Нелинейная поляризуемость и эффект Керра P – поляризация N- число электронов в единице объема Сила реакции Равновесие: Для центрально-симметричных кристаллов

Электрическая индукция В предположении

Поле направлено вдоль оси z Нелинейный сдвиг показателя преломления Модель Фано- Ардерсона фотонного кристалла

Уравнения движения Коэффициент прохождения

Пунктиром показано неустойчивое решение Бистабильность возникает при достаточной отстройке по частоте Переключение

Для узких резонансов бистабильность наступает при меньших интенсивностях!!! Описание в рамках CMT-теории Параметр отстройки по частоте Сдвиг частоты

пропорциональна Отстройка по частоте Параметр это характеристическая мощность

При заданной частоте Бистабильный регион с гистерезисом Несколько милливатт Несколько микроватт

Для дефектной моды вне волновода Впервые бистабильность продемонстрирована для нелинейнных сред: резонатор Фабри-Перро и нелинейный диэлектрический слой

Спектр прохождения пленки

Интерферометр Фабри-Перро Каждое зеркало имеет коэффициент прохождения t и коэффициент отражения r набег фазы Поле на выходе

Интенсивность прошедшего света Коэффициент прохождения Максимумы прохождения

Максимумы для длин волн В процентах указан коэффициент отражения

Из-за зависимости показателя преломления среды от поля мы также имеем осцилляции прохождения как функции интенсивности прошедшего поля

Графическое решение показывает, что чем больше нелинейность, либо интенсивность поля, тем раньше возникает режим многозначных решений Уравнение колебаний поля в резонаторе это уравнение нелинейного осциллятора с затуханием, находящегося под действием внешней силы

Замена Простейшее решение

Уравнение на амплитуду Критическое значение внешней силы Какие решения являются устойчивыми???

Затухание равно нулю Интеграл движения Рассмотрим фазовую плоскость

- Сепаратриса (жирная линия) - Заштрихована Изменение фазового портрета от больших положительных частот до больших отрицательных Верхней ветви частотной зависимости амплитуды колебания соответствует устойчивое состояние типа центр (в нижней полуплоскости). С понижением частоты возникает еще дополнительные Стационарные решения типа центр и седло. Два устойчивых и одно неустойчивое решение – приводит к явлению гистерезиса, когда мы движемся по частоте

Два дефекта в ФК один из которых может быть нелинейным

В дискретной модели волновод описывается цепочкой, а две дефектные моды двумя комплексными амплитудами Граничные условия

Коэффициент прохождения Нуль прохождения Полное прохождение Эти частоты могут быть очень близки В результате на фоне обычного резонанса появляется дополнительный узкий резонанс, он крайне узкий если:

Красная Синяя

Для узкого резонанса бистабильный режим наступает при гораздо меньших амплитудах входной волны. Разные частоты, близкие к нулю

Нарушение симметрии в системе трех нелинейных дефектов Три взаимодействующих нелинейных осциллятора Сдвиг частоты

При равных входных амплитудах (симметрия по входу) амплитуды выходящих волн могут различаться (область I и III) f1=f2=f3 b1=b2, но не равно b3

Переключение между стабильными состояниями с помощью импульса в области III

Можно последовательно пройти все три состояния с нарушенной симметрией (большая амплитуда в одном из волноводов и две равные амплитуды, но меньшие по величине в двух других волноводах), используя прямоугольные импульсы длительностью ~ 4000 Время переключения Необходимая мощность

Еще один способ переключения в четерех-полюснике Амплитуда падающей волны мала Амплитуда падающей волны велика

Нелинейные элементы здесь Волновод + два нелинейных дефекта Простое описание в рамках Двухуровневой модели

Появление узкого резонанса при сближении уровней энергии

В случае одинаковых дефектов ССК антисимметрично и не взаимодействует с модами волновода Если дефекты нелинейные, то частоты приобретают нелинейные сдвиги

Новый нелинейный резонанс в точке пересечения уровней (ССК) Новый резонанс (дефекты разные) Интенсивность поля на дефектах квантована

Зависимость ширины Резонанса от поля накачки Положение резонанса

Интерферометр Фабри-Перро на двух одинаковых нелинейных дефектах Сдвиг частот дефектов за счет эффекта Керра

Полное отражение на дефекте + Укладка полуволн Связанное состояние строго между дефектами Для нелинейных дефектов этого можно достичь за счет сдвига частоты

Описание в рамках СМТ-теории Уравнения на ЕМ поле Амплитуда прохождения Если То позиции ССК и возбуждение на дефектах квантованы

Спектр прохождения в присутствии нелинейных дефектов ЭМ поле на дефектах

Спектр прохождения когда уже линейная система обладает ССК ЭМ поле на дефектах

Характеристика вход-выход при частоте близкой к частоте ССК Возможно переключение прохождения при сколь угодно малом потоке на входе

Результаты для 2D фотонного кристалла Данные для расчетов

Спектр прохождения и ЭМ поле на дефектах Точка ССК

ЭМ поле в окрестности нелинейных дефектов Резонанс на линейной ветви Вне резонанса на линейной ветви Нелинейный резонанс

Различное поведение амплитуды ЭМ поля при увеличении входной мощности в 4 раза Резонанс на линейной ветви Нелинейный резонанс

Пример с двумя нелинейными резонансами В системе два ССК Фазовая структура ЭМ поля ЧетноеНечетное

Выводы для резонатора Фабри-Перо образованного двумя нелинейными дефектами В системе возможно множество ССК Для ССК интенсивность ЭМ поля на дефектах квантована Нелинейный резонанс содержит четыре ветви Ширина нелинейного резонанса пропорциональна амплитуде возбуждающей волны Результаты СМТ теории прекрасно согласуются с численным расчетом для реальной системы Аналогичные результаты получены для tight-binding модели Наличие устойчивых ветвей нелинейного резонапса позволяет использовать систему как переключатель