /2I = ½ L z ω. В общем случае K = ½ (Lω) Работа внешней силы при повороте: dA = (Fds) = Frdφ = M z dφ

Плоское движение твёрдого тела Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона. Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Свойства момента инерции Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = I c + ma 2 Доказательство: по теореме Кёнига для кинетической энергии: K = Iω 2 /2 = mv c 2 /2 + I c ω 2 /2 = m(ωa) 2 /2 + I c ω 2 /2 = ½ (ma 2 + I c )ω 2 I = I c + ma 2

Теорема о взаимно перпендикулярных осях Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: I z = I x + I y

Моменты инерции различных тел Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr 2 Диск: I = ½ mr 2 Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL 2 – относительно середины; I = 1/3 mL 2 - относительно конца Плоский прямоугольник (параллелепипед): I = 1/12 m(a 2 + b 2 ) Сфера: I = 2/3 mr 2 Шар: I = 2/5 mr 2 Толстый цилиндр: I = ½ m(r 2 + R 2 )

Скатывание с наклонной плоскости С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости. Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: I A dω/dt = M A I A a = M A r a = mgr 2 sinα/I A = gsinα/(1 + I c /mr 2 ) Труба: a = ½gsinα Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα Полый шар: a = 3/5 gsinα Сплошной шар: a = 5/7 gsinα

Диск Максвелла R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение: I A dω/dt =M A I A dωr/dt =M A r I A dv 0 /dt =M A r a = mgr 2 /I A = g/(1 + R 2 /2r 2 ) g/200 5 см/с 2

Свободные оси. Главные оси. Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной осью. Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс. При вращении вокруг главной оси L 1 = Iω 1 Для произвольной оси: L = I 1 ω 1 + I 2 ω 2 + I 3 ω 3 Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков. Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок: I 1 = I 2 = I 3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб) I 1 = I 2 I 3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I I 1 I 2 I 3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с I max и I min I = I 1 cos 2 α + I 2 cos 2 β + I 3 cos 2 γ - момент инерции относительно произвольной оси.

Гироскоп Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: L = I 0 ω или скорость прецессии Ω

Применение гироскопов В морской и авиа навигиции: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление. Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

Условие равновесие твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: 1. Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣF i = 0 2. Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ΣM i = 0

Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv 2 /2 = p 2 /2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции L z = Iω z – момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K = Iω 2 /2 = L z 2 /2I dA = Mdφ