Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу- материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 442) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.443). Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444 и 445). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445). Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса. Рис. 446 и 447

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс ( рис.87 ). Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола ( рис.88 ). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей ( рис.89 ).В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса). Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 6). Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж¬ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 7). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, яв¬ляются образующими конуса.

Задача 1: Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.

Касательной пл оскостью к кону су называется пл оскость, проходящая через образующую кону са и перпендикул ярная плоскости осевог о сечения, содер жащей эту образ ующую (рис.450).

Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую (Sбок=πRl, где Rрадиус основания конуса, l длина образующей). Если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих SB, то в результате мы получим круговой сектор SBB1который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус полученного кругового сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (рис. 75, а, б, в).

Площадь кругового сектора SBB1равна πl2\360*a, где а градусная мера дуги ВВ1, Так как длина дуги ВВХ равна 2πR, то 2πR=πla\180 а. Отсюда а =360R\l. Следовательно, площадь сектора SBB:равна т. е. площадь боковой поверхности конуса равна площади развертки его боковой поверхности. Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь: T = πRL + πR2 = πR(L + R).

Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса?

Задача 1. Площадь осевого сечения конуса = Q. Найти объём если угол между образующей и плоскостью основания равен альфа. Задача 2 Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании дугу в a радиан (0 площадь сечения конуса указанной плоскостью; б > площадь боковой поверхности конуса.

А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольного. Треугольник АОВ - равнобедренный (АО = ОВ =R) и ОС - высота в треугольнике АОВ (по свойству высоты OС перпендикулярна АВ) ВС = sin(x/2)*R (sin(x/2) = BC/R) ОС = cos(x/2)*R (cos(x/2) = OC/R) Из РОС ( прямоугольный, т.к. РО - высота в конусе по условию) Тогда S сечения конуса =1/2*PC*АB ( так как S = x*ha*a ) Так как треугольник РАВ - равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), а РС - высота, то АС = ВС, следовательно, S сечения конуса =PC*BС Б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. S б = x*R*L, где L - образующая конуса. Из РОА ( прямоугольный, так как РО - высота по условию) РА = L S б = x*R* Ответ: а) б) S б = x*R*

Пусть дан конус с объёмом V, радиусом основания R, высотой H. 1. Вычисление объёма конуса с помощью определённого интеграла: где S(x) - площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ox (ось Ox проходит через ось конуса). За величину объёма конуса принимается предел, к которому стремится Объём правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон её основания.

Объем конуса 1-е доказательство (рис. 1).

2-е доказательство. За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

3-е доказательство (рис. 2).

Решение задач на объем конуса Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг? Задание на дом 1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найти объем тела вращения, если гипотенуза равна 2a. 2. Вычислить вес гранитного скального выступа «Жандарм на гребне» между пиком «Туюксу» (4100 м) и «Иглы Туюксу» (4123 м) (Северный Тянь-Шань, хребет Заилийский Алатау). 3. Вычислить, на какую высоту мог бы подняться Аттила, если его войско составляло 700 тыс. человек.