Математика и будущее Клуб инновационного развития, Семинар «Будущее математики», Институт философии РАН Г.Г. Малинецкий

Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН С.П.Королев, И.В.Курчатов, М.В.Келдыш Главные решенные задачи Совершенствование атомной и водородных бомб Совершенствование атомной и водородных бомб Обеспечение космических полетов Обеспечение космических полетов Разработка систем управления Разработка систем управления сложными объектами

Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН Главные направления Небесная механика и системы управления Небесная механика и системы управления Численный анализ задач математической физикиЧисленный анализ задач математической физики Основы кибернетики и системного программированияОсновы кибернетики и системного программирования М.В. Келдыш А.Н. Тихонов А.А. Самарский И.М. Гельфанд А.А. Ляпунов К.И.Бабенко Д.Е. Охоцимский Т.М. Энеев С.В. Яблонский О.Б. Лупанов

Особая роль математики Трисекция угла Удвоение куба Квадратура круга Евклид ок. 300 г.д.н.э. Непрерывность развитияНепрерывность развития Объект, метод, результатОбъект, метод, результат Теория = внешнее оправдание +Теория = внешнее оправдание + + аппарат + + аппарат + + внутреннее совершенство + внутреннее совершенство

Схема описания реальности И. Кеплер ( ) И.Ньютон( ) «Полезно изучать дифференциальные уравнения» «Гипотез не измышляю» Центральный момент: Введение фазового пространства Описание процессов с помощью динамических систем

Механицизм. Идеал классической науки И.Ньютон( ) У. Томсон, лорд Кельвин ( ) И. Кант ( ) «Я никогда не испытываю чувства полного удовлетворения до тех пор пока не построю механическую модель изучаемого объекта» Лорд Кельвин «Математика наука точная потому что математика наука тощая» Г.В.Ф. Гегель ( )

Механика и детерминизм Пьер-Симон Лаплас ( ) «Ум достаточно мощный, чтобы принять во внимание скорости и положения всех частиц во Вселенной, сможет заглянуть как угодно далеко в прошлое и как угодно далеко в будущее» Нептун У. Леверье, 1846 Плутон К. Томбо, 1930 Наполеон: «я не вижу в вашей книге Бога» Лаплас: «я не нуждаюсь в этой гипотезе»

Бифуркации в развитии математики Ньютон, Лейбниц, Декарт Научное познание Гуманитарные науки Естествознание Прикладная математика Эйлер, Пуанкаре Чистая математика Вейерштрасс,Гильберт

Строгость математических рассуждений Л.Эйлер( ) К. Вейерштрасс ( ) Гипотеза о дифференцируемости: каждая дифференцируемая функция непрерывна почти всюду

Математический оптимизм «Весь предшествующий опыт убеждает нас, Что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов» А.Эйнштейн «Математика – основа всего точного естествознания» «После строгой постановки все математические задачи окажутся разрешимыми» «Мы должны знать. Мы будем знать!» Д.Гильберт А.Эйнштейн( ) Д.Гильберт( )

Прогноз развития математики на XX век А. Пуанкаре «Будущее связано с синтезом математики и физики (теория относительности, квантовая механика)» «Самое главное не в том, чему мы учимся, а в том, от чего откажемся» А. Пуанкаре Неклассический период Проблема математической интуиции «Электромагнитное поле – это всего лишь шесть чисел в каждой точке пространства. Вы представляете это? Я – нет!» Р. Фейнман ( )

«Внутреннее совершенство». Математика как задачник для математиков Математический конгресс 1900 года – 23 проблемы Гильберта «Аксиоматизация теоретической физики» «Аксиоматизация теоретической физики» Д.Гильберт( ) С. Смейл 15 проблем Стивена Смейла, 2000 г. «Пределы искусственного и естественного интеллекта» «Пределы искусственного и естественного интеллекта»

Тупик классификации Эрлангенская программа Ф. Клейн Р. Том Теория катастроф Катастрофа «ласточкин хвост» С. Смейл Невозможность классификации динамических систем Аттрактор Уэда 1993

Математика как метанаука И. Кант К. Гёдель Теорема о неполноте К.Маркс «Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика» И. Кант «Математика – служанка и царица всех наук» К. Маркс

Главные технологии XX век Ядерное оружие Ядерное оружие Космические технологии Космические технологии Надежные шифры Надежные шифры XXI век Проектирование будущего Проектирование будущего Высокие гуманитарные технологии Высокие гуманитарные технологии Технологии сборки и уничтожения субъектов Технологии сборки и уничтожения субъектов

Основные достижения XX века Расцвет геометрической теории и дифференциальной топологии Расцвет геометрической теории и дифференциальной топологии Геометризация всех ветвей математики Геометризация всех ветвей математики Их слияние с теоретической физикой Их слияние с теоретической физикой Открытие алгоритмически неразрешимых проблем Открытие алгоритмически неразрешимых проблем Появление компьютера Появление компьютера В.И. Арнольд (1937)

Евгений Вигнер - разделение на «естественников» и «гуманитариев» в новое время привело к тому, что одни должны знать «что», а другие - «как» - увеличение пути до переднего края науки, снижение экономической эффективности фундаментальных исследований, утрата общего языка учеными Концепция пределов науки

18 по О.В. Крылову «Эра великих географических открытий» кончилась?

Новые проблемы небесной механики и теории управления Л.С. Понтрягин Принцип максимума М.В. Келдыш Д.Е. Охоцимский Запуск космических аппаратов потребовал увеличения точности расчетов более чем в 1000 раз

Разработка дискретных моделей физических процессов А.Н. Тихонов А.А. Самарский К.И.Бабенко Успешные испытания «Бурана» прошли 15 ноября 1988 года

Корректные задачи по Адамару Жак Адамар ( ) Решение существует: Решение существует: Решение единственно: Решение единственно: Решение устойчиво по начальным данным и входящим параметрам: Решение устойчиво по начальным данным и входящим параметрам:

22 Некорректные задачи Принципы регуляризация учет априорной информации Простейший путь метод подбора Задача о производной таблично заданной функции Обратная задачаПрямая задача Задача о тепловом режиме Земли Корректность задачи по Адамару решение существует решение существует решение единственно решение единственно решение устойчиво относительно решение устойчиво относительно параметров задачи параметров задачи А.Н. Тихонов 0 r Найти 0 y x A ε

Идея русел и джокеров Д. Сорос (1930)

XXI век – век нелинейных уравнений математической физики «Грядущая эра пробуждения человеческого разума – эра понимания качественного содержания нелинейных уравнений. Сегодня еще мы не способны на это» Р. Фейнман И.М. Гельфанд С.П. Курдюмов Метод обратной задачи теории рассеяния Модель тепловых структур. Самоорганизация

Барьеры компьютерной математики Н.Н. Моисеев ( ) Д. фон Нейман ( ) Иерархия упрощенных математических моделей Понять: построить иерархию построить иерархию изучить модели нижнего уровня изучить модели нижнего уровня подняться вверх к исходному объекту подняться вверх к исходному объекту

Барьеры научных технологий Барьеры вычислений – невозможно отладить программу более чем в 1 млн. команд (в СОИ – 1 млрд.) Барьеры вычислений – невозможно отладить программу более чем в 1 млн. команд (в СОИ – 1 млрд.) Барьер имитации – модель сложной системы нельзя собрать как мозаику. Барьер имитации – модель сложной системы нельзя собрать как мозаику. Барьер понимания – человек может учесть лишь 5-7 переменных и работать лишь с 5-7 людьми Барьер понимания – человек может учесть лишь 5-7 переменных и работать лишь с 5-7 людьми П.О. Сухой ( )

Междисциплинарные математические теории Теория катастроф Теория катастроф Теория самоорганизации Теория самоорганизации Теория клеточных автоматов Теория клеточных автоматов Р. Том Д. фон Нейман ( ) А. Тьюринг

Сверхзадачи науки XXI века – основа постнеклассической математики Теория управления рисками Теория управления рисками Нейронаука Нейронаука Математическая история Математическая история «Мечты требуют большой ответственности – они имеют обыкновение сбываться» С.Лемм

Гипотеза Р.Пенроуза Задача о непериодическом замощении плоскости. Задача о непериодическом замощении плоскости. Открытие квазикристаллов.Открытие квазикристаллов. Al 72 Ni 20 Co 8Al 72 Ni 20 Co 8 Al k Pd l Mn mAl k Pd l Mn m Невычислимость сознания ? Невычислимость сознания ? Объективная квантовая редукция? Объективная квантовая редукция?

Гипотеза С. Хаммерофа Загадка сознания кроется во внутренней структуре клетки. Загадка сознания кроется во внутренней структуре клетки. Ключевую роль в процессах обработки информации в клетке играет цитоскелет. Ключевую роль в процессах обработки информации в клетке играет цитоскелет. «Строительная единица» цитоскелета – тубулин – имеет размер 8 nm. «Строительная единица» цитоскелета – тубулин – имеет размер 8 nm. «Классической» работой нейронов управляют возникновение и схлопывание когерентных состояний больших наборов молекул в микротрубочках цитоскелета нейронов. «Классической» работой нейронов управляют возникновение и схлопывание когерентных состояний больших наборов молекул в микротрубочках цитоскелета нейронов. Ключ к проблеме – самоорганизация на квантовом уровне в живых клетках. Ключ к проблеме – самоорганизация на квантовом уровне в живых клетках.

31 Биовычисления, нейронаука Многоагентные системы ДНК-вычисления Нейронные сети Генетические алгоритмы Клеточные автоматы Иммунные сети ТЦГААГЦТГЦГЦ ЦГЦГ ГЦГА ЦГЦТ ТЦГЦ АГЦГ ТЦГААГЦТГЦГЦ ЦГЦГ ГЦГА ЦГЦТ ТЦГЦ АГЦГ

Искус имитации – искусственная жизнь

Математика как искусство Г.К. Каспаров «Проблема состоит в том, чтобы оставить человеку человеческое, а машине – машинное. Но для этого надо понять, что же является человеческим» Н. Винер

Прогнозы на XXI век Д.Гильберт( ) А.Н. Колмогоров ( ) «Единственная проблема заключается в том, что через 500 лет у Mathematische Annalen появится столько редакторов, что они не поместятся на обложку» Д.Гильберт «Конец математики в XXI веке наступит из-за социальных потрясений и из-за всевластья бюрократических структур» А.Н. Колмогоров

Наши надежды «Общие утверждения проще, чем их частные случаи» «Математическая идея не должна застывать в аскиоматической форме, а должна течь подобно реке» Д.Д. Сильвестр «Развитие математики было обусловлено не столько техническим прогрессом, сколько установлением взаимосвязей между ее областями» В.И. Арнольд Д.Д. Сильвестр ( ) В.И. Арнольд (1937)

Что сделать? Очертить область нашего незнания Очертить область нашего незнания Очертить сферы, где необходимо междисциплинарное общение Очертить сферы, где необходимо междисциплинарное общение Заглянуть в будущее Заглянуть в будущее