Геометрическая вероятность Теория вероятностей, 12 класс.

Пример 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Число исходов бесконечно. Вероятность будет зависеть от размера карты (масштаба).

Пример 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Общий случай: в некоторой ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L? А L

Геометрическое определение вероятности Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей: Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.

Пример 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата 16см 2 – 4см 2 = 12см 2. Значит,

Пример 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии? Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями. 1 рубль

Пример 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе ? Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

Задача 1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ? Решение. 1)A={точка Х попадает на отрезок АМ}, АМ=2см, АВ=12см, 2) В ={точка Х попадает на отрезок АС}, АС=2см+4см=6см, 3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см, 4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см, 5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ}, А М С В

Задача 2. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг? А

Независимые события Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Формула Бернулли Чтобы найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдет k раз с вероятностью р надо использовать формулу где q = 1 - p

Задача Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

Решение: n=8; m=5; p=0,6; q=1-0,6=0,4. Используя формулу, имеем

Задача По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий. В случае пяти попаданий из пяти возможных: Четыре попадания из пяти выстрелов: Три попадания из пяти: Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов

Решаем задачи